苏教版新教材高中数学必修第一册课时练习-正弦余弦函数的图象

课时练习(三十六) 正弦、余弦函数的图象
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2
<x <π2的大致图象是( )
C [y ＝cos x ·|tan x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
sin x ，x ∈⎣
⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，－sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π2，0.
]
2．若cos x ＝1－2m ，且x ∈R ，则m 的取值范围是( ) A ．[0,1]
B ．(0,1]
C ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12，32
D ．[－1,0]
A [∵cos x ∈[－1,1]，∴－1≤1－2m ≤1，
解得0≤m ≤1．]
3．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；
③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．②③
D ．①④
B [对②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对④，y ＝cos(－
x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称，由作图可知①③均不正确．]
4．方程x 2
－cos x ＝0的实数解的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
C [作函数y ＝cos x 与y ＝x 2
的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．]
5．下列函数中：①y ＝sin x －1；②y ＝|sin x |；③y ＝－cos x ；④y ＝cos 2
x ；⑤y ＝1－cos 2
x ．与函数y ＝sin x 形状完全相同的有( ) A ．②④ B．①③ C．①④ D．②③
B [y ＝sin x －1是将y ＝sin x 向下平移1个单位，没改变形状；y ＝－cos x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，故y ＝－cos x 是将y ＝sin x 向右平移π2个单位，没有改变形状，与y ＝sin x
形状相同，∴①③完全相同，而②y ＝|sin x |，④y ＝cos 2
x ＝|cos x |和⑤y ＝1－cos 2
x ＝|sin x |与y ＝sin x 的形状不相同．]
二、填空题 6．函数y ＝
log 1
2
sin x 的定义域是________．
{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z } [由题意可得，⎩⎪⎨⎪⎧
log 12
sin x ≥0，
sin x ＞0，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x ≤1，
sin x ＞0，∴0＜sin x ≤1，
由正弦函数图象可得{x |2k π＜x ＜(2k ＋1)π，k ∈Z }．]
7．函数y ＝sin x 的图象与函数y ＝cos x 的图象在[0,2π]内的交点坐标为________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4
，－22 [在同一坐标系内画出两函数的图象(图略)，
易知，交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π
4，22和⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4
，－22．]
8．设0≤x ≤2π，且|cos x －sin x |＝sin x －cos x ，则x 的取值范围为________．
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π4，5π4 [由|cos x －sin x |＝sin x －cos x 得
sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ．
又x ∈[0,2π]，结合图象(图略)可知，π4≤x ≤5π4
，
所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4
，5π4．]
三、解答题
9．利用图象变换作出函数y ＝sin|x |，x ∈[－2π，2π]的简图．
[解] ∵y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨
⎪⎧
－sin x ，－2π≤x ＜0，
sin x ，0≤x ≤2π
为偶函数，∴首先用五点法作出函数
y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象；再将x ∈[0,2π]的图象关于y 轴对称．如图所示．
10．作出函数y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的简图，并回答下列问题：
(1)观察函数图象，写出满足下列条件的x 的区间： ①sin x ＞0；②sin x ＜0；
(2)直线y ＝1
2与y ＝－sin x ，x ∈[－π，π]的图象有几个交点？
[解] 利用“五点法”作图，如图．
(1)根据图象可知在x 轴上方的部分－sin x ＞0，在x 轴下方的部分－sin x ＜0，所以当
x ∈(－π，0)时，sin x ＜0；
当x ∈(0，π)时，sin x ＞0．
(2)画出直线y ＝1
2
，由图象知有两个交点．
1．函数y ＝|sin x |1－sin x
1－sin x 的奇偶性为( )
A ．奇函数
B ．既是奇函数也是偶函数
C ．偶函数
D ．非奇非偶函数
D [由题意知，当1－sin x ≠0，即sin x ≠1时，
y ＝
|sin x |1－sin x
1－sin x ＝|sin x |，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x ≠2k π＋π2，k ∈Z ，
由于定义域不关于原点对称，所以该函数是非奇非偶函数．]
2．已知y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积是( )
A ．π
B ．2π C．3π D ．4π
B [由题意画出图形(图略)，由于余弦函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0和点⎝ ⎛⎭
⎪
⎫3π2，0成中心对
称，可得y ＝cos x (0≤x ≤2π)的图象和直线y ＝1围成的封闭图形的面积为2π×1＝2π．]
3．在[0,2π]内，不等式sin x <－
3
2
的解集是________． ⎝
⎛⎭⎪⎫4π3，5π3 [画出y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的草图如下．
因为sin π3＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π3＝－32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π3＝－32．即在[0,2π]内，
满足sin x ＝－
32的x ＝4π3或5π3．可知不等式sin x <－32的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3
，5π3．]
4．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
sin x ，x ≥0，
x ＋2，x ＜0，则不等式f (x )＞1
2
的解集是________．
⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
－32＜x ＜0或π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，k ∈N
[在同一平面直角坐标系中画出函数f (x )和函数y ＝1
2
的图象，如图所示．
当f (x )＞12时，函数f (x )的图象位于函数y ＝12的图象上方，此时有－32＜x ＜0或π
6＋2k π
＜x ＜5π
6
＋2k π(k ∈N )．]
5．已知函数f (x )＝sin x ，x ∈R ．现有如下两种图象变换方案：
方案1：将函数f (x )的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π
6
个单位长度；
方案2：将函数f (x )的图象向左平移π
3
个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变
为原来的一半，纵坐标不变．
请你从中选择一种方案，确定在此方案下所得函数g (x )的解析式，并解决如下问题： (1)画出函数g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象；
(2)请你研究函数g (x )的定义域，值域，周期性，奇偶性以及单调性，并写出你的结论． [解] 方案1：将函数f (x )＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin 2x ，再将y ＝sin 2x 图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝
sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．
方案2：将函数f (x )＝sin x 的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3，再将
y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
x ＋π3图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝
⎛⎭
⎪⎫
2x ＋π3
，
即g (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3．所以，无论在何种方案下所得的函数都是g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3． (1)如图，是函数g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在[0，π]这一周期上的图象：
(2)函数g (x )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π3
定义域：R ；值域：[－1,1]；周期：T ＝2π
2
＝π；
奇偶性：因为g (0)＝sin π3＝3
2≠0，±1，所以g (x )不具有奇偶性．
单调性：令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π
2
＋2k π(k ∈Z )，
解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，(k ∈Z )，即函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )上单调
递增；同理可得函数的单调递减区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )．。