随机变量及其分布方法总结经典习题及解答

随机变量及其分布方法总结经典习题及解答
一、离散型随机变量及其分布列
1、离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

常用大写英文字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。

2、分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为：
x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的分布列
3、分布列的两个性质：
⑴Pi≥0，i＝1，2，… ⑵P1+P2+…=
1、常用性质来判断所求随机变量的分布列是否正确！
二、热点考点题型考点一: 离散型随机变量分布列的性质
1、随机变量ξ的概率分布规律为P(ξ＝n)＝(n＝1，2，3，4)，其中a是常数，则P(＜ξ＜)的值为
A、
B、
C、
D、答案：D考点二：离散型随机变量及其分布列的计算
2、有六节电池，其中有2只没电，4只有电，每次随机抽取一个测试，不放回，直至分清楚有电没电为止，所要测试的次数为随机变量，求的分布列。

解：由题知2，3，4，5∵ 表示前2只
测试均为没电，∴ ∵ 表示前两次中一好一坏，第三次为坏，∴ ∵ 表示前四只均为好，或前三只中一坏二好，第四个为坏，∴ ∵ 表示前四只三好一坏，第五只为坏或前四只三好一坏第五只为好∴ ∴ 分布列为2345P
三、条件概率、事件的独立性、独立重复试验、二项分布与超几何分布
1、条件概率：称为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

2、相互独立事件：如果事件A（或B）是否发生对事件B （或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

①如果事件
A、B是相互独立事件，那么，A与、与
B、与都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

我们把两个事件
A、B同时发生记作AB，则有P（AB）= P（A）P（B）推广：如果事件A1，A2，…An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。

即：P（A1A2…An）= P
（A1）P（A2）…P(An)
3、独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验、在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的、
4、如果在1次试验中某事件发生的概率是
p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：Pn（k）=CP k（1－p）n－k,其中，k=0,1,2，…,n、5、离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量、如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝
0,1,2,…，n，）、于是得到随机变量ξ的概率分布如下：
ξ01…k…nP……由于恰好是二项展开式中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)、6、两点分布：
X 01 P1－p p
7、超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，。

称分布列X 01 … m
P … 为超几何分布列，称X服从超几何分布。

四、热点考点题型题型
1、条件概率[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率解析：设事件表示第次按对密码⑴⑵事件表示恰好按两次按对密码，则⑶设事件表示最后一位按偶数，事件表示不超过2次按对密码，
因为事件与事件为互斥事件，由概率的加法公式得：说明：条件
概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A
发生的条件下事件B发生的概率可以看成在样本空间为事件A中
事件B发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法缩减样本
空间法题型
2、相互独立事件和独立重复试验[例2]某公司是否对某一项
目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定、他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张、投票时，每人必须且
只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们
的投票相互没有影响、规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资、（Ⅰ）求
此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该
项目投资的概率；解析：（Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的
概率P= ()3＝（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为P＝
C32()2()＋C33()3＝答: （Ⅰ）此公司一致决定对该项目投资的
概率为（Ⅱ）此公司决定对该项目投资的概率为、说明：除注意事件的独立性外, 还要注意恰有次发生与指定次发生
的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为,后者的概率为题型3: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布如何？解析：从50名学生中随机取5人共有种方法，没有女生的取法是，
恰有1名女生的取法是，恰有2名女生的取法是，恰有3名女生的取法是，恰有4名女生的取法是，恰有5名女生的取法是，因此取出的5名学生代表中，女生人数X的频率分布为：X012345P 题型4: 独立重复试验与二项分布的应用例题4：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列、解：（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ服从参数为10,2,3超几何分布：P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，所以ξ的分布列为012（2）放回抽样时，抽到次品数ηB
（3,0、2）：P（η=k）=C0、83－k0、2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列为0123C0、83C0、8
20、2C0、
80、22C0、23
五、离散型随机变量的期望和方差
1、数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…则称…… 为ξ的数学期望，简称期望、
2、期望的一个性质:
3、若ξB（n,p），则Eξ=np
4、方差: ＝＋＋…＋＋…、
5、标准差:叫做随机变量ξ的标准差、
6、方差的性质：
；
7、若ξ～B(n，p)，则np(1-p)
六、热点考点题型题型一：离散型随机变量的期望与方差例题1：为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设为成活沙柳的株数，数学期望，标准差为。

（Ⅰ）求n,p的值并写出的分布列；（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率解析：
(1)由得,从而的分布列为0123456(2)记”需要补种沙柳”为事件A, 则得或例题2：一厂家向用户提供的一箱产品共10件，其中有2件次品，用户先对产品进行抽检以决定是否接收、抽检规则是这样的：一次取一件产品检查（取出的产品不放回箱子），若前三次没有抽查到次品，则用户接收这箱产品；若前三次中一抽查到次品就立即停止抽检，并且用户拒绝接收这箱产品、（1）求这箱产品被用户接收的概率；（2）记抽检的产品件数为，求的分布列和数学期望、解：（1）设“这箱产品被用户接收”为事件，、即这箱产品被用户接收的概率为、（2）的可能取值为1，2，
3、 =，=，=，∴的概率分布列为：123∴=、七、正态分布
1、正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数（期望值）与标准差。

当时得到标准正态分布密度函数：、
2、正态曲线的性质：① 曲线位于x轴上方，与x轴不相交；② 曲线是单峰的，关于直线x＝对称；③ 曲线在x＝处达到峰值；④ 曲线与x轴之间的面积为1；
3、是参数与图象的关系:① 当一定时，曲线随质的变化沿x 轴平移；② 当一定时，曲线形状由确定：越大，曲线越“矮胖”，表示总体分布越分散；越小，曲线越“高瘦”，表示总体
分布越集中。

(1)P=0、683；(2)P=0、954 (3)P=0、997八、热点考点题型考点一：
正态分布的应用例题1：某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为，则下列命题不正
确的是（）
A、该市这次考试的数学平均成绩为80分；
B、分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相
同；
C、分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相
同；
D、该市这次考试的数学成绩标准差为
10、答案：B例题2：设随机变量服从正态分布,若,则c= ( )
A、1
B、2
C、3
D、4答案:B九、独立性检验与回归分析
1、独立性检验：列联表：为了研究事件与的关系，经调查得到一张列联表，如下表所示合计合计卡方统计量，它的表达式是经过对统计量分布的研究，已经得到了两个临界值：与、当根据
具体的数据算出的时，有的把握说事件与有关；当时，有的把握
说事件与有关；当时，事件与无关、2、相关性检验⑴对于变量与随机抽取到的对数据样本相关系数⑵r具有以下性质：①当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变量负相关；②
当|r|≤1,并且|r|越接近1时，两个变量的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，两个变量的线性相关程度越弱;⑶相关性检验
的步骤：① 作统计假设② 根据小概率与在附表中找出的一个临界值③ 根据样本相关系数计算公式算出值④ 用统计判断、当时有95%的把握说两个变量间具有线性相关关系，当时二者无相关关系。

、热点考点题型
1、独立性检验为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下22列联表：理科文科男1310女720已知P（≥
3、841）≈0、05，P（≥
6、635）≈0、01、根据表中数据，得到=≈
4、8
44、则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为、答案5%
2、相关性检验下列说法：①将一组数据中的每个数据都加
上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程=3-5x,变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程=必过（，）;④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;⑤在
一个22列联表中,由计算得=
13、079,则其两个变量间有关系的可能性是90%、其中错误的个数是、答案3。