二元和三元均值不等式

结论：设x,y,z都是正数，则有 (1)若xyz=S(定值)，则当x=y=z时，x+y+z有最小值 33 S p3
(2)若x+y+z=P(定值)，则当x=y=z时，xyz有最大值
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注：一正、二定、三相等
例1：已知0＜x＜4.5,求x2(9-2x)的最大值
变式：求函数y=x2(1-3x)在[0, 1]上的最大值. 3
解: ⑵∵ x 3,∴ x 3 0
∴ y 2x2 2(x2 9) 18 2x 6 18
x3
x3
x3
= 2(x 3) 18 12 ≥24 x3
当且仅当 2(x 3) 18 即 x 6 时取等号. x3
∴函数 y 2x2 (x 3) 的最小值为 24,且当 x 6 时取得. x3
A
定理1 如果a,b R,
那么a2+b2 ≥2ab, 当且仅当a=b时取等号 B
EG
D
FH
定理2 如果a,b R+, 那么 a b ab 2
当且仅当a=b时取等号
A
C C
ab a O DbB
结论：设x,y都是正数，则有
(1)若xy=S(定值)，则当x=y时，x+y有最小值 2 S (2)若x+y=P(定值)，则当x=y时，xy有最大值 P2
3⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 1
x2 2 x2 2
x2 2
又∵ x2 2 ≥2 ,又∵函数 y t 1 在 t 1, 时是减函数.
t
∴当 x 0 时,函数 y x2 2 1 取得最小值 3 2 .
x2 2
2
3⑶求函数 y x2 3 的最小值. x2 2
解: ⑶∵ y x2 3 x2 2 1 x2 2 x2 2
4
注：一正、二定、三相等 可以用来求最值(积定和小，和定积大)
3．⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2 ⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值.
x3 ⑶求函数 y x2 3 的最小值.
x2 2 解⑴(重要不等式法)∵ 0 x 3 ,∴ x 0且3 2x 0,
例2:求函数
y

2x2

3 x
(xΒιβλιοθήκη 0)的最小值变式：求函数y x2 4 8 (x 2) 的最小值
x
问题 求证:在表面积一定的长方体中,以正方体的 体积最大.
解：设长方体的三边长度分别为x、y、 z,则长方体的体积为
v xyz
S 2xy 2xz 2yz
x
z y
2
∴ x(3 2x) = 1 2x(3 2x) ≤ 1 2x 3 2x = 3 2
2
2
2
4
当且仅当 x 3 时取等号. 4
.
3⑴已知 0 x 3 ,求函数 y x(3 2x) 的最大值.
2
⑵求函数 y 2x2 (x 3) 的最小值. x3
⑶求函数 y x2 3 的最小值. x2 2
∴函数 y x2 3 的最小值为 2. x2 2
上面解法错在哪里？
x2 2
1 ≥2 x2 2
定理3：如果a,b,cR，那么 a3+b3+c3 ≥3abc 当且仅当a=b=c时，等号成立
定理4：如果a,b,cR+,那么a b c 3 abc 3
当且仅当a=b=c时，等号成立