最新广东省中山市-2018学年高二下学期期末统一考试数学(文)试卷含答案

中山市高二级2017-2018学年度第二学期期末统一考试
数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1.用反证法证明：
右整系数一兀二次方程 ax bx c = 0（^--= 0）有有理根，那么a 、b 、c 中
至少有一个是偶数，用反证法证明时，下列假设正确的是（
）
A. 假设a 、b 、c 都是偶数
B. 假设a 、b 、c 都不是偶数
C. 假设a 、b 、c 至多有一个偶数
D. 假设a 、b 、c 至多有两个偶数
2. 已知i 为虚数单位，复数 z 二丄 在复平面内对应的点位于（
） 1+i
A.第一象限
B
.第二象限
C
.第三象限
D
.第四象限
3. 设 x>0 , y ^R ，则"x 〉y ”是"x =|y ”的（） A.充要条件 B .充分不必要条件 C .必要不充分条件 D .既不充分也不
必要条件
4. 已知 a,b,c,d ・R ，则 P = ac • bd , Q = J ：〔a 2 • b 2 c 2 d 2 的大小关系为（ ）
A. P_Q B . P Q
C
. P :: Q D . P_Q
2 2
5. 已知椭圆 —的两个焦点F , , F 2, M 是椭圆上一点，MR — MF 2 =1，则△ MF ! F 2
3 4
是（ ）
A.钝角三角形 B •直角三角形
C •锐角三角形
D •等边三角形
含边界），若点（2,1）在“右”区域，则双曲线离心率 e 的取值范围是（ ）
A. I 逼，B .笆 J C .仁1 D .（总 J
「2丿
I 2，丿 「4丿 U ，
丿
2 6.双曲线与
a
2
沽1U 。

）的两条近线将平面划分为
“上、下、左、右”四个区域 （
不
7.设计如图所示的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人
数（用j 表示），则判断框中应填入的条件是（
）
A. j :：: 58? B . j < 58? C . j :：: 59? D . j < 59? 8.
在射击训练中，某战士射击了两次，设命题
p 是
“第一次射击击中目标”，命题q 是“第二
次射击击中目标”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是 （） A. -p -q 为真命题 B C. —p
—q 为真命题
D
9.以模型y n ee "去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z =1 n y ，其变换后得到线性回
归方程z 二0.3x 4, 则 C 二() A. 0.3
B
.e 0.3
C .4 D
.e 4
10.若函数 f (x) =2x ‘ 2
Tn x 在其定义域内的一个子区间
k-1,k 1内不是单调函数，则实
数k 的取值范围是（
)
…1 3】 A.[-二，]
B
.[1,
3) C
.[1,2)
D
.色2)
11. 已知抛物线y 2=2px （p ・0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 A 、B 两点，若线 段AB 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为（ ）
A. x=1
B
. X = -1
C . X = 2
D . X=-2
12. 已知直线y =a 分别与函数y 二e"1和y =<；匚〒交于A 、B 两点，贝U A 、B 之间的最短
p -q 为真命题 p q 为真命题
距离是（）
3-1 n2
A
B
5-1 n2 c
3 + ln2
C
D
5 l n2
2 2 2
2 二、填空题(每题 5分 •，满分20分， 将答案填在答题纸上)
13.给出下列演绎推理：“自然数是整数, ，所以2是整数”，如果这个推理是正确 的，则其中横线部分应填写 14.随机询问中山市某中学的 100名学生是否爱吃零食，得到如下的列联表: 由K 2
2
算得K =
n ad -be a b e d a e b d
100 (10 30 -20 40)2
50x50^30x70 :4.762 .
据此我们有 以上的把握认为“是否爱吃零食与性别有关” 附表: 15.曲线f (x) 2x 在x =1处的切线方程为 x 16.如下数表为一组等式: 52 =2 3 =5， 53 =4 ■ 5 '^15， 54 = 7 8 9 10 =34， 55 =11 12 13 14 15 =65， 某同学根据上表猜测 S 2n 」=(2n - 1)(an 2 • bn c)，老师确定该同学猜测是正确的，则 a -b c 二 三、解答题(本大题共 6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
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2
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17. 已知复数 z=（1—i ）+1+3i • （1） 求 z ；
（2） 若z 2 az • b = z ，求实数a , b 的值. 18. 某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本
y （单位：元）与印刷册数 x （单位：千册）之间
的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表：
y ⑴=4 1.1，方程乙：y ⑵
=
6.4
1.6. x
x
（1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务 ①完成下表（计算结果精确到
0.1）：
②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和 Q 及Q 2，并通过比较Q 1，Q 2的大小，判断哪个模
型拟合效果更好
（2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印 刷.根据市场调查，新需求量为 10千册，若印刷厂以每册 5元的价格将书籍出售给订货商，请 按（1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本，请预测印刷厂二次印刷的 10千册能获
得多少利润? 19. 已知椭圆C i 的焦点在x 轴上，中心在坐标
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原点，抛物线C2的焦点在y轴上，顶点在坐标
原点，在G、C2上各取两个点，将其坐标记录于表格中：
(1) 求C i、C2的标准方程；
1
(2) 已知定点C(0,—)，P为抛物线C2上的一动点，其横坐标为，抛物线C2在点P处
8
的切线交椭圆C i于A、B两点，求ABC面积•
20.已知椭圆C :笃•爲= i(a b 0)，其焦距为2c，若C = (仝—0.618)，
a b a 2 2
则称椭圆C为“黄金椭圆” •黄金椭圆有如下性质：“黄金椭圆”的左、右焦点分别是F^-cQ)，
F2(C,0)，以A(-a , B(a,0)，D(0, -b)，E(0, b)为顶点的菱形AEBD的内切圆过焦点F1，
F2.
(1)类比“黄金椭圆”的定义，试写出“黄金双曲线”的定义；
(2)类比“黄金椭圆”的性质，试写出“黄金双曲线”的性质，并加以证明
21.已知函数f (x) = (2-a)(x-1)-21 nx，a R.
(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；
1 一
(2)若函数f (x)在(0,—)上没有零点，求实数a的取值范围.
3
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22.选修4-4 :坐标系与参数方程
「X = 2 + cos。

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(〉为参数)，直线C2的方程为
』=2 +si n 口
y = ^3x，以O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
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2
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；精品文档
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23.选修4-5 :不等式选讲 设函数 f (x) = x +1 —m x —2
(1)若m=1,求函数f (x)的值域;
(2)若m =「1，求不等式f (x) . 3x 的解集.
中山市2017-2018学年度高二第二学期期末水平测试
文科数学参考答案
一、
选择题
1-5: BACDB 6-10: BBADB 11 、12: BD
二、
填空题
13. 2 是自然数 14.
95% 15. x-y 2=0
16.
5
三、
解答题
2
17.解：(1)Z 二 1-i 1 3i =1-2i -1 T 3i =1 i ， 所以复数Z 的模z = . 12 • 12 =
2 ；
2
(2)Z az b
2
=1 i a 1 i b =1 2i -1 a ai b
=(a b) (a 2)i ，
a b = 1
a =- 由此易得
，可得
© 十 2 = -1
= 4
18.解：(1)①经计算，可得下表：
(2)直线C 2与曲线C 1交于A ,
B 两点，求
---- + ------
OA OB
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模型甲
（1）
估计值y i
3.1 2.4 2.1 1.9 1.6 1（1）
残差e 0.1
0 -0.1 0 0.1 模型乙
⑵
估计值y i
3.2 2.3 2 1.9 1.7 残差家
0.1
2 2
②模型甲的残差平方和
Q , =0.1・（-0.1） •0.12=0.03 ,
模型乙的残差平方和 Q 2 =0.1 =0.01 , -Q 1 Q 2，模型乙的拟合效果更好;
（2）若二次印刷10千册，由（1）可知，单册书印刷成本为 6.4 10工• 1.6=1.664 （元）， 故印刷厂获利为（5 -1.664） 10000 =33360 （元）
2 2
X y
19.解：（1）设椭圆G :
2
2
=
1（a b 0），因为点（-2,0）在椭圆C 1上，则a = 2 ；
a b
2
=1，解得：b =1,所以椭圆G : -
y 2 =1.
4
⑵设 A
（X1
，y1），B （X2，y2），P （G ），因为
y
^，八x ， yfgt ），即y 七上
2 2
2
2 3 4
(1 4t )x -4t x t 一4 =0，则
设抛物线C 2:
2
9
x 2 =2py ,因为点（4,8），点（3片在抛物线C 2上，则：p = 1.所以抛物线C 2:
2
4t 3 1 4t 2
t 2 _4 住「 1
4t 2 ，
因为点
（■■、2,
4 b 2
所以
2
x 2y .
故直线AB 的方程为：
由 整理得:
X 1 X 2
则AB 「n2。

*2)2一4経斤1凡J4 16t2 41 4t2
则C(0,丄)到直线AB的距离d二
8 1
1 4t2
1
••• ^ABC 的面积S= —x AB xd
2
- 8)2 68 当且仅当t 时，取得等号, 此时满足
综上所述: ：ABC面积的最大值一17
4
20.解：(1) 黄金双曲线的定义：已知双曲线
x2
C: a2 b
y c
芦1，其焦距为2c，若丁
.5-1
(或写成-
a
5 _1
—怎0.618 ),则称双曲线C为“黄金双曲
线”
(2)在黄金双曲线的性质：已知黄金双曲线
2 2
冷-% =1的左、右焦点分别是
a b
F i(-c,0)、
F2CO)，
以F i(-c,0)、F2(c,0)、D(0, -b)、E(0, b)为顶点的菱形F i DF2E的内切圆过顶点A(-a,0)、B(a,0).
证明：直线EF2的方程为
bc ax +cy — be = 0，原点到该直线的距离d = 丁尸=2，
v b +c
-c2，得b2=a2 _ c2 = a25-12
a ac,
2
将b二ac代入, c ac 又将c十a代入，
化简得d二a，
故直线EF2与圆a2
2 2
二x y相切, 同理可证直线ER、DF2均与圆a
x2y2相切，即以
A(-a,0)、B(a,0)的直径的圆a2-x2 y2为菱形F1DF2E的内切圆，命题得证.
21.解：(1)当a =1 时,
f (x) = x -2In x , x 0 ,
•- f'(x) =1--, x
令 f'(x) 0，解得：x 2 ,
令 f '(x) ：：：0，解得:0 ■ x 2 ,
故f (x)的增区间为(2, •：：)，减区间为(0,2).
2 1 —2(1—x)
再令 m(x) =21 nx 2, x (0,—)，则 m'(x) -
0 ,
x 3 x 1
故m(x)在(0, -)上为减函数，
3
1
于是，m(x) m(-)=4-3ln 3 0，
3 1 1
••• h'(x) 0在(0,—)恒成立，即 h(x)在(0,—)递增，
3 3
1
•- h(x) ：：h(—) = 2—3In 3 ,
3 A
若函数f (x)在(0,-)内没零点，贝U a ：=【2-31 n3,此辽.
3
工x = 2 cos -：
22.解：(1)曲线C 1的参数方程为 (〉为参数)，
=2 +si n 。

直角坐标方程为(x -2)2 • (y -2)2 =1，即 x 2 • y 2 -4x-4y • 7 =0 , 极坐标方程
「
2 —4「cos^ -4「sin^ • 7 = 0 ,
直线C 2的方程为y = 3x ，极坐标方程为二二R)；
(2)直线C 2与曲线G 联立，可得 少_(2 2、、3)「7 = 0 ,
设A , B 两点对应的极径分别为 J , ?2，则 V = 2 2 3 , -「2=7,
(2)令 f (x) =0 得a =2 2ln x
x —1
令 h(x)二 2 2ln x x —1 得 h'(x) 2ln x 2 - 2 x
(x-1)2
• 1亠1 出|+|卩2[ 2 + 2力…|OA||OB|一|诃一7 .
23.解：(1)当m=1 时，f(x) = x + 1 —x—2 ,
因为|x+1 — x—2 勻(x+1)—(x—2 j=3，所以一3兰x+1 — x—2 兰3, 则函数f(x)的值域为[-3,3].
(2)当m = —1 时，不等式f (x)即x+1—x—2>3x.
1
①当x ：：： -1 时，得-x -1 - x - 2 3x，解得x ，所以x ” -1 ；
5
②当-仁x ：：： 2时，得x ^x 2 3x，解得x ：：： 1，所以-仁x ：1 ；
③当x _2时，得x 1 ^2 3x，解得x ：：： -1,所以无解；
综上所述，原不等式的解集为-：：,1 •。