福建省福州市第十九中学中考数学模拟试题

福建省福州市第十九中学2014届中考数学模拟试题
（本卷共4页，三大题，共22小题；满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）
1．﹣5的绝对值是
A ．5
B ．﹣5
C ．
D ．﹣
2．地球半径约为6400000米，用科学记数法表示为 A ．0.64×10
7
B ．6.4×106
C ．64×10
5
D ．640×104
3．在下列四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 A ．
B ．
C ．
D ．
4．将点A （2，1）向左平移2个单位长度得到点A '，则点A '的坐标是 A. （0，1） B. （4，1） D. （2，3） 5．下面的计算正确的是
A ．223a a a +=
B ．33a a ÷=
C ．235
a a a ⋅= D ．33()a a -= 6．三根长度分别为3cm ，7cm ，4cm 的木棒能围成三角形的事件是
A ．必然事件
B ．不确定事件
C ．不可能事件
D ．以上说法都不对 7．下列函数中，当x>0时，y 值随x 值增大而减小的是 A.2
x y = B. 1-=x y C. x y 43=
D. x
y 1= 8．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BCO＝400
，则∠A 的度数等于 A ．60° B ．50° C ．45° D ．40° 9．若关于x 的一元二次方程2
(2)410a x x ---=有实数根，则a 满足
A ．2a ≥-
B ．2a >-且2a ≠
C ．2a ≥-且2a ≠
D ．2a ≠
10．如图，已知双曲线(0)k
y k x
=<经过直角三角形OAB 斜边OA 的中点D ，且与直角边AB
相交于点C ．若点A 的坐标为（-4，6），则△AOC 的面积为
A ．4
B ．6
C ．9
D ．12
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20x
y
C
B
A
D
O
1l ．分解因式：2
5x x - =________． 12．方程
2
3
1+=
x x 的解是________． 13．某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：
时间（小时）
5 6 7 8 人数
10
15
20
5
则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是________小时．
14．如图，四边形ABCD 是菱形，BC =5cm ，BD =6cm ，DH ⊥AB 于点H ，则
DH = ．
15．在平面直角坐标系中，直线2y kx =+与y 轴交于点D ，点A 的坐标为（1，0），以AD 为边做正方形ABCD ．点C 在直线2y kx =+上，延长CB 交x 轴于点1A ，作正方形111A B C C ；延长11C B 交x 轴于点2A ，作正方形2221A B C C …按这样的规律进行下去，第1个正方形(即正方形ABCD)的面积为 ．第2014个正方形的面积为 ．
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添加辅助线先用铅笔画完，再用黑色签字表描黑）
16．（每小题7分，共14分） （1）计算:20141
1)
2
1
(60sin 212----ο
（2）先化简，再求值：(x+2)2
+(x+1)( x-1)- x(x+4)，其中3-=x .
17．（每小题8分，共16分）
（1）如图，DF =AE ，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，CE =BF ．求证：AB =CD ． （2）图l 、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1．点A 和点B 在小正方形的顶点上． ①在图1中画出△ABC(点C 在小正方形的顶点上)，使△ABC 为等腰三角形(画一个即可)；
②在图2中画出△ABD(点D 在小正方形的顶点上)，使△ABD 为直角三角形(画一个即可)；
③若将图2中你所画．．．的△ABD 绕AD 边所在的直线旋转一周形成一个几何体，求几何体的表面积。

18.（本题满分10分）
x
y
A
B
C D y =kx +2
O B
C
D
A
H B
D
A
E
F C B
A
图1
B
A
图2
“中国梦”关乎每个人的幸福生活, 为进一步感知我们身边的幸福，展现福州人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦福州”为主题的摄影大赛，要求参赛学生每人交一件作品. 现将参赛的50件作品的成绩（单位：分）进行统计如下：
等级 成绩（用s 表示） 频数
频率 A 90≤s ≤100 x
0.08
B 80≤s ＜90
35 y
C s ＜80
11 0.22 合 计
50
1
请根据上表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的x 的值为_______，y 的值为________．
（2）将本次参赛作品获得A 等级的学生分别用1A ，2A ，3A ，…表示，现该校决定从本次参赛作品中获得A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表法求恰好抽到学生1A 和2A 的概率.
19.（本题满分12分）
某文具商店销售功能相同的A 、B 两种品牌的计算器，购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和1个B 品牌的计算器共需122元.
（1）求这两种品牌计算器的价格；
（2）学校毕业前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器5个以上超出部分按原价的七折销售. 设购买x 个A 品牌的计算器需要
y 1元，购买x 个B 品牌的计算器需要y 2元，分别求出y 1、y 2关于x 的函数关系式；
（3）小明准备联系一部分同学集体购买同一品牌的计算器，若购买计算器的数量超过5个，购买哪种品牌的计算器更合算？请说明理由.
20.（本题满分12分）
如图，AB 是⊙O 的直径，PA ，PC 分别与⊙O 相切于点A ，C ，PC 交AB 的延长线于点D ，DE ⊥PO 交PO 的延长线于点E 。

（1）求证：∠EPD=∠EDO （2）若PC=6，tan ∠PDA=
4
3
，求OE 的长。

21.（本题满分12分）
已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E
与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．
22.（本题满分14分）
如图1，已知菱形ABCD的边长为23，点A在x轴负半轴上，点B在坐标原点．点D的坐标为（—3，3），抛物线y=ax2+b（a≠0）经过AB、CD两边的中点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）将菱形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向匀速平移（如图2），过点B作BE⊥CD于点E，交抛物线于点F，连接DF、AF．设菱形ABCD平移的时间为t秒（0＜t＜ 3 ）
①是否存在这样的t，使△ADF与△DEF相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
②连接FC，以点F为旋转中心，将△FEC按顺时针方向旋转180°，得△FE′C′，当△FE′C′落在x 轴与抛物线在x轴上方的部分围成的图形中（包括边界）时，求t的取值范围．（写出答案即可）
注
意 事
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的班级、姓名及座位填写清楚。

2.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破。

3.请注意题号顺序，并把答案写在各题相应的答题区内。

福州第十九中学2013－2014学年初中毕业班中考模拟测试
数 学 答 题 卡
班级： 座位号： 姓名： 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题相应位置，作图或添加辅助线先用铅笔画完，再用黑色签字表描黑） 16．（本题14分，每小题7分）
（1）计算：201411)2
1(60sin 212----ο
； （2）先化简,再求：(x +2)2+(x +1)( x -1)- x (x +4)，其中3-=x .
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项）
1．［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 5. ［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 9. ［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 2．［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 6. ［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 10．［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 3．［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 7. ［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］
4．［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］ 8. ［A ］ ［B ］ ［C ］ ［D ］
总
数学九年级第页
数学九年级第页21．（本题12分）
22．（本题14分）
福州十九中2013－2014学年初中毕业班模拟测试数学试卷
参考答案与评分标准
一、选择题（仅有一个选项是正确的，每小题4分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B A C C D B C
C
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．x（x-5）；12．x=1；13．6.4；14．4.8；15．5 .
三、解答题（共90分）
16．（每小题7分，共14分）
（1）解：原式＝…………4分
＝．……………7分
（2）解：原式＝…………4分
＝………6分
当时，原式＝．…………7分17．（每小题8分，共16分）
⑴证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC
∴∠CFD=∠AEB=90°………2分
∵CE=BF
∴CE-EF=BF-EF
即CF=BE………4分
∵DF=AE………5分
∴△ABE≌△DCF………6分
∴AB=CD………8分(2)
①②画图各2分……4分
B
D
A
E
F
C
③答案不唯一 ……8分
18.（本题满分10分）
（1）x 的值为4 y 的值为0.7 ……4分
（2）所有结果如下表所示： (7)
分
由表可知，共有12种结果，且每一种结果发生的可能性都相同；…………8分 其中同时抽中1A ，2A 的结果有两种 ∴P （同时抽中1A ，2A ）＝
21
126
=．………10分 19.（本小题满分12分）
（1）设A 品牌计算机的单价为x 元，B 品牌计算机的单价为y 元，则由题意可知：……1分
2315630
312232
x y x x y y +==⎧⎧∴⎨
⎨
+==⎩⎩ ……4分 即A ，B 两种品牌计算机的单价为30元，32元 ……5分 （2）由题意可知：10.830y x =⨯，即124y x = ……7分 当05x ≤≤时，232y x =
当5x >时，232532(5)0.7y x =⨯+-⨯，即222.448y x =+ ……9分
1A
2A 3A 4A
1A
（1A ，2A ） （1A ，3A ） （1A ，4A ） A2 （2A ，1A ）
（2A ，3A ）
（2A ，4A ） A3
（3A ，1A ） （3A ，2A ） （3A ，4A ） A4 （4A ，1A ）
（4A ，2A ） （4A ，3A ）
（3）当购买数量超过5个时，222.448y x =+。

①当12y y <时，2422.448,30x x x <+∴<
即当购买数量超过5个而不足30个时，购买A 品牌的计算机更合算 ②当12y y =时，2422.448,30x x x =+∴=
即当购买数量为30个时，购买两种品牌的计算机花费相同。

③当12y y >时，2422.448,30x x x >+∴>
即当购买数量超过30个时，购买B 品牌的计算机更合算 ……12分
20. （本题满分12分）
（1）证明：PA ，PC 与⊙O 分别相切于点A ，C ，
∴∠APO=∠EPD 且PA ⊥AO ， …………2分. ∴∠PAO=90°，
∵∠AOP=∠EOD ，∠PAO=∠E=90°，
∴∠APO=∠EDO ， …………4分 ∴∠EPD=∠EDO ； …………5分 （2）
解：连接OC ， …………6分 ∴PA=PC=6， …………7分 ∵tan ∠PDA=
4
3， ∴在Rt △PAD 中，AD=8，PD=10， …………8分 ∴CD=4， ∵tan ∠PDA=
4
3， ∴在Rt △OCD 中，OC=OA=3，OD=5， …………9分 ∵∠EPD=∠ODE ， ∴△OED ∽△DEP ， ∴2PD PE ED
DC DE OE
=== …………11分
在Rt △OED 中，OE 2
+DE 2
=52
，
∴OE=5．…………12分
21．（本题满分12分）
解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，
∵AB=3，BC=6，∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴，
即，解得：x=2，即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M2=ME2+B′E2=22+（2﹣t）2=t2﹣2t+8，
∵EF∥AB，∴△MEC∽△ABC，∴，即，∴ME=2﹣t，
在Rt△DHB′中，B′D2=DH2+B′H2=32+（t﹣2）2=t2﹣4t+13，
过点M作MN⊥DH于N，则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM2=DN2+MN2=t2+t+1，
（Ⅰ）若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，即t2+t+1=（t2﹣2t+8）+（t2﹣4t+13），解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′MD=90°，则B′D2=B′M2+DM2，即t2﹣4t+13=（t2﹣2t+8）+（t2+t+1），
解得：t1=﹣3+，t2=﹣3﹣（舍去），∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2，即：t2﹣2t+8=（t2﹣4t+13）+（t2+t+1），此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2
﹣=，
∵ME=2﹣t，∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S△
2，
FMN=×t×t=t
②当G在AC上时，t=2，
∵EK=EC•tan∠DCB=EC•=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，∵NL=AD=，∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S△FMN﹣S△FKL=t2﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t2+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t ）=3﹣t ，∵GN=GB′﹣B′N=t ﹣1，
∴当2＜t≤时，S=S 梯形GNMF ﹣S △FKL =×2×（t ﹣1+t ）﹣（t ﹣）（t ﹣1）=﹣t 2
+2t ﹣，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L =B′C=（6﹣t ），EK=EC=（4﹣t ），B′N=B′C=（6﹣t ）EM=EC=（4﹣t ），
S=S 梯形MNLK =S 梯形B′EKL ﹣S 梯形B′EMN =﹣t+．
22．（本题满分12分）
解：（1）由题意得AB 的中点坐标为（－3 ，0），CD 的中点坐标为（0，3），
分别代入y =ax 2
+b ，得⎩⎨⎧==+-3
0)3(2b b a ，解得，a=1
b 3-⎧⎨=⎩ 。

∴这条抛物线的函数解析式为y =－x 2
＋3。

（2）①存在。

如图2所示，在Rt △BCE 中，∠BEC =90°，BE =3，BC =23 ， ∴BE 3sinC =BC 23=
= 。

∴∠C =60°，∠CBE =30°。

∴EC =1
2
BC =3，DE =3。

又∵AD ∥BC ，∴∠ADC +∠C =180°。

∴∠ADC =180°-60°=120° 要使△ADF 与△DEF 相似，则△ADF 中必有一个角为直角。

（I ）若∠ADF =90°，∠EDF =120°－90°=30°。

在Rt △DEF 中，DE =3，得EF =1，DF =2。

又∵E （t ，3），F （t ，－t 2
+3），∴EF =3－（－t 2
＋3）=t 2。

∴t 2
=1。

∵t ＞0，∴t =1 。

此时
AD 23DF 22=2DE EF 13
== ，，∴AD DF
=DE EF 。

又∵∠ADF =∠DEF ，∴△ADF ∽△DEF 。

（II ）若∠DFA =90°，可证得△DEF ∽△FBA ，则DE EF
FB BA
=。

设EF =m ，则FB =3－m 。

∴3 23
，即m 2
－3m ＋6=0，此方程无实数根。

∴此时t 不存在。

（III ）若∠DAF =90°，
过D 点作DM ⊥x 轴，易证 △ADM ∽△FAB
,BF AM AB DM = 即：3
33232
-=t ，52
=t ，∵t ＞0，∴t =5。

此时：AD=23，AF=4，DE=3，EF=5，EF AF DE AD ≠且DE
AF
EF AD ≠
， 可知△ADF 与△DEF 不相似。

综上所述，存在t =1，使△ADF 与△DEF 相似。

6
6 3t ≤。