2020中考数学二次函数分类汇编试题含答案

中考数学二次函数分类汇编试题含答案
一、选择题
1、（2020最新模拟天津市）已知二次函数
)0(2
a
c bx ax
y
的图象如图所示，有下列5个结
论：①
0abc
；②
c a
b ；③
024c
b
a ；④
b c
32；⑤)(b am
m b
a
，（1m 的实数）其中正确的结论有（）
B
A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个
2、（2020最新模拟南充）如图是二次函数y ＝ax 2
＋bx
＋c 图象的一部分，图象过点
A （－3，0），对称轴为
x ＝－1．给出四个结论：①
b 2
＞4ac ；②2a ＋b =0；③a －b ＋c =0；④
5a ＜b ．其中正确结论是（）．B （A ）②④
（B ）①④
（C ）②③
（D ）①③
3、（2020最新模拟广州市）二次函数2
21y
x
x 与
x 轴的交点个数
是（
）B
A ．0
B ．1 C
．2 D
．3
4、（2020最新模拟云南双柏县）在同一坐标系中一次函数
y
ax
b
和
二次函数
2
y
ax
bx 的图象可能为（
）A
O
x
y
O
x y
O
x
y
O
x
y
A
B C D
5、（2020最新模拟四川资阳）已知二次函数2
y ax
bx
c (a ≠0)
的图
象开口向上，并经过点
(-1，2)，(1，0) . 下列结论正确的是( )D
A. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而增大
B. 当x >0时，函数值y 随x 的增大而减小
C. 存在一个负数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x > x 0时，函数值y 随x 的增大而增大
D. 存在一个正数x 0，使得当x <x 0时，函数值y 随x 的增大而减小；当x >x 0时，函数值y 随x 的增大而增大6、（2020最新模拟山东日照）已知二次函数
y =x 2
-x+a (a ＞0)，当自
变量x 取m 时，其相应的函数值小于0，那么下列结论中正确的
是（
）B
(A) m -1的函数值小于0
(B)
m
-1的函数值大于0
(C) m -1的函数值等于0
(D) m -1的函数值与
的大小关系不确定二、填空题
1、（2020最新模拟湖北孝感）二次函数y =ax 2
＋bx ＋c 的图象如图
8所示，
且P =| a －b ＋c |＋| 2a ＋b |，Q =| a ＋b ＋c |＋| 2a －b |，则P 、Q 的大小关系为 .P<Q
2、（2020最新模拟四川成都）如图9所示的么
a
抛物线是二次函数2
2
31y
ax
x a
的图象，那
的值是
．－1
3、（2020最新模拟江西省）已知二次函数
2
2y
x
x m
的部分
图8
x
y O
第4题
O y
x
图9
y
x
O
1
3
（第3题）
图象如图所示，则关于x
的一元二次方程
2
20
x
x m 的解
为
．
1
1x ，2
3x ；
4、（2020最新模拟广西南宁）已知二次函数2
y
ax
bx
c 的图象如图
所示，则点()
P a bc ，在第象限．三
三、解答题
1、（2020最新模拟天津市）知一抛物线与x 轴的交点是
)
0,2(A 、B （1，
0），且经过点C （2，8）。

（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。

解：（1）设这个抛物线的解析式为c
bx ax
y 2
由已知，抛物线过
)
0,2(A ，B （1，0），C （2，8）三点，得
8
2400
24c b
a
c b
a c
b a （3分）解这个方程组，得
4
,2,2c
b
a
∴所求抛物线的解析式为4222
x
x
y
（6
分）
（2）
2
9)
2
1(2)2(24222
2
2
x
x x
x x
y
∴该抛物线的顶点坐标为
)2
9,2
1(2、（2020最新模拟上海市）在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为
(14)A ，，且过点(30)B ，．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x
轴的另一个交点的坐
标．
解：（1）设二次函数解析式为
2
(1)
4y a x ，
Q 二次函数图象过点
(30)B ，，0
44a ，得1a ．
二次函数解析式为2
(1)
4y
x ，即2
23y x
x ．（2）令
0y
，得2
23
0x
x ，解方程，得
1
3x ，2
1x ．
二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)，．
二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．
平移后所得图象与
x 轴的另一个交点坐标为
(40)
，3、（2020最新模拟广东梅州）已知二次函数图象的顶点是(12)，，且
过点
3
02
，．
（1）求二次函数的表达式，并在图10中画出它的图象；
（2）求证：对任意实数m ，点2()M m m ，都不在这个
二次函数的图象上．
解：（1）依题意可设此二次函数的表达式为
2
(1)
2y a x ，2分
又点
302
，在它的图象上，可得
322a
，解得12a
．
所求为
2
1(1)
22y
x ．令0y
，得1
2
13
x x ，画出其图象如右．
（2）证明：若点M
在此二次函数的图象上，则
2
21(1)22
m
m ．
得2
23
0m
m ．
方程的判别式：
412
80，该方程无解．
所以原结论成立．
4、（2020最新模拟贵州省贵阳）二次函数
2
(0)y ax
bx c a
的图象如
图10
1 2 3
3
2 1
0 123y
x
y
321
图9所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程
2
0ax
bx c 的两个根．（2分）（2）写出不等式2
0ax
bx
c
的解集．（
2分）
（3）写出
y 随x 的增大而减小的自变量
x 的取值范围．（
2分）
（4）若方程2
ax
bx c k
有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4
分）解：（1）1
1x ，2
3
x （2）13
x （3）
2x （4）2
k
5、（2020最新模拟河北省）如图13，已知
二次函数
2
4y
ax
x c
的图像经过点A 和点B ．
（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像
上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线
的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．解：（1）将x =-1，y =-1；x =3，y =-9分别代入
c x ax
y 42
得.
3439,
)
1(4)1(12
2
c a c a 解得
.
6,1c a ∴二次函数的表达式为
642
x
x
y
．
（2）对称轴为
2x
；顶点坐标为（2，-10）．
x
y
O
3
－
9
－
1 －
1
A
B
图13
（3）将（m ，m ）代入
642
x
x
y ，得
642
m
m
m ，
解得1
2
1,6m m ．∵m ＞0，∴11m 不合题意，舍去．∴m =6．∵点P 与点Q 关于对称轴2x 对称，∴点Q 到x 轴的距离为6．
6、（2020最新模拟四川成都）在平面直角坐标系xOy
中，已知二次
函数
2
(0)y
ax
bx c a
的图象与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左边），
与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．
（1）求此二次函数的表达式；（2）若直线
:(0)l y
kx k
与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则
是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？
若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明
理由；（3）若点
P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任
意一点，试比较锐角PCO 与
ACO 的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标
p x 的取值范围．
解：（1）Q 二次函数图象顶点的横坐标为
1，且过点
(23)，和(312)，，
由
12423932
12.
b
a
a b c a b ，，解得
123.
a
b c
，，此二次函数的表达式为2
23y x
x
．
（2）假设存在直线:(0)l y
kx k
与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），
使得以B O D ，，为顶点的三角形与
BAC △相似．
在
2
23y
x
x 中，令0y ，则由
2
23
0x
x ，解得1
2
13
x x ，(10)(30)A B ，，，．令0x ，得3y ．
(03)C ，．
y
x
1
1
O
x
C
D
l
设过点O 的直线l 交BC 于点D ，过点D 作DE x ⊥轴于点E ．
Q 点B 的坐标为(30)，，点C 的坐标为(03)，，点A 的坐标为(10)，．
4345.
AB
OB
OC
OBC
o
，，2
2
3
3
32BC ．
要使BOD BAC △∽△或BDO BAC △∽△，已有B
B ，则只需BD BO BC
BA
，①
或
.
BO BD BC
BA
②
成立．
若是①，则有332
924
4
BO BC BD
BA
g ．而
45OBC BE
DE
o
，．
在Rt BDE △中，由勾股定理，得2
2
2
2
2
9224
BE
DE BE
BD
．
解得
94
BE
DE
（负值舍去）．
933
4
4
OE OB
BE
．
点D 的坐标为3944
，．将点
D 的坐标代入(0)y
kx k
中，求得3k
．
满足条件的直线l 的函数表达式为
3y
x ．［或求出直线AC 的函数表达式为
33y
x
，则与直线
AC 平行的直线
l
的函数表达式为3y
x ．此时易知BOD BAC △∽△，再求出直线
BC 的函数
表达式为
3y
x ．联立33y
x y
x
，求得点D 的坐标为
3944
，．］若是②，则有
342232
BO BA BD
BC
g ．而
45OBC BE
DE
o
，．
在Rt BDE △中，由勾股定理，得2
2
2
2
2
2(22)
BE DE BE BD ．
解得
2BE
DE
（负值舍去）．
321OE OB
BE
．点D 的坐标
为(12)，．将点
D 的坐标代入
(0)y
kx k
中，求得2k
．∴满足条件的直线l 的函数
表达式为
2y
x ．
存在直线:3l y
x 或2y x 与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），使
得以
B O D ，，为顶点的三角形与BA
C △相似，且点
D 的坐标分别为
3944
，或(12)
，．（3）设过点(03)(10)C E ，，，
的直线
3(0)y kx k
与该二次函数的图象交于
点P ．将点
(10)E ，的坐标代入
3y
kx 中，求得3k ．此直线的函数表达式为
33y
x ．
设点P 的坐标为(33)x x ，，并代入2
23y
x
x ，得2
50x
x
．
解得
1
2
50x x ，（不合题意，舍去）．512x
y
，．
点P 的坐标为
(512)，．此时，锐角
PCO
ACO ．
又Q 二次函数的对称轴为1x
，点C 关于对称轴对称的点C
的坐标为(23)，．当5p x 时，锐角PCO ACO ；当5p x 时，锐角
PCO
ACO ；
当2
5p
x 时，锐角
PCO
ACO ．
7、（2020最新模拟四川眉山）如图，矩形A ’BC ’O ’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边
OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到
的．O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．(1)如果二次函数
y ＝ax 2
＋bx ＋c(a ≠0)的图象经过
O 、O ’两点且图
象顶点M 的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点
P ，使得
ΔPOM 为直角三角形?若存在，请求出P 点的坐标和ΔPOM 的面积；若不存在，请说明理由；
x
B
E
A
O C
1
x P
C
·
(3)求边C’O’所在直线的解析式．
8、（2020最新模拟山东日照）容积率t是指在房地产开发中建筑面
积与用地面积之比，即
t =
用地面积
建筑面积S M ，为充分利用土地资源，更好地解
决人们的住房需求，并适当的控制建筑物的高度，一般地容积率t
不小于1且不大于8.一房地产开发商在开发某小区时，结合往年开发经验知，建筑面积
M
（m 2
）与容积率t 的关系可近似地用如图（1）
中的线段l 来表示；1 m 2
建筑面积上的资金投入Q （万元）与容积率t 的关系可近似地用如图（
2）中的一段抛物线段
c 来表示．
（Ⅰ）试求图（1）中线段l 的函数关系式，并求出开发该小区的用地面积；
（Ⅱ）求出图（2）中抛物线段c 的函数关系式.
解：（Ⅰ）设线段
l 函数关系式为M
=kt +b ，由图象得
.
800006,280002b
k
b k 解之，得
.
2000,13000b
k ∴线段l 的函数关系式为M
＝13000t +2000, 1≤t ≤8.由t =
用地面积
建筑面积S M 知，当t =1时，S 用地面积=M 建筑面积，
把t =1代入M ＝13000t +2000中，得M =15000 m 2
. 即开发该小区的用地面积是15000 m 2
.
（Ⅱ）根据图象特征可设抛物线段
c 的函数关系式为
Q
＝a (t －4)2
+k , 把点（4,0.09）, （1,0.18）代入，得
.
18.0)
41(,
09.02
k
a k 解之，
得
.
100
9,100
1k
a
∴抛物线段c 的函数关系式为
Q
＝100
1( t －4)2
+
100
9,即Q ＝
100
1t 2
-
25
2t
+4
1
, 1≤t ≤8.
9、（2006四川资阳）如图
10，已知抛物线P ：y =ax 2
+bx +c (a ≠0) 与
x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形
DEFG
的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x …-3 -2 1
2 …y
…
-52
-4
-
52
…
(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；
(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出
m 的取值范围；
(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，
连接DF 并延长至点M ，使FM =k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k
图10
的取值范围.
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
(2) 若点D 的坐标为(1，0)，求矩形DEFG 的面积. 解：⑴解法一：设
2
(0)
y ax bx c a =++?，
任取x ,y 的三组值代入，求出解析式
2
142
y x x =
+-，1
分
令y =0，求出1
2
4,2x x =-=；令x =0，得y =-4，
∴A 、B 、C 三点的坐标分别是A (2，0)，B (-4，0)，C (0，-4) . 3
分
解法二：由抛物线
P 过点(1，-
52
)，(-3，52
-
)可知，
抛物线P 的对称轴方程为x =-1，······1分
又∵抛物线P 过(2，0)、(-2，-4)，则由抛物线的对称性可知，点A 、B 、C 的坐标分别为 A (2，0)，B (-4，0)，C (0，-4) . 3分⑵由题意，AD DG AO
OC
=，而AO =2，OC =4，AD =2-m ，故DG =4-2m ，4分
又
BE EF BO
OC
=，EF =DG ，得BE =4-2m ，∴DE =3m ，·5分
∴S DEFG =DG ·DE =(4-2m ) 3m =12m -6m 2
(0＜m ＜2) . 6分注：也可通过解Rt △B OC 及Rt △AOC ，或依据△BOC 是等腰直角三角形建立关系求解.
⑶∵S DEFG =12m -6m 2
(0＜m ＜2)，∴m =1时，矩形的面积最大，且最大面积是 6 .
当矩形面积最大时，其顶点为D
(1，0)，G (1，-2)，F (-2，-2)，E (-2，0)，····················7分
设直线DF 的解析式为y =kx +b ，易知，k =23
，b =-23
，∴
2233
y x =
-，
又可求得抛物线P 的解析式为：
2142
y x x =+-，
8分
令
2233
x -=
2
142
x x +-，可求出
x =
161
3
-?
. 设射线DF 与抛物线P 相交于点N ，
则N 的横坐标为
1613--，过N 作x 轴的垂线交x 轴于H ，有FN HE DF
DE
==
161
233
----
=561
9-+，········9分
点M 不在抛物线P 上，即点M 不与N 重合时，此时k 的取值范围是
k ≠561
9
-
+且k ＞0. ············
10分
说明：若以上两条件错漏一个，本步不得分.
若选择另一问题：⑵∵AD
DG
AO OC =，而AD =1，AO =2，OC =4，则DG =2， 4分又∵
FG CP
AB OC
=，而AB =6，CP =2，OC =4，则FG =3，
∴S DEFG =DG ·FG =6.
10、（2020最新模拟山东威海）如图①，在平面直角坐标系中，点A
的坐标为
(12)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2
y
x
的图象记为抛物线
1l ．
（1）平移抛物线
1l ，使平移后的抛物线过点
A ，但不过点
B ，写出平
移后的一个抛物线的函数表达式：（任写一个即可）．
（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线
2l ，
如图②，求抛物线2l 的函数表达式．
（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若
ABK ABC
S S △△，求点
K
的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线
2l 上是否存在点P ，使
ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点
P 共有几个可能的位置（保
留作图痕迹）；若不存在，请说明师．
B
O
y
x
1
l 图①
A
1
1 B
O
y
x
2
l 图②
A
C
1
1
B
O
y
x
2
l 图③
A
1
1
解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如2
1y x
，2
y
x
x ，2
(1)
2
y
x 或
2
23y
x
x ，2
(21)
y
x ，
2
(12)
y x ．
（2）设抛物线
2l 的函数表达式为
2
y
x
bx
c ，
Q 点(12)A ，，(31)B ，在抛物线2l 上，
12931
b c
b c ，
解得
92
11.2
b c
，
抛物线2l 的函数表达式为
2
9112
2
y x
x
．
（3）2
2
9119
722
4
16
y
x
x x
，C 点的坐标为
97416
，．过A B C ，，三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D E F ，，，
则
2AD
，7
16
CF
，1BE ，2DE ，5
4
DF
，34
FE ．ABC ADEB
ADFC CFEB S S S S △梯形梯形梯形．
117517315(21)2
2
1
2
216
4
216
4
16
．
延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的函数表达式为
y
mx n ，
Q 点(12)A ，，(31)B ，在直线AB 上，
2
13.
m n m n ，
解得
125.
2m n
，
直线AB 的函数表达式为
152
2
y
x
．G 点的坐标为
5
02
，．
设K 点坐标为(0)h ，，分两种情况：若
K 点位于G 点的上方，则
52
KG
h ．连结AK BK
，．
B
E
F D O G
K
y x
2
l C
A
图②
1515531222
22
ABK BKG AKG
S S S h
h
h
△△△．
1516
ABK ABC
S S Q △△，
5152
16
h
，解得
5516
h
．
K
点的坐标为
55016
，．
若K 点位于G 点的下方，则
5
2
KG
h ．同理可得，2516
h ．K
点的坐标为
25016
，．
（4）作图痕迹如图③所示．由图③可知，点
P 共有
3个可能的位置．
11、（2020最新模拟浙江省）如图，抛物线2
23y x
x 与x 轴交A 、B
两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点
的横坐标为2。

（1）求A 、B 两点的坐标及直线
AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物
线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、
G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有
满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由。

x
O
y
2l B
A
图③
解：（1）令y=0，解得
1
1x 或23x （1分）
∴A （－1，0）B （3，0）；（1分）将C 点的横坐标x =2代入2
23y x
x 得y=－3，∴C （2，－3）（1
分）
∴直线AC 的函数解析式是y=－x －1
（2）设P 点的横坐标为x （－1≤x ≤2）（注：x 的范围不写不
扣分）
则P 、E 的坐标分别为：P （x ，－x －1），（1分）E （2
(,23)x x
x （1分）
∵P 点在E 点的上方，PE=2
2
(1)(23)2x x
x x
x
（2分）
∴当
1
2
x
时，PE 的最大值
=9
4
（1分）
（3）存在4个这样的点F ，分别是
1234(1,0),(3,0),(4
7),(4
7)
F F F F。