江西省丰城中学2025届高三上学期9月月考数学试卷(含答案)

江西省丰城中学2025届高三上学期9月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题
1．已知集合,集合,则下列结论正确的是( )A. B. C. D.2．已知集合A 和集合B 满足：有2个元素,有6个元素,且集合A 的元素个数比集合B 的元素个数多2个,则集合A 的所有子集个数比集合B 的所有子集个数多( )A.22
B.23
C.24
D.25
3．下列选项中表示同一函数的是( )A.与 B.与C.
D.与4．已知二次函数满足，，且的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A. B.C. D.5．下列说法正确的是( )
A.“”是“”的必要不充分条件
B.命题“,”的否定是“,”
C.的充要条件是
D.“”是“函数的最小正周期为2”的充分不必要条件
6．已知函数=，满足对任意
成
立，则a 的取值范围是( )A. B. C. D.2{|0}A x x x =-={|13}B x x +=∈-≤<N ()
1A B ⊆ ()
1A B ∈ A B =∅
A B B
= A B A B ()0
f x x =()1
g x =()f x x =()2
x g x x
=
()f x =()1
g x x =-()1,01,0x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,0
()1,0
x
x x g x x ⎧≠⎪=⎨
⎪=⎩
()f x (2)1f =-(1)()f x f x -=()f x ()f x =2447x x -++2447x x ++2447
x x --+2447
x x -+-a b >22a b >(0,)x ∀∈+∞11x x +
>(0,)x ∀∈+∞1
1x x
+≤22cos sin 1αβ+=αβ
=πω=()()2sin f x x ωϕ=+()f x (
),023,0x a x a x a x ⎧<⎪
⎨-+≥⎪⎩12x x ≠0>()
0,1a ∈10,3a ⎛⎤∈
⎥⎝⎦
()
2,a ∈+∞3,24a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
7．已知
,A. B. C. D.8．已知函数的定义域为R ,是偶函数,是奇函数,则的最小值为( )A.e
B.
9．已知函数与的定义域均为R ，为偶函数，且，
，则下面判断错误的是( )
A.的图象关于点中心对称
B.与均为周期为4的周期函数
C.
D.二、多项选择题
10．若集合M 和N 关系的Venn 图如图所示，则M ，N 可能是( )
A.，
B.，
C.，
D.，11．已知实数,且,则下列结论正确的是( )A.
a =1e =c =a
b c
>>a c b >>b a c >>b c a
>>()f x ()e x y f x =+()3e x y f x =-()f x ()f x ()g x (1)f x +()3()1f x g x -+=()(1)1f x g x --=()f x (2,1)()f x ()g x 2022
1()2022
i f i ==∑2023
()0
i g i ==∑{0,2,4,6}M ={4}N ={}2|1M x x =<{|1}N x x =>-{|lg }M x y x =={}|e 5x N y y ==+{}22(,)|M x y x y =={(,)|}
N x y y x ==,a b +∈R 21a b +=ab 22b +1
21
b a -<
<-
三、填空题
12．已知幂函数过点,若,则实数a 的取值范围是____________.
13．若关于x 的不等式在区间上有解,则实数m 的取值范围是____________.
14．已知,,若中恰含有一个整数,则实数a 的取值范围是_______________.四、解答题
15．已知集合,,全集.(1)当时,求;(2)若,当时,求实数a 的取值范围.
16．已知函数(1)若,求实数m 的值;(2)若,求实数a 的取值范围.
17．哈尔滨市某高级中学为了在冬季供暖时减少能源损耗,利用暑假时间在教学楼的屋顶和外墙建造隔热层.本次施工要建造可使用30年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为8万元.由于建造工艺及耗材等方面的影响,该教学楼每年的能源消耗费用T （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：当时,
时,;若不建隔热层,每年能源消耗费用为5万元.设为隔热层建造费用与30年的能源消耗费用之和.(1)求k 的值及的表达式;
(2)隔热层修建多厚时,总费用达到最小.并求最小值.18．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求m ，n 的值：
()f x ⎛ ⎝()(3)12f a f a <-+2320x mx m -+-≥[]1,2{}2230A x x x =+->{}
2210,0B x x ax a =--≤>A B {}123A x a x a =-≤≤+{}14B x x =-≤≤U =R 1a =()U A B
ðA B ⊆A ≠∅()25,01
,01
x x f x x x ⎧-≥⎪
=⎨<⎪+⎩()4f m =()6f a <-05x ≤≤()T x =10x <≤()()2
13023560
T x x x =
-+()f x ()f x ()f x 2
()1
mx n
f x x +=+[1,1]-()11f =
(2)试判断函数的单调性，并证明你的结论；(3)求使成立的实数a 的取值范围.19．俄国数学家切比雪夫(П.Л.Чебышев,1821-1894)是研究直线逼近函数理论的先驱.对定义在非空集合I 上的函数,以及函数
,切比雪夫将函数
的最大值称为函数与的“偏差”.
（1）若,,求函数与的“偏差”;
（2）若,,求实数b ,使得函数与的“偏差”取得最小值.
()f x ()()2110f a f a -+-<()f x ()(),g x kx b k b =+∈R ()(y f x g =-I ∈()f x ()g x ()[]()20,1f x x x =∈()1g x x =--()f x ()g x ()[]()21,1f x x x =∈-()g x x b =+()f x ()g x
参考答案
1．答案：B
解析：由题意得,,结合各选项知B 正确.故选B.2．答案：C
解析：设集合A 和集合B 的元素个数分别为x ,y ,
则由有2个元素,有6个元素可知,.即①.
又因为集合A 的元素个数比集合B 的元素个数多2个,所以②.
联立①②可得,,即集合A 和集合B 的元素个数分别为5和3,所以集合A 的所有子集个数和集合B 的所有子集个数分别为,,所以,故选：C.3．答案：D
解析：对于A ，因为定义域为，而的定义域为R ，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于B ，因为定义域为R ，而的定义域为，所以两函数的定义域不同，故不能表示同一函数；
对于C ，易知函数
的定义域为R ，而
域为，的值域为R ，两函数值域不同，故不能表示同一函数；对于D ，易知函数和的定义域为R ，值域为，且
，
所以是同一函数.故选：D.4．答案：A
{}0,1A ={}{}1,21B A B =⇒= {}0,1,2A B = A B A B (2)(2)26x y -+-+=8x y +=2x y -=5x =3y =5232532224-=()f x (,0)(0,)-∞+∞ ()g x ()f x ()g x (,0)(0,)-∞+∞ ()f x =()1x x =-()f x =[)0,+∞()1g x x =-()f x ()g x {1,1}-,01,0()1,01,0
x
x x x g x x x ⎧≠≥⎧⎪==⎨⎨-<⎩⎪=⎩
解析：根据题意，由得：图象的对称轴为直线
设二次函数为，
因的最大值是8，所以，当
，即二次函数，
由得：，解得：，
则二次函数，
故选：A.5．答案：D
解析：对于A,“若,则”是假命题,因为,而;“若,则”是假命题,因为,而,即“”是“”的既不充分也不必要条件,A 错误;对于B,命题“,”是全称量词命题,其否定是存在量词命题,因此它的否定是“,”,B 错误;对于C,当
成立,因此成立,不一定有,C 错误;
对于D,当时,函数的最小正周期为2;当函数的最小正周期为2时,或.
所以“”是“函数的最小正周期为2”的充分不必要条件.D 正确.故选：D.6．答案：
C
解析：因为对任意成立，
(1)()f x f x -=()f x x =
2
1()(0)2f x a x k a ⎛
⎫=-+≠ ⎪⎝
⎭()f x 0a <x =
182f k ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
2
1()8(0)2f x a x a ⎛
⎫=-+≠ ⎪⎝
⎭(2)1f =-2
1(2)2812f a ⎛
⎫=-+=- ⎪⎝⎭4a =-2
21()484472f x x x x ⎛
⎫=--+=-++ ⎪⎝
⎭a b >22a b >12>-221(2)<-22a b >a b >22(2)1->21-<a b >22a b >(0,)x ∀∈+∞1
1x x
+
>(0,)x ∃∈+∞1
1x x
+≤α=
=22sin 1αβ+=22cos sin 1αβ+=αβ=πω=()()2sin f x x ωϕ=+()()2sin f x x ωϕ=+πω=πω=-πω=()()2sin f x x ωϕ=+1x x ≠0>
所以为R 上的增函数，
所以，解得，即，
故选：C.7．答案：C 解析：因为
因为
有：,由有：,所以
上单调递减,因为,,,因为,所以,故A,B,D 错误.故选：C.8．答案：B
解析：因为函数为偶函数,则,即
,①
又因为函数为奇函数,则,即
,②联立①②可得,
由基本不等式可得,
当且仅当时,即当时,等号成立,
故函数的最小值为
故选：B.9．答案：C
解析：因为为偶函数，所以①，所以的图象关于直线轴对称，
()f x ()0120203a a a a a >⎧⎪
->⎨⎪≤-⨯+⎩
2a >()2,a ∈+∞ln 22a ==
1e ===()f x =()f x '=2
1ln ()0x f x x -'=>0e x <<2
1ln ()0x f x x -'=<e x >()f x =)e,+∞()ln 2ln 4424a f =
==()1ln e e e e b f ===()ln 999
c f ==94e >>b a c >>()e x y f x =+()()e e x x f x f x --+=+()()e e x x f x f x ---=-()3e x y f x =-()()3e 3e x x f x f x ---=-+()()3e 3e x x f x f x -+-=+()e 2e x x f x -=+()e 2e x x f x -=+≥=e 2e x x -=1
ln 22
x =()f x ()1f x +()()11f x f x +=-+()f x 1x =
因为等价于②，
又③，②+③得④，即，
即，
所以，故的周期为4，又，所以的周期也为4，故选项B 正确，
①代入④得，故的图象关于点中心对称，且，故选项A 正确，
由，可得，且，故，
故，
因为与值不确定，故选项错误，
因为，所以，,,所以，故，故，所以选项D 正确，
故选:.10．答案：ACD
解析：根据Venn 图可知，对于A ，显然，故A 正确；
对于B ，，，则，故B 错误；对于C ，，，则，故C 正确；
对于D ，，或，，，则，故D 正确.故选：ACD 11．答案：AD
()()11f x g x --=()()11f x g x --=()()31f x g x -+=()()132f x f x -+-=()()132f x f x +++=()()22f x f x +=-()()()422f x f x f x +=-+=()f x ()()13g x f x =--()g x ()()132f x f x ++-=()f x ()2,1()21f =()()22f x f x +=-()21f =()01f =()41f =()()132f f +=()()()()12344f f f f +++=2022
1(i)5054(1)(2)2021(1)i f f f f ==⨯++=+∑()1f ()3f C ()()31f x g x -+=()10g =()30g =()()013g f =-()()211g f =-()()()()022130g g f f +=-+=⎡⎤⎣⎦()()()()01230g g g g +++=2023
0(i)50600i g ==⨯=∑C N M ÜN M Ü{|11}M x x =-<<{|1}N x x =>-M N ⊆{|0}M x x =>{|5}N y y =>N M Ü{(,)|M x y y x ==}y x =-{(,)|}N x y y x =={(,)|}N x y y x ==N M Ü
解析：对于A,因为,,所以
当且仅当
对于B,因为,,所以,,
所以所以
所以当
对于C,因为,
,
,时,取等号
,
对于D,
因为
由选项B 知
,所以,所以,所以,所以,所以D 正确,故选：AD.
12．答案：解析：设幂函数,因为函数图象过点,则
则
,且在单调递减.所以由,
,a b +∈R 21a b +=12a b =+≥≤2a b ==
,a b +∈R 21a b +=01a <<120b a =->0a <<
2
222222(12)54155a a a a a a b ⎛⎫=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭+a =
22b +,a b +∈R 21a b +=()11122333b a a b b a b a b ⎛⎫=++=++≥+=⎪⎭+ ⎝==1b =-+2a b +=221a a -==--0a <<1112a <-<-1211
a -<<--2241a <-
<-20221a <--<-1021
b a -<<-23,32⎛⎫
⎪
⎝⎭
()f x x α
=⎛ ⎝22α
===1
2
()f x x
-
==
)0,+∞()f x ()0,+∞()(3)12f a f a <-+
可得
所以实数a 的取值范围是.
故答案为：.
13．答案：解析：,
不等式,即
上有解.设,,则,
令,,
设,,
,则在区间上单调递增,
故,即.
故要使
上有解,则.即实数m 的取值范围是.故答案为：.14．答案：
解析：由题意,得或,
;
因为
,所以若中恰含有一个整数,则,则
10
3
20132
a a a +>⎧⎪
->⎨⎪+>-⎩
a <<23,32⎛⎫
⎪⎝⎭23,32⎛⎫
⎪⎝⎭
[)2,-+∞[]1,2x ∈ ∴2
320x mx m -+-≥m ≥
]1,22
2()3x g x x
-=
-[]1,2x ∈2
(3)6(3)77()(3)633x x g x x x x
--+--==---+--3t x =-[]1,2t ∈7()6h t t t ⎛⎫
=-++ ⎪⎝⎭
[]1,2t ∈22277()10t h t t t -⎛
⎫'=--=> ⎪⎝⎭()h t []1,2min ()(1)2h t h ==-min ()(2)2g x g ==-m ≥]1,22m ≥-[)2,-+∞[)2,-+∞{}2|230{|1A x x x x x =+->=>3}x <-{}{2|210,0=|B x x ax a x a x a =--≤>-≤≤A B {}2A B =
,即,两边平方,得,解得,即实数的取值范围为
;
故填.15．答案：(1)(2)解析：(1)当时,,,则或,故;(2)若,当时,需满足,
解得
.16．答案：(1)或(2)解析：(1)当时,,解得或（舍去）;当时,,解得
所以m 的值为3或(2)当时,,不符合题意,,且,解得.{|10}
x x -≤<1[0,]2
1a ={}05A x x =≤≤{}14B x x =-≤≤{|0
U A x x =<ð5}x >(){|10}
U A B x x =-≤< ðA B ⊆A ≠∅12311234a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩
0a ≤≤12
33
4-
716x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
0m ≥()254f m m =-=3m =3m =-0m <()141f m m =
=+m =3
4
-0a ≥()2556f a a =-≥->-<0a ∴()161
f a a =
<-+716a -<<-
所以a 的取值集合是.17．答案：(1),;(2)当
解析：(1)由题意知若不建隔热层,每年能源消耗费用为5万元
,,解得,当时,当时,
(2)当时,
当且仅当
当时,当时,,
所以,当时,
18．答案：(1)，；
(2)上为增函数.证明见解析；(3)解析：（1）由题意，在中，函数是奇函数，且，可得即；
716x a ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭
20k =()26008(05)3412357(510)22
x x x f x x x x ⎧+≤≤⎪⎪+=⎨⎪-+<≤⎪⎩x =(f x ()054
k T ∴==20k =05x ≤≤20()830834f x x x x =+⨯
=++510x <≤()()2211303023587602f x x x x x x =⨯-++=-+()26008(05)3412357(510)22
x x x f x x x x ⎧+≤≤⎪⎪+∴=⎨⎪-+<≤⎪⎩05x ≤≤()60086003232()834803433433f x x x x x =+
=++-≥-=++x =510x <≤7x =()min ()793f x f ==113x =(f x 2m =0n =()f x =
1,1]-[)
0,1[1,1]
x ∈-2()1mx n f x x +=+()11f =(0)0f =0n =
，则，，；经验证满足题意.
（2）由题意及（1
）得，
上为增函数.证明如下：在中，设，则
，
，，，即，
在上为增函数；
（3）由题意，（1）及（2）得，在中，为奇函数，，即，，
解得，
a 的取值范围是19．答案：（1）3
解析:（1）
,因,所以,则,故函数与的“偏差”为3;
为)1m n +=2m =∴2m =0n =()f x =1,1]-2()1mx n f x x +=
+[1,1]x ∈-1211x x -≤<≤1212221222()()11x x f x f x x x -=
-=++ 1211x x -≤<≤∴120x x -<121x x <∴12())0(f x f x -<12()()f x f x <∴()f x [1,1]-[1,1]
x ∈-2()1
mx n f x x +=+()f x ∴()()
f x f x =--∴2(1)(1)0f a f a -+-<22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-∴21111a a -≤-<-≤01a ≤<∴[)
0,1()()2
2112y f x g x x x x ⎛⎫=-=++=+ ⎪⎝
⎭[]0,1∈[]0,1x ∈113,222x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]2
131,324y x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭()f x ()g x
（2）令
,
,因为,,,当,即
,则
,由于
当,即
,则
,由于
当,,且,即
则
当,,且,即
则
;当,,且,即
则
;当,,即时,则
()()()2
212t x f x g x x x b x b ⎛⎫=-=--=-- ⎪⎝⎭[]1,1x ∈-()()2
12h x t x x b ⎛⎫==-- ⎪⎝
⎭[]1,1∈-[]1,1x ∈-131,222x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2190,24x ⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
104b --=b =211024x b ⎫---≥⎪⎭()2
12h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭b -2b -=104b -->b <211024x b ⎫--->⎪⎭()2
12h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭b -2b ->104b --<()120t b -=->124b b +<-14b -<<()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭-2b <-<104b --<()120t b -=->124b b +>-b >()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭+1948+>104b --<()120t b -=->124b b +=-b =()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭+1948+=104
b --<()120t b -=-<2b >()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭+14+>
当,,即时,则
综上,
104
b --<()120t b -=-=2b =()212h x x b ⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭+14+=b =。