四川省成都市川师附中(高中部)高二数学理测试题含解析

四川省成都市川师附中(高中部)高二数学理测试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 在△ABC中，若c=2acosB，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．锐角三角形
参考答案：
B
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】首先利用余弦定理代入已知条件，再根据化简的最终形式，判断三角形的形状．
【解答】解：利用余弦定理：
则：c=2acosB=
解得：a=b
所以：△ABC的形状为等腰三角形．
故选：B
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理在三角形形状判定中的应用．
2. 若曲线C上的点到椭圆的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C的标准方程为
(A) (B)
(C) (D)
参考答案：
D
3. 下列能用流程图表示的是（）
A．某校学生会组织
B．“海尔”集团的管理关系C．春种分为三个工序：平整土地，打畦，插秧
D．某商场货物的分布
参考答案：
C
【考点】E4：流程图的概念．
【分析】根据流程图是流经一个系统的信息流、观点流或部件流的图形代表，在工农业生产中，流程图主要用来说明某一过程，这种过程既可以是生产线上的工艺流程，也可以是完成一项任务必需的管理过程，据此即可得出正确选项．
【解答】解：在工农业生产中，流程图主要用来说明某一过程，
这种过程既可以是生产线上的工艺流程，也可以是完成一项任务必需的管理过程．
对照选项，只有C是一种过程．
故选C．
4. 已知函数f（x）=xlnx，若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，则直线l的方程为（）
A．x+y﹣1=0 B．x﹣y﹣1=0 C．x+y+1=0 D．x﹣y+1=0
参考答案：
B
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】导数的综合应用．
【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．
【解答】解：∵f（x）=xlnx，
∴函数的导数为f′（x）=1+lnx，
设切点坐标为（x0，x0lnx0），
∴f（x）=xlnx在（x0，x0lnx0）处的切线方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），
∵切线l过点（0，﹣1），
∴﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（﹣x0），
解得x0=1，
∴直线l的方程为：y=x﹣1．
即直线方程为x﹣y﹣1=0，
故选：B．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，求函数的导数是解决本题的关键．
5. 已知函数的导函数为，且满足，则（）
A． B． C． D．无法确定
参考答案：
C
略
6. 一段1米长的绳子，将其截为3段，问这三段可以组成三角形的概率是（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
分别设绳子三段长为,,,均需满足大于0小于1,列不等式组可得出可行域为,再由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列出不等式组,可行域为,则面积比即为概率
【详解】由题,设绳子三段长为,,,则,则可行域为
,,
由三角形三边性质可得,,则可行域为,其中分别为的中点,故选：A
【点睛】本题考查面积型几何概型,考查二元一次不等式组得可行域,考查数形结合的思想
7. 下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
参考答案：
A
【分析】
根据导数的计算公式以及导数运算法则，逐项判断即可得出结果.
【详解】由基本初等函数的求导公式以及导数运算法则可得：
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D错误.
故选A
【点睛】本题主要考查导数的计算，熟记公式与运算法则即可，属于常考题型.
8. 已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆上总存在点使得
，则椭圆的离心率的取值范围为（ *** ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
9. 已知是平面，是直线，且，则下列命题不正确的是
A．若，则 B．若，则
C. 若，则
D.若，则
参考答案：
D
10. 用数学归纳法证明等式时，第一步验证时，左边应取的项是（）
(A) 1 (B) (C) (D)
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数的零点的个数是
个.
参考答案：
2
12. 已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影可能是
①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。

则在上面的结论中，正确结论的编号是________；
参考答案：
①④
13. 已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点F，过F斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，MN的垂直平分线交x轴于点P．若=4，则椭圆C的离心率为．参考答案：
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设直线l的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标Q 坐标，求得MN垂直平分线方程，当y=0时，即可求得P点坐标，代入即可求得丨PF丨，即可求得
，即可求得a和c的关系，即可求得椭圆的离心率．
【解答】解：设直线l的方程为：y=（x﹣c）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），
线段MN的中点Q（x0，y0）．
联立，化为（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|=?=，x0==．
∴y0=x0﹣c=﹣，
∴MN的垂直平分线为：y+=﹣（x﹣），
令y=0，解得x P=，
∴P（，0）．
∴|PF|=c﹣x P=，
∴==4，
则=，
∴椭圆C的离心率，
当k=0时， =，也成立，
∴椭圆C的离心率．
故答案为：．
14. 某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：
产量（千件）
成本（万元）
则该产品的成本与产量之间的线性回归方程为．
参考答案：
依题意，代公式计算得
，
所以线性回归方程为
15. 不等式的解集是 .
参考答案：
16. 在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆上，则
________.
参考答案：17. 某产品发传单的费用x与销售额y的统计数据如表所示：
根据表可得回归方程，根据此模型预报若要使销售额不少于75万元，则发传单的费用至少为_________万元．
参考答案：
8．
【分析】
计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，列出方程，求解即可得到，进而构造不等式，可得答案．
【详解】由已知可得：，，
代入，得，
令
解得：，
故答案为：8．
【点睛】本题考查的知识点是线性回归方程，难度不大，属于基础题．在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x与Y之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=4sin（θ+）．现以点O为原点，极轴为x轴的
非负半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．
（I）写出直线l和曲线C的普通方程；
（Ⅱ）设直线l和曲线C交于A，B两点，定点P（﹣2，﹣3），求|PA|?|PB|的值．
参考答案：
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把直线的参数方程、曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C，利用韦达定理以及直线标准参数方程下t的几何意义求得
|PA|?|PB|的值
【解答】（Ⅰ）曲线C的极坐标方程即，
所以ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ，所以x2+y2﹣4x﹣4y=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=8．
把直线l的参数方程为（t为参数）消去参数，
化为普通方程为：．
（Ⅱ）把直线l的参数方程带入到圆C：x2+y2﹣4x﹣4y=0，
得，∴，∴t1t2=33．
因为点P（﹣2，﹣3）显然在直线l上，由直线标准参数方程下t的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33，所以|PA||PB|=33．
19. 分别求满足下列条件的直线l方程．
（1）将直线l1：y=x+1绕（0，1）点逆时针旋转得到直线l；
（2）直线l过直线l1：x+3y﹣1=0与l2：2x﹣y+5=0的交点，且点A（2，1）到l的距离为2．
参考答案：
【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】（2）设直线l为x+3y﹣1+λ（2x﹣y+5）=0，化成一般式再利用点到直线的距离公式，建立
关于λ的方程解出λ=或﹣4，由此即可得到所求直线l的方程．
【解答】解：（1）∵直线l1的倾斜角为，将直线l1逆时针旋转得到直线l；
∴直线l的倾斜角应为，
所以直线l的斜率k=，
又∵直线l过（0，1），∴直线l的方程为：y﹣1=x，
即x﹣y+1=0．
（2）根据题意，设直线l为x+3y﹣1+λ（2x﹣y+5）=0，
整理得（2λ+1）x+（3﹣λ）y﹣1+5λ=0，
∵点A（2，1）到l的距离为2，
∴=2，解之得λ=或﹣4，
所以直线l方程为x+y+1=0或x﹣y+3=0．
【点评】本题给出直线l满足的条件，求直线l的方程，着重考查了直线的基本量与基本形式、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．
20. 已知命题p：（x﹣3）（x+2）＜0，命题q：＞0，若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数x的取值范围．
参考答案：
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】若命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，则命题p、q一真一假，即p真q假或p假q 真，进而得到实数x的取值范围．
【解答】（本小题满分12分）
解：当命题p为真命题时：（x﹣3）（x+2）＜0，即﹣2＜x＜3；…
当命题q为真命题时：，即x＞5；…
又p∨q为真命题，p∧q为假命题，
∴命题p、q一真一假，即p真q假或p假q真；…
当p真q假时，则，∴﹣2＜x＜3，…
当p假q真时，则，∴x＞5，…
∴综上所述，实数x的取值范围为（﹣2，3）∪（5，+∞）．…
21. 已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值与函数f（x）的单调区间；
（2）若对x∈，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
参考答案：
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；3R：函数恒成立问题；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）求出f′（x），因为函数在x=﹣与x=1时都取得极值，所以得到f′（﹣）=0且f′（1）=0联立解得a与b的值，然后把a、b的值代入求得f（x）及f′（x），然后讨论导函数的正负得到函数的增减区间；
（2）根据（1）函数的单调性，由于x∈恒成立求出函数的最大值值为f（2），代入求出最大值，然后令f（2）＜c2列出不等式，求出c的范围即可．
【解答】解；（1）f（x）=x3+ax2+bx+c，f'（x）=3x2+2ax+b
由解得，
f'（x）=3x2﹣x﹣2=（3x+2）（x﹣1），函数f（x）的单调区间如下表：
（﹣∞，﹣）﹣（﹣，1）
所以函数f（x）的递增区间是（﹣∞，﹣）和（1，+∞），递减区间是（﹣，1）．
（2），当x=﹣时，f（x）=+c为极大值，而f（2）=2+c，所以f（2）=2+c为最大值．
要使f（x）＜c2对x∈恒成立，须且只需c2＞f（2）=2+c．
解得c＜﹣1或c＞2．
22. 为了了解某市工人开展体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂.
（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；
（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率.
参考答案：
（I）工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为…1分
所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2。

…………4分
（II）设A1，A2为在A区中的抽得的2个工厂，B1，B2-，B3为B 区中抽得的3个工厂，
C 1，C 2为在C区中抽得的2个工厂。

这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有种。

…………6分
随机的抽取的2个工厂至少有一个来自A区的结果有（A1，A2），（A1，B2），（A1，B1），
（A1，B3）（A1，C2），（A1，C1），
同理A2还能给合5种，一共有11种。

…………8分所以所求的概率为。

…………10分略。