宁夏银川一中2021届上学期高三年级第五次月考数学试卷(理科)

宁夏银川一中2021届上学期高三年级第五次月考数学试卷（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{}35|A x x =<<，{}
2
|340B x x x =--<，则A
B =
A ．∅
B ．{}|25x x <<
C ．5{|}4x x <<-
D ．{|34}x x << 2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是Z 1，2），则=⋅z i A ．12i +
B ．2i -+
C ．12i -
D ．2i --
3．新冠肺炎疫情防控中，核酸检测是新冠肺炎确诊的有效快捷手段．某医院在成为新冠肺炎核酸检测定点医院并开展检测工作的第n 天，每个检测对象从接受检测到检测报告生成平均耗时()t n （单位：小时）大致服从的
关系为(
)0
n N t n n N <=≥（0t 、0N 为常数）已知第16天检测过程平均耗时为16小时，第64天和第67天
检测过程平均耗时均为8小时，那么可得到第49天检测过程平均耗时大致为 A ．16小时
B ．11小时
C ．9小时
D ．8小时
4．直线，直线，则“”是“l 1∥l 2”的 A ．充分必要条件
B ．充分不必要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
5
．若cos()12
x π
+=，5(12
x π∈，11)12π，则cos()6x π-值为 A ．35
B ．
4
5 C ．35-
D ．45
-
6．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若m 为大于1的正整数，且2
113234m m m a a a -+-+=，214038m S -=，
则m =
A ．1000
B ．1010
C ．1020
D ．1030
7．如图所示，等边ABC ∆的边长为2，//AM BC ，且6AM =若N 为线段CM 的中点，则AN BM ⋅=
1:+10l ax y a +-=1:420l x ay +-=2a =
±
A ．24
B ．23
C ．22
D ．18
8．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问积几何．”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈，长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少”已知1丈为10尺该锲体的三视图如图所示，则该楔体的体积为
A ．12000立方尺
B ．11000立方尺
C ．10000立方尺
D ．9000立方尺 9．函数1
41
x
y e x =
--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是
A B C D
10．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21
()1
x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，
22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y ++
++++
+=
A ．0
B ．6
C ．12
D ．18
11．若函数()()2
122ln 2
ax f x a x x =+--在区间1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有极小值，则a 的取值范围是
A ．1,e ⎛
⎫-∞- ⎪⎝⎭
B ．(),1-∞-
C ．()2,1--
D ．(),2-∞-
12．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 已知c =，且2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，点O 满足0OA OB OC ++=，3
cos 8
CAO ∠=，则ABC ∆的面积为
A ．
B C D 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知5
1
cos sin =+x x ，π≤≤x 0，则=x tan 14．已知函数233
1)(23
+--=
x x x x f ，则函数()x f 的极大值点为_________ 15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，4AC BC ==，AC BC ⊥，15CC =，D 、E 分别是AB 、11B C 的中点，则异面直线BE 与CD 所成的角的余弦值为_____
16．已知从2开始的连续偶数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为2，第二行为4，6，第三行为8，10，12，第四行为14，16，18，20，如图所示，在宝塔形数表中位于第i 行，第j 列的数记为
,i j
a ，比如
3,210=a ，
4,216
=a ，
5,424
=a ，若
,2020
=i j a ，则i j +=________
三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

一必考题：共60分 17．（本题满分12分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3a =
，c =
45B =︒．
（1）求sin C 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得4
cos 5
ADC ∠=-，求tan DAC ∠的值． 18．（本题满分12分） 在数列{}n a 中，11
2
a =，1(42)(21)n n n a n a +-=+ （1）设21
n
n a b n =
-，证明：{}n b 是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：3n S < 19．（本题满分12分） 已知椭圆
2222:1(0)x y G a b a b +=>>
0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A 、
B
两点，以AB 为底边作等腰三角形(3,2)P -PAB ∆PD ⊥ABCD AD CD AB CD PQ CD
⊥，，∥，∥222AD CD DP PQ AB =====E F M ，，AP CD BQ ，，MPC Q PM C --N
CQ DN PMQ
6π
QN ()()()3214613x f x x e x x g x a x lnx -⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝
⎭，()f x ()0+∞，{}max m n ，m n ，()f x '()f x ()()(){}h x max f x g x '=，()0h x ≥()0+∞，a
()
*111
11
ln 312
313n N n n n n n ++++
+>∈++-xOy 1C ⎩⎨⎧==ααsin 2cos y x α1C ⎩⎨⎧==y
y x x '2'2C x l
cos sin 100ρθρθ--=2C 2C M 2C M l ()413f x x x =-+--()2f x ≤()20f x kx +-=k
58
292222
112cos cos 452262
a c
b b B a
c +--=︒===25b =5b =sin sin c b C B =25
sin 22
C =5
sin 5
C =
4cos 5ADC ∠=-23sin 1cos 5ADC ADC ∠=-∠=(,)2ADC ππ∠∈(0,)2C π∈225
cos 1sin 5
C C =-=
sin sin()sin()DAC DAC ADC C π∠=-∠=∠+∠25
sin cos cos sin 25
ADC C ADC C =∠+∠=(0,)2DAC π∠∈2115
cos 1sin 25
DAC DAC ∠=-∠=sin 2tan cos 11DAC DAC DAC ∠∠==∠1
121n n a b n ++=+1(42)(21)n n n a n a +-=+11(21)1(21)2n n n n b n a b n a ++-==+11b ={}n b 12121
11121222
n n n n a b n -⎛⎫=== ⎪-⎝⎭212n n n a -=23135212222n n n S -=
+++⋅⋅⋅+234111352122222n n n S +-=++++211111121
222222n n n n S +-=++++-111112122212212
n n n +-⋅
-=+--
23
332n n n S +=-<622,3c c a ==23a =2224b a c =-=221124x y +=l y x m =+22
1124
y x m x y =+⎧⎪⎨+
=⎪⎩22463120x mx m ++-=1122(,),(,)x y x y 12()x x <00(,)
E x y 120003,244x x m m x y x m +==-=+=PAB ∆PE AB ⊥241334
m
k m -
=
=--+
2m =24120x x +=123,0x x =-=121,2y y =-=||32AB =(3,2)P -20x y -+=|322|3222d --+==
PAB
∆
19||22
S AB d =⋅=
EM AB CD PQ CD ∥，∥AB PQ ∥AB PQ =PABQ E M
AP BQ EM AB ∥EM AB =2AB CD CD AB F =∥，，CD CF AB ∥CF AB =EM CF ∥EM CF =EFCM C ，
又EF MPC ⊄平面，CM MPC ⊂平面， 所以EF MPC ∥平面
（Ⅱ）因为PD ABCD ⊥平面，AD CD ⊥，可以建立以D 为原点，分别以DA DC DP ，，的方向为x 轴，y 轴，
z 轴的正方向的空间直角坐标系
依题意可得()()()()000200210020D A B C ，
，，，，，，，，，，， ()()()002012111P Q M ，，，，，，，，
()()()()111010111022PM PQ CM PC =-==-=-，，，，，，，，，，，设()1n x y z =，，为平面PMQ 的法向量，
则11
00n PM n PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y +-=⎧⎨=⎩，不妨设1z =，
可得
)
1,0,1(1=n
设()2n x y z =，，为平面MPC 的法向量，
则22
0n PC n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2200y z x y z -=⎧⎨-+=⎩，不妨设1z =，
可得()2=011n ，
，121212
1cos 2n n n n n n ⋅==
⋅，，于是123
sin 2
n n =， 所以，二面角Q PM C --（Ⅲ）设()01QN QC λλ=≤≤，即()02QN QC λλλ==-，，
，则()0122N λλ+-，，
从而()01
22DN ，，λλ=+- 由（Ⅱ）知平面PMQ 的法向量为()11
01n =，，， 由题意，1
11
sin cos 6DN n DN n DN n ，π
⋅==⋅
，即1
2=
整理得231030λλ-+=，解得1
3
λ=或3λ=， 因为01λ≤≤所以13λ=
，所以115333
QN QC QN QC ===， 21【解析】（1）因为()()3
246x f x x e x x -=-+-，
所以()()()()
3
332632x x f x x e
x x e --=-+-='-+，
令()0f x '=得3x =，当3x >时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当03x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减；
所以函数()f x 在()0+∞，
上的单调递增区间为()3+∞，，单调递减区间为()03，； （2）由（1）知()()(
)
3
32x f x x e
-'=-+，
当3x ≥时，()0f x '≥恒成立，故()0h x ≥恒成立；
当3x <时，()0f x '<，又因为()()(){}
0h x max f x g x '=≥，恒成立，
所以()0g x ≥在()03，
上恒成立， 所以11ln 03a x x ⎛
⎫---≥ ⎪⎝
⎭，即11ln 3x a x +-≥
在()03，上恒成立， 令()()1ln 03x F x x x +=
<<，则()1
3max a F x -≥，由()()221ln 1ln x x F x x x
-+-'=
=， 令()0F x '=得1x =，易得()F x 在()01，上单调递增，在[
)13，上单调递减，
所以()()11max F x F ==， 所以113a -≥，即4
3
a ≥， 综上可得4
3
a ≥
（3）证明：设()()10x
m x e x x =-->，则()10x
m x e '=->，
所以()m x 在()0+∞，
上单调递增，所以()()00m x m >=，即1x e x >+， 所以1111
1
1111131
2
3123331
12313n n n n
n n n n
n n n n n e
e e
e
e
n n n n n
++++++++++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅>
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
++- 123331231
n n n n
n n n n +++>
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=++-，
所以
11111
ln 312
313n n n n n
++++
+>++- 22解析：（1）因为曲线1C 的参数方程为{ 2x cos y sin α
α
==（α为参数）
， 因为2{
.x x y y ''==，，则曲线2C 的参数方程2{ 2.
x cos y sin αα''==，
． 所以2C 的普通方程为22
4x y ''+=．
所以2C 为圆心在原点，半径为2的圆． 所以2C 的极坐标方程为2
4ρ=，即2ρ=． （2）直线l
的普通方程为100x y
--=．
曲线
2C 上的点M 到直线l 的距离+
)10|
d π
α-=
=
当cos +=14πα⎛⎫
⎪⎝
⎭即()
=24
k k Z π
απ-∈时， d 2． 当cos +
=14πα⎛⎫
- ⎪
⎝
⎭
即()3=2
4k k Z π
απ+∈时， d + 23【解析】()2214130
14284x
x f x x x x x x -≤⎧⎪
=-+--=<<⎨⎪-≥⎩
()2f x ≤，即1432x x -+--≤
所以1222x x ≤⎧⎨-≤⎩ 或1402x <<⎧⎨≤⎩或4
282x x ≥⎧⎨-≤⎩
解得01x ≤≤或14x <<或45x ≤≤
解集为{}
05x x ≤≤
（2）等价于114kx x x +=-+-有解
即函数1y kx =+和函数14y x x =-+-的图像有交点
52114314254x
x
y x x x x x -≤⎧⎪
=-+-=<<⎨⎪-≥⎩
画出14y x x =-+-的图像，直线1y kx =+恒过点()0,1P ,
即直线1y kx =+绕点P 旋转时，与函数图象14y x x =-+-有交点时斜率的范围 如图，当直线1y kx =+过点B 时刚好满足条件，当旋转到斜率为2-，刚好不满足条件,
12
BP k =
所以k 的取值范围为()1,2,2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭。