专题3-6 等价转化法测-2018年高考数学文二轮复习讲练

2018届高三二轮精品 第三篇 方法应用篇 测试卷
总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______
（一）
选择题（12*5=60分）
1.【2016高考新课标3】若3
tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)
6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
【答案】A 【解析】 由3
tan 4
α=
，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以
2161264cos 2sin 24252525
αα+=
+⨯=，故选A ． 2.若的定义域为，恒成立，，则的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中。

某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用。

因此对函数的单调性进行全面
、准确的认识，并掌握好使用的
技巧和方法，这是非常必要的。

根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 3．【2018届福建省厦门外国语学校高三下学期第一次（开学）】若关于的不等式的解集为
，且中只有一个整数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
点睛：
已知函数的零点（方程解）的个数求参数的取值范围时，一般用数形结合的方法求解．解题时结合题意，将题中的方程转化为两个函数的形式，通过对函数单调性的讨论得到函数图象的大体形状，画出函数的图象后，经过对两函数图象相对位置关系的分析再转化为不等式（组），通过解不等式（组）可得所求范围．4．【2018届湖北省宜昌市高三年级元月调研】已知函数，且，则关于的不等式的解集为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由函数知为奇函数
由得到
在上递增
等价于
，解得
故的解集为
故选.
5．【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A BC D 中，E 为棱CD 的中点，则（ ） A ．11A E DC ⊥
B ．1A E BD ⊥
C ．11A E BC ⊥
D ．1A
E AC ⊥
【答案】C
6．【2018届天津市耀华中学高三12月】定义在上的偶函数，满足，且在上
是减函数，又与是锐角三角形的两个内角，则（ ）． A. B. C. D.
【答案】D
【解析】、为锐角三角形的两内角． ∴，则
．
∴．
且、
． 又∵，
在
上单调递减．
∴在上单调递减．
又∵是上偶函数．
∴
在
上单调递增．
∴．
故选．
7．【2018年湖南省高三十四校联考】已知函数是定义在上的奇函数，其导函数为，若对任意的正实数，都有恒成立，且，则使成立的实数的集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,考查构造函数法解不等式的方法,考查函数的奇偶性与单调性.题目给定,这是一种常见的构造函数的题目,本题是构造函数,构造那种函数,主要利用乘法或者除法的导数进行猜想.
8．【2018届湖北省宜昌市高三年级元月】定义:如果函数的导函数为,在区间上存在
使得,,则称为区间上的"双中值函数".已知函数是上的"双中值函数",则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知，
在区间上存在，
满足
方程在区间有两个不相等的解
则，解得
则实数的取值范围是
故选
点睛：本题主要考查的是导数的运算，并且理解新函数定义，并运用定义解题。

根据题目给出的定义可得
，即方程在区间有两个不相等的解，利用二次函数的性质解出即可得到答案.
9．【2018届天津市耀华中学高三12月】已知函数若数列满足
，且是递增数列，那么实数的取值范围是（）．
A. B. C. D.
【答案】A
点睛：解决数列的单调性问题可用以下三种方法：
①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；
②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断；
③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.
10．【2018届云南省昆明市第一中学高三第六次】已知函数，若两个正数，满足
，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
直线与横轴交于点，与纵轴交于点，又因为，，
所以，
故选C．
11. 【2018届山西省晋中市高三1月】已知不等式在上恒成立，且函数
在上单调递增，则实数的取值范围为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(
可)或
恒成立（
即可）；② 数形结合(图象在
上方即可)；③ 讨论最值
或
恒成立；④ 讨
论参数.
12.已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A B
、两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S ∆∆=，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
5 B ．3
C ．
5 D ．10
【答案】A 【解析】
二、填空题（4*5=20分）
13．【2018届河北省定州中学高中毕业班下学期开学】已知函数
满足
，且当
时
.若在区间
内，函数
有两个不同零点，则的范围为__________．
【答案】
【解析】
当时，
故函数 作函数
与
x 的图象所示，
过点时，
在区间 内，函数 有两个不同零点，则的范围为
故答案为
.
14.【2018届江西省抚州市高三八校联考】已知圆的方程为，过圆外一点作一条直线
与圆交于，两点，那么__________．
【答案】16
15.四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，
2=PA ，则该球的体积为 _ ．
【答案】
3
4π 【解析】
根据题中四棱锥的特点,可联想到这是一个长方体的一部分,四棱锥的五个顶点均在球面上,也就是长长方
体的八个顶均在这个球面上,故可转化为长方体的外接球,又由长宽高分别为可求得体对角线
2l ==,所以221R R ==，,球的体积为344133
V ππ=⨯⨯=.
16．【2018届江西省抚州市高三八校联考】已知函数
(其中为自然对数的底数)，曲线
上存在不同的两点, 使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】 曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与轴垂直，等价于函数
有两个不同
的极值点，等价于有两个不同的实根，
三、解答题（共6道小题，共70分）
17.【2018届甘肃省高三第一次诊断】中，三个内角的对边分别为，若，
，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求周长的取值范围.
【答案】（I）；（II）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得，由正弦定理边化角得，从而得解；
（Ⅱ）根据余弦定理可知，进而得，再由两边之和大于第三边，即可得范围.
试题解析：
（Ⅰ）∵，则有，
∴
∴，
∴，∴.
（Ⅱ）根据余弦定理可知，∴，
又∵，∴，∴，
则周长的取值范围是
. 18.已知函数
（1）求
的单调区间； （2）当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)f(x)在上是增函数，在上是减函数；(2).
【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于
恒成,构造函
数,利用导数求得函数的最小值,由此求得实数的取值范围.
19.过抛物线2
:2C y px =上的点(4,4)M -作倾斜角互补的两条直线MA MB 、，分别交抛物线于A B 、两点．
(1)若AB =AB 的方程；
(2)不经过点M 的动直线l 交抛物线C 于P Q 、两点，且以PQ 为直径的圆过点M ，那么直线l 是否过定点？如果是，求定点的坐标；如果不是，说明理由．
【答案】（1）220x y -+=（2）恒过(8,4)点
【解析】
20.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；
（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F.
【答案】（1）详见解析（2）详见解析
【解析】
证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC
在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点.
21. 已知点A (0,2),椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率
为3
，O 为坐标原点 （I ）求E 的方程；
（II ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.
【答案】（I ）2214x y +=；（II ）22y x =-或22
y x =--. 【解析】
（I ）设右焦点(c,0)F ，由条件知，2c =c =
又2
c a =，所以2a =，222b a c =-1=．故椭圆E 的方程为2214x y +=． （II ）当l x ⊥轴时不合题意，故设直线:l 2y kx =-，1122(x ,y ),Q(x ,y )P ．
将2y kx =-代入2
214
x y +=得22(14k )x 16120kx +-+=．当216(4k 3)0∆=->，即23k 4>时，
1,2x =从而12PQ x =-=又点O 到直线PQ 的距离d =
，所以OPQ ∆的面积21241
OPQ S d PQ k ∆=⋅=+t =，则0t >，
2444
4OPQ t S t t t
∆==++．因为44t t +≥，当且仅当2t =时，k =0∆>．所以，当
OPQ ∆的面积最大时，l 的方程为2y x =-或2y x =-． 22.【2018届甘肃省高三第一次诊断】已知函数，. （Ⅰ）若曲线与曲线在公共点处有共同的切线，求实数的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问函数
是否有零点？如果有，求出该零点；若没有，请说明理由.
【答案】（I ）；（II ）无零点.
试题解析： （Ⅰ）函数的定义域为，，
设曲线与曲线公共点为。