2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案)(K12教育文档)
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2018年上海市青浦区高三二模数学卷(含答案)(word版可编辑修改) 编辑整理:
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青浦区2018届高三年级第二次学业质量调研测试
数学试卷
2018。
04
(满分150分,答题时间120分钟)
一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1~6题每题4分,第7~12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.
1.不等式|3|2x -<的解集为__________________.
2.若复数z 满足2315i z -=+(i 是虚数单位),则=z _____________. 3.若1sin 3α=,则cos 2πα⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭_______________.
4.已知两个不同向量(1,)OA m =,(1,2)OB m =-,若OA AB ⊥,则实数m =____________. 5.在等比数列{}n a 中,公比2q =,前n 项和为n S ,若51S =,则10S = . 6.若,x y 满足2,
10,20,x x y x y ≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≥⎩
则2z x y =-的最小值为
____________.
7.如图所示,一个圆柱的主视图和左视图都是边长为1的正方形,
俯视图是一个直径为1的圆,那么这个圆柱的体积为
__________. 8.6
2
1(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为______________. 9.高三某位同学参加物理、化学、政治科目的等级考,已知这位同 学在物理、化学、政治科目考试中达A +的概率分别为78
、34
、
512
, 这三门科目考试成绩的结果互不影响,则这位考生至少得2个A +的概率是 . 10.已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数,当(0,2]x ∈时,()21x f x =-,函数 2()2g x x x m =-+。
如果对于任意的1[2,2]x ∈-,总存在2[2,2]x ∈-,使得12()()f x g x ≤,
则实数m 的取值范围是 .
11
.已知曲线C y =:2l y =:,若对于点(0,)A m ,存在C 上的点P 和l 上的 点Q ,使得0AP AQ +=,则m 取值范围是 .
12.已知22
s 1
(,,0)cos 1
a a in M a a a a θθθ-+=∈≠-+R ,则M 的取值范围是 . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分) 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.设,αβ是两个不同的平面,b 是直线且b β⊂≠.则“b α⊥”是“αβ⊥”的( )
. (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充要条件
(D )既不充分又不必要条件
14.若已知极限sin lim
0n n n
→∞=,则3sin lim sin 2n n n
n n →∞--的值为( ).
(A )3-
(B )3
2
- (C)1-
(D)12
- 15.已知函数()f x 是R 上的偶函数,对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立,当
[]12,0,3x x ∈,且12x x ≠时,都有
1212
()()
0f x f x x x ->-.给出以下三个命题:
①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴; ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数; ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点. 问:以上命题中正确的个数有( ). (A)0个
(B )1个
(C)2个
(D )3个
16.如图所示,将一圆的八个等分点分成相间的两组,连接每组
的四个点得到两个正方形.去掉
两个正方形内部的八条线段后可以形成一正八角星。
设正八角
A
星的中心为O ,并且
12,OA e OB e ==.若将点O 到正八角星16个顶点的向量都写成 12e e λμλμ+∈R ,、的形式,则λμ+的取值范围为( ).
(A )2⎡
⎤-⎣⎦
(B)⎡
-+⎣
(C )1⎡
--+⎣ (D )12⎡
⎤-⎣⎦
三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
如图,在正四棱锥P ABCD -中,PA AB ==E ,F 分别为PB ,PD 的中点.
(1)求正四棱锥P ABCD -的全面积;
(2)若平面AEF 与棱PC 交于点M ,求平面AEM F 与平面ABCD
所成锐二面角的大小(用反三角函数值表示).
18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知向量(cos ,1)2x m =-,2(3sin ,cos )22
x x
n =,设函数()1f x m n =⋅+.
(1)若[0,]2x π∈,11
()10
f x =,求x 的值;
(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是c b a ,,且满足2cos 2,b A c ≤-求()f B 的取值范围.
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
已知椭圆22
22C 1(0)x y a b a b
+=>>:的一个顶点坐标为(2,0)A ,且长轴长是短轴长的两倍.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点(1,0)D 且斜率存在的直线交椭圆于G H 、,G 关于x 轴的对称点为G ',求证:直线
G H '恒过定点()4,0.
20。
(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分.
设函数()2
()5f x ax a x
=
-+∈R . (1)求函数的零点;
(2)当3a =时,求证:()f x 在区间(),1-∞-上单调递减;
(3)若对任意的正实数a ,总存在[]01,2x ∈,使得0()f x m ≥,求实数m 的取值范围.
21。
(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分。
给定数列{}n a ,若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列".
(1)已知数列{}n a 的通项公式为3n n a =,试判断{}n a 是否为封闭数列,并说明理由; (2)已知数列{}n a 满足122++=+n n n a a a 且212=-a a ,设n S 是该数列{}n a 的前n 项和,试问:是否存在这样的“封闭数列”{}n a ,使得对任意n ∈*N 都有0≠n S ,且12
1
111118
18
n S S S <+++
<,若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由;
(3)证明等差数列{}n a 成为“封闭数列”的充要条件是:存在整数1m ≥-,使1a md =.
青浦区2017学年高三年级第二次学业质量调研测试
数学参考答案及评分标准 2018。
04
一。
填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1—6每题4分,7—12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1.{}15x x <<或(1,5); 2.5
2i 2
-;
3.13
;
4.1; 5.33; 6.12
-;
7.π4
;
8.30;
9。
151
192
;
10。
5m ≥-; 11.1
[,1]2
-; M ≤≤。
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分。
13. A ;14。
D ; 15. B ;16。
C .
三、解答题(本大题共有5题,满分76分) 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.
17.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
解:(1)因为正四棱锥P ABCD -,取AB 中点G ,连接
PG ,
PA AB ==PG ∴=
21
=482
S S S +=+⨯⨯=+侧全底(2)连接AC ,连接BD ,记AC BD O =,因为OA ,OB ,OP 两两互相垂直,如图建立空间直
角坐标系O xyz -.因为PB AB ==,所以Rt Rt POB AOB ≅△△.
所以2OA OP ==.
所以(2,0,0)A ,(0,2,0)B ,(2,0,0)C -,(0,2,0)D -,(0,0,2)P ,(0,1,1)E ,(0,1,1)F -. 所以(2,1,1)AE =-,(2,1,1)AF =--.
设平面AEMF 的法向量为(,,)n x y z =,所以0,0,n AE n AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,
20.x y z x y z -++=⎧⎨
--+=⎩
所以0y =.令1x =,2z =,所以(1,0,2)n =. 因为平面平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m =
设m 与n 的夹角为ϕ,cos 1m n m n
ϕ⋅=
=
=⨯⋅ϕ⇒=
所以平面AEM F 与平面ABCD 所成锐二面角的大小是arccos
5
. 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
解:(1)21cos ()cos cos 112222
x x x x
f x x +=-+=
-+
111
cos sin()2262
x x x π=
-+=-+ ∵113
() sin(); [0,]1065
2
f x x x ππ
=
∴-=∈又
∴33
arcsin arcsin 6565
x x π
π-
=⇒=+ (2)由A C A B a c A b sin 3sin 2cos sin 232cos 2-≤-≤得
2sin cos 2sin()B A A B A ⇒≤+-
2sin cos 2[sin cos cos sin )B A A B A B A ⇒≤+
2sin cos cos (0,]6
A B A B B π
⇒≥⇒≥
⇒∈ ∴111
sin()(,0],()sin()()(0,]62622
B f B B f B ππ-∈-=-+⇒∈即
19.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)
解:(1)因为椭圆22
22C 1(0)x y a b a b
+=>>:的一个顶点坐标为(2,0)A ,即2a =
又长轴长是短轴长的两倍,即241a b b =⇒=,
所以椭圆方程2
214
x y +=;
(2)解一:设直线GH 的方程为(1)y k x =- ,点1122,,x y x y G (),H() 则11,x y '-G ()
联立方程组222222
(1)(14)844044
y k x y k x k x k x y =-⎧+-+-=⎨+=⎩消去可得
由韦达定理可得22121222
844
,,1414k k x x x x k k -+==++
直线21
1121
(),y y y y x x x x ++=--,
G H :
21121221112121
4()
4(4)=y y y x x y y y x y y x x x x x +--++==-+
---当时,
222212122121844
[528][5()28]1414=k k k k x x x x k k x x x x -⨯-⨯-+--++=--
222221
4088
[8]1414==0k k k k k x x ---++-
所以直线则H 'G 过定点(4,0)
20。
(本题满分16分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题6分。
解:(1)①当0a =时,函数的零点为25
x =-;
②当25
08
a a ≥-
≠且
时,函数的零点是x =
③当25
8
a <-
时,函数无零点; (2)当3a =时,2()3+5f x x x =
-,令2
()3+5g x x x
=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-,且12x x <, 则()21
1212121212()232
2()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=
-+--+= ⎪⎝⎭
因为12x x <,12,(,1)x x ∈-∞-,所以210x x ->,121x x >,从而
()
211212
()230x x x x x x -+>
即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减
当(),1x ∈-∞-时,()()6,g x ∈+∞22
()3+5=3+5()f x x x g x x x
∴=
--=
即当3a =时,()f x 在区间(),1-∞-上单调递减;
(3)对任意的正实数a ,存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥,即0max ()f x m ≥,
当()0,x ∈+∞时,
25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x x
a ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨+⎪-+-≥⎪⎩
即()f x
在区间50,2a ⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递减,在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增; 所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--, 又由于0a >,{}8
max 7,623
a a --≥,所以83m ≤.
21。
(本题满分18分)本题共3小题,第(1)小题4分,第(2)小题6分,第(3)小题8分. 解:(1){}n a 不是封闭数列.
因为取1,2n n ==,则123912a a +=+=,233123<<即123,m a a m +≠∈*N 从而{}12n a a a +∉,所以
{}n a 不是封闭数列;
(2)因为122++=+n n n a a a ,所以{}n a 是等差数列,又212=-a a ,所以()121-+=n a a n , 若{}n a 是“封闭数列”,所以对任意,s t ∈*N ,必存在p ∈*N ,使得
()()()111212121a s a t a p +-++-=+-,即()121a p s t =--+,故1a 是偶数,又对任意n ∈*N 都有
0≠n S ,且
12
111
111818n S S S <+++
<,所以11111818S <<,故118
811
a <<,故1a 可取的值为2,4,6 经检验得:41=a 或61=a ;
(3)证明:(必要性)任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠,若存在k a ,使s t k a a a +=,则 1112(2)(1)(1)a s t d a k d a k s t d ++-=+-⇒=--+,故存在1m k s t =--+∈Z ,使1a md =
下面证明1m ≥-
①当0d =时,显然成立
②当0d ≠时,若1m <-时则取2p m =-≥,对不同的两项1,p a a ,存在q a ,使1p q a a a +=,即
2(1)(1)0md m d md q d qd +--=+-⇒=,这与0,0q d >≠矛盾,故存在整数1m ≥-,使1a md =
(充分性)若存在整数1m ≥-,使1a md =,则任取等差数列的两项,()s t a a s t ≠,于是111+(1)(1)(1)(1)s t a a a s d a t d a s d md t d =+-++-=+-++-11(2)s m t a s m t d a ++-=+++-=,由于3,1s t m +≥≥-,1s t m ∴++-为正整数,即{}1s m t n a a ++-∈证毕.。