乃奎斯特稳定判据

显然，辅助方程即是闭环特征方程。其阶数为n阶，且分子 分母同阶。则辅助方程可写成以下形式：
F (s)
(s z )
i
n
(s p
j 1
i 1 n
。式中， zi ,pj 为F(s)的零、极点。
j
)
由(a)、(b)及(c)式可以看出： F(s)的极点为开环传递函数的极点；
F(s)的零点为闭环传递函数的极点；
2 T T s ( T T ) s k 1 0 1 2 1 2
由劳斯—赫尔维茨判据知闭环系统是稳定的。
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[例7]设开环系统传递函数为： G ，试用乃氏 s ) k( 2 ( s 1 )( s 2 s 5 ) 判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为-1， -1 j2，都在s左半平面， 所以 。乃氏图如 P k 0 右。从图中可以看出： 乃氏图顺时针围绕 (-1,j2)点2圈。所以闭环 系统在s右半极点数 为： ， Z N P 2 0 2 k k 所以闭环系统是不稳定 的。
三、乃奎斯特稳定判据在Ⅰ、Ⅱ型系统中的应用：
具有开环0值极点系统，其开环传递函数为：
Gk (s) k ( i s 1) s (T j s 1)
j 1 i 1 n m
G k ( s )不解析， 可见，在原点有 重0极点。也就是在s=0点， 若取乃氏路径同上时（即通过虚轴的整个s右半平面），不满足 柯西幅角定理。为了使乃氏路径不经过原点而仍然能包围整个s 右半平面，重构乃氏路径如下：以原点为圆心，半径为无穷小 做右半圆。这时的乃氏路径由以下四部分组成：


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上面讨论的乃奎斯特判据和例子，都是假设虚轴上没有 开环极点，即开环系统都是0型的，这是为了满足柯西幅角 定理的条件。但是对于Ⅰ、Ⅱ型的开环系统，由于在虚轴上 （原点）有极点，因此不能使用柯西幅角定理来判定闭环系 统的稳定性。为了解决这一问题，需要重构乃奎斯特路径。
作业：5-6,5-7,5-8
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乃奎斯特稳定判据
1
主要内容
幅角定理 乃奎斯特稳定判据 乃氏稳定判据在Ⅰ、Ⅱ 型系统中的应用 在波德图上判别系统稳定性
乃奎斯特稳定判据是用开环频率特性判别闭环系统的稳 定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定 的概念，讨论闭环系统的瞬态性的开环传递函数为： ，其 G ( s ) G ( s ) H ( s ) k 中： G ( s )为前向通道传递函数，H (s) 为反馈通道传递函数。 G (s ) 闭环传递函数为： ，如下图所示： (s ) 1 G (s )H (s ) C (s) R(s) G (s) M ( s ) M ( s ) 1 2 令： G ( s ) ,H ( s ) N ( s ) N ( s ) 1 2 H ( s) M (s )M s ) 1 2( s ) 则开环传递函数为：G …………… (a) k( N (s )N s ) 1 2(

Ⅰ
0
e j s
0 ① 正虚轴：
② 右半平面上半径为无穷大的半圆：
j s R e ， R ， 从 2 2 0 ③ 负虚轴：
Ⅲ

Ⅱ

9
F(s)平面上的映射是这样得到的：
① 以 s = j 代入F(s)，令 从0→∞变化，得第一部分的映射；
52
16
[例8]系统结构图如右：试判断闭环 R ( s ) 系统的稳定性并讨论稳定性和k的 关系。 [解]：系统的频率特性如下：
-
k s1
C (s)
K K ( j 1 ) K ( j 1 ) G () 2 k j 1 ( j 1 )( j 1 ) ( 1 )
P ()
M N 1 2 (s ) 闭环传递函数为： M M N N 1 2 1 2
…………… (b)
3
将闭环特征方程与开环特征方程之比构成一个辅助方程，得：
M M N N M M 1 2 1 2 1 ……………..(c) F ( s ) 1 2 1 GH 1 G k N N N 1 2 1N 2


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令 Q ( ) 0 ，解得 0 和 ，对应 P ( 0 ) K 和 P ( ) 0
[解]：开环系统乃氏图 k 是一个半径为 ，圆心 k 2 在 ( , 0 ) 的圆。显然， 2 时，包围(-1,j0)点， k>=1 k<1时不包围(-1,j0)点。 由图中看出：当k>1时， 乃氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1， 而 Pk，则 1 Z N P 0 k k 闭环系统是稳定的。 当K=1时，乃氏曲线通过(－1，j0)点，属临界稳定状态。 当K<1时，乃氏曲线不包围(－1，j0)点，N=0，P = 1，所以 Z = N + P = 1，闭环系统不稳定。
7
二、乃奎斯特稳定判据：
对于一个控制系统，若其特征根处于s右半平面，则系统是 ( s ) 1 G ( s )，其零点恰 不稳定的。对于上面讨论的辅助方程 F k 好是闭环系统的极点，因此，只要搞清F(s)的的零点在s右半平 面的个数，就可以给出稳定性结论。如果F(s)的右半零点个数为 零，则闭环系统是稳定的。 我们这里是应用开环频率特性研究闭环系统的稳定性，因此 开环频率特性是已知的，辅助方程也已知。设想： 如果有一个s平面的封闭曲线能包围整个s右半平面，则根据 柯西幅角原理知：该封闭曲线在F(s)平面上的映射包围原点的次 数应为： N=F(s)的右半零点数－F(s)的右半极点数 =闭环系统右半极点数－开环系统右半极点数 当已知开环右半极点数时，便可由N判断闭环右极点数
K K Q ( ) 12 12 K 1 A () ( ) 180 tg 2 1


当 0 时 ， A ( ) 0 ， ( ) 180 ， P ( ) K ， Q ( ) 0
当 时 ， A ( ) 0 ， ( ) 90 ， P ( ) 0 ， Q ( ) 0
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[乃奎斯特稳定判据的另一种描述]：设开环系统传递函数G k ( s )在 右半 s平面上的极点数为P k ，则闭环系统稳定的充要条件为：在 G k ( s ) 平面上的开环频率特性曲线极其映射当 从 变化到 时，将以逆时针的方向围绕(-1,j0)点 P k 圈。对于开环系统稳定的 情况， ，则闭环系统稳定的充要条件是开环频率特性曲线 P k 0 极其映射不包围(-1,j0)点。不稳定的闭环系统在s右半平面的极 Z P 点数为： 。 k N k
③F(s)的极点就是 G k ( s ) 的极点，因此F(s)在右半平面的极点数就 是G k ( s )在右半平面的极点数。
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Gk ( j)
Ⅲ
F( j)
Ⅱ
Ⅰ
F(s)与 G k ( s ) 的关系图。
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根据上面的讨论，如果将柯西幅角定理中的封闭曲线取乃 奎斯特路径，则可将柯西幅角定理用于判断闭环控制系统的稳 定性。就是下面所述的乃奎斯特稳定判据。 [乃奎斯特稳定判据]：若系统的开环传递函数在右半平面上有P k 个极点，且开环频率特性曲线对(-1,j0)点包围的次数为N， （N>0顺时针，N<0逆时针），则闭环系统在右半平面的极点数 Z P 为： 。若 Zk 0，则闭环系统稳定，否则不稳定。 k N k
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0 ① 正虚轴：
② 右半平面上半径为无穷大的半圆：

0 Ⅳ 0

'
s R e ， R ， 从
j
Ⅰ
R e j
j '
0 ③ 负虚轴：
'
2
2

'
Re
④ 半径为无穷小的右半圆，
Ⅲ
Ⅱ
' j ' ' s R e , R 0 , ~ 2 2
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k s ) [例6]开环传递函数为： G ，试用乃氏判据判断 k( ( T s 1 )( T s 1 ) 1 2
闭环系统的稳定性。
[解]：开环系统的乃氏 图如右。在s右半平面的 极点数为0，绕(-1,j0)点 的圈数N=0，则闭环系 统在s右半平面的个数： Z N P 0 。故闭环 k k 系统是稳定的。 作为对比可求出闭环传 递函数为：
ds( 1 , j1 )
s 2 ，则s平面上 d s 点（-1，j1），映射 s
s平面
F ( s)平面
到F(s)平面上的点 d f 为（0，-j1）,见下图：


df (0 ,j1 )

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同样我们还可以发现以下事实：s平面上A 曲线 s B C D E F G H s s s s s s s s 映射到F(s)平面的曲线为 s ，如下图：
s平面
2
As
Hs
1
Bs
C
s


Ds
s顺时针
F ( s)平面

示意图
f 逆时针
G s Fs
Es
曲线 s是顺时针运动的，且包围了F(s)的一个极点（0）， 不包围其零点（-2）；曲线 f 包围原点，且逆时针运动。
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柯西幅角定理
s平面上不通过F(s)任何奇异点的封闭曲线 s 包围s平 面上F(s)的z个零点和p个极点。当s以顺时针方向沿封闭 曲线 s 移动一周时，在F(s)平面上相对应的封闭曲线 f 将 以顺时针方向绕原点旋转N圈。N，z，p的关系为： N=z-p 若N为正，表示 f 顺时针运动，包围原点； 若N为0，表示 f 顺时针运动，不包围原点； 若N为负，表示 f 逆时针运动，包围原点。
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完成这个设想需要解决两个问题：
1、如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是 满足柯西幅角条件的？
2、如何确定相应的映射F(s)对原点的包围次数N。并将它和开环 ( j ) 频率特性 GH 相联系？
第1个问题：先假设F(s)在虚轴上没有零、极点。按顺时针方向 做一条曲线 s 包围整个s右半平面，这条封闭曲线称为乃奎斯特 路径。如下图所示，分为三部分：
② 以 s=R· ej 代入F(s)，令R→∞， : ，得第二部分的映 2 2 射； ③ 以 s = j 代入F(s)，令从－∞→0 ，得第三部分的映射。 得到映射曲线后，就可由柯西幅角定理计算 N = Z－P，式 中Z、P是F(s)在s右半平面的零点数和极点数。 若已知P，并能确定N，可求出Z = N + P 。当Z = 0时，系统 稳定；否则不稳定。
4
F(s)是复变量s的单值有理函数。如果函数F(s)在s平面上指 定的区域内是解析的，则对于此区域内的任何一点 d s都可以在 F(s)平面上找到一个相应的点d f ， d f 称为 d s 在F(s)平面上的映射。 同样，对于s平面上任意一条不通过F(s)任何奇异点的封闭 曲线 s，也可在F(s)平面上找到一条与之相对应的封闭曲线 f （为 s的映射）。 [例]辅助方程为： F(s)
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第2个问题：辅助方程与开环频率特性的关系。我们所构造的辅 助方程为 F ，G k ( s ) 为开环频率特性。因此，有以下三 ( s ) 1 G ( s ) k 点是明显的： ①由Gk ( j)可求得F( j) ，而 Gk ( j)是开环频率特性。一般在Gk ( j ej时， 中，分母阶数比分子阶数高，所以当 s G s) 0， k( 即F(s)=1。（对应于映射曲线第Ⅱ部分） 乃奎斯特路径的第Ⅰ部分的映射是Gk ( j) 曲线向右移1；第Ⅱ部 ) 0，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映 分的映射对应 G k (s 射的关于实轴的对称。 ②F(s)对原点的包围，相当于 G k ( s ) 对(-1,j0)的包围；因此映射曲 线F(s)对原点的包围次数N与 G k ( s ) 对(-1,j0)点的包围的次数一样。