2022年辽宁省葫芦岛市南票中学高三数学文模拟试卷含解析

2021-2022学年辽宁省葫芦岛市南票中学高三数学文模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形．该矩形长为，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形还可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作于点F，则下列推理正确的是（）
①由图1和图2面积相等得；
②由可得；
③由可得；
④由可得．
A. ①②③④
B. ①②④
C. ②③④
D. ①③
参考答案：A
【分析】
根据图形进行计算．
【详解】①由面积相等得，，正确；
②图3中，由三角形面积得，又，
由得，所以，正确；
③，由得，所以，正确；
④由由得，所以，正确．
四个推理都正确．
故选：A．
【点睛】本题考查推理，通过构造几何图形推导出基本不等式及其推论．本题考查数学文化，激发学生的学习积极性．
2. 已知，则向量与向量的夹角是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
3. 已知,则（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
4. 在三棱锥P－ABC中，PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（）
A． B. C. 4 D.
参考答案：
D
5. 数列满足，，则（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
6. （5分）若函数f（x）=，则f（f（e））（其中e为自然对数的底数）=（）
A．0 B． 1 C． 2 D．eln2
参考答案：
C
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据分段函数的解析式，求出函数值即可．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（e）=lne=1，
∴f（f（e））=f（1）=21=2．
故选：C．
点评：本题考查了分段函数的求值问题，是基础题目．
7. 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最大值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是
A、增函数且最小值是－5
B、增函数且最大值是－5
C、减函数且最大值是－5
D、减函数且最小值是－5
参考答案：
A
8. 对于使成立的所有常数中，我们把的最小值1叫做的上确界,若
，且，则的上确界为（）
A. B. C.D
.-4
参考答案：
B
9. 右面程序框图是为了求出满足3n－2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入
A．A＞1000和n=n+1 B．A＞1000和n=n+2
C．A≤1000和n=n+1 D．A≤1000和n=n+2
参考答案：
D
因为要求大于1000时输出，且框图中在“否”时输出
∴“”中不能输入
排除A、B
又要求为偶数，且初始值为0，
“”中依次加2可保证其为偶
故选
D
10. 复数的虚部是（） A．i B．-i C．1 D．-1
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若实数满足，则的最大值为_______________
参考答案：
5
12. 函数y=2x-log0.5(x+1)在区间[0,1]上的最大值和最小值之和为
参考答案：
略
13. 函数的定义域为________.
参考答案：
略
14. 设函数f(x)＝
若f(x)为奇函数，则当0＜x≤2时，g(x)的最大值是__________．
参考答案：略
15. 《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”大意为：有个圆柱形木头，埋在墙壁中（如图所示），不知道其大小，用锯沿着面AB锯掉裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道AB长度为1尺，问这块圆柱形木料的直径是．（注：1尺=10寸）
参考答案：
26寸
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】由勾股定理OA2=OD2+AD2，代入数据即可求得．
【解答】解：∵AB⊥CD，∴AD=BD，
∵AB=10，∴AD=5，
在Rt△AOD中，
∵OA2=OD2+AD2，
∴OA2=（OA﹣1）2+52，
∴OA=13，
∴CD=2AO=26．
故答案为：26寸．
16. 过双曲线的右焦点Ｆ和虚轴端点Ｂ作一条直线，若右顶点Ａ到直线ＦＢ的距离等于，则双曲线的离心率
参考答案：
2略
17. 已知为等比数列，，则
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共
72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在四面体ABCD中，BA =BC ，．
（Ⅰ）证明：BD ⊥AC ；
（Ⅱ）若，BA =2，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B -AC -D 的余弦值．
参考答案：
（1）如图，作Rt △斜边上的高，连结．
因为，，所以Rt △≌Rt △．可得．所以平面，于是．…………（6分）
（2）在Rt△中，因为，，所以，，，△的面积．因为平面，四面体的体积，所以，
，，所以平面．
…………（8分）
以，，为，，轴建立空间直角坐标系．则，，，，，，．
设是平面的法向量，则，即，可取．
设是平面的法向量，则，即，可取
．
因为，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．
19. 已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若有两个极值点，证明: .
参考答案：
解：（1），
令，
①即时，，故恒成立，所以在上单调递增；
②当即时，恒成立，所以在上单调递增；
③当时，由于的两根为，
所以在为增函数，在
为减函数，
综上：时，函数在为增函数；
时，函数在为增函数，在
为减函数；
（2）由（1）知，且，
∴，
而，
∴，
设，则，
所以在上为减函数，又，所以，
所以.
20. 已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．
（1）当a=3时，求函数f（x）的极小值；
（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在实数a，当x∈[1，e]（e是自然对数的底数）时，函数g （x）取得最小值为1．若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，从而确定a的范围即可．【解答】解：（1）由题可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以…
令f'（x）=0，得或x=1…
令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，或x＞1，
令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，
所以f（x）在，（1，+∞）单调递增，在上单调递减…
所以f（x）的极小值是f（1）=﹣2…
（2）由题知，g（x）=ax﹣lnx，所以…
①当a≤0时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，
解得：（舍去）…
②当时，g（x）在[1，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，
解得：（舍去）…
③当时，g（x）在上单调递减，在上单调递增，
，
解得：a=1（舍去）…
④当a≥1时，g（x）在[1，e]上单调递增，g（x）min=g（1）=a=1，
解得：a=1…
综合所述：当a=1时，g（x）在[1，e]上有最小值1．…
21. 已知函数f（x）=x3+（a+1）x2+ax﹣2，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线在x轴上的截
距为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与y=（k﹣1）e x+2x﹣2有唯一公共点．
参考答案：
略
22. 已知函数，
（1）利用函数单调性定义证明：在(1,+∞)上单调递增；
（2）设函数，求在[1,2]上的最大值．参考答案：
(1)证明: 略
(2) 时,最大值为
时,最大值为。