浙江省温州市平阳二中2015-2016学年高二下学期第一次质检数学试卷 含解析

2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高二（下)第一次质检数学试卷
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．)
1．（5分）（2012秋•顺德区期末）若=（2x，1,3)，=(1，﹣2y，9），如果与为共线向量,则（)
A．x=1，y=1B．x=，y=﹣C．x=,y=﹣D．x=﹣,y=
2．（5分）（2001•上海）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点，若=,=，=．则下列向量中与相等的向量是（)
A．﹣++B．C．D．﹣﹣+
3．（5分）（2015春•拉萨校级期中）设，则f′(2）=（) A．B．C．D．
4．(5分）（2015•北京）设，是非零向量，“=||||”是“”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2016春•温州校级月考）对于实数a、b、c有如下命题①若a＞b则ac＞bc；
②若ac2＞bc2则a＞b;③若a＜b＜0则a2＞ab＞b2；④若a＞b，＞则a＞0，b＜0．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．（5分）（2015秋•怀宁县校级期末）设函数f(x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为(）
A．B．C．D．
7．(5分)(2012•靖宇县校级模拟）若函数f(x）=x3+f′（1）x2﹣f′(2）x+3，则f（x）在点（0，f(0）)处切线的倾斜角为（）
A．B．C．D．π
8．（5分）(2013•越秀区校级模拟）已知△ABC的三个顶点为A（3,3,2），B（4,﹣3,7),C（0，5，1），则BC边上的中线长为（）
A．2B．3C．4D．5
9．（5分)(2011•沈阳校级模拟)若函数f（x)=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围(）
A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k
10．（5分）（2007•江苏)已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′(x），f′(0）＞0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为（）
A．3B．C．2D．
二。

填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．）
11．（4分)（2016春•温州校级月考）命题“若m＞0,则方程x2+x﹣m=0有实数根．”的逆否命题是．
12．（4分）(2016春•温州校级月考）若=（x，2，0），=（3，2﹣x，x2)，且与的夹角为钝角,则x的取值范围是．
13．（4分）（2011•贵州模拟）曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形面积为．
14．（4分）（2012•庐阳区校级模拟）函数y=x+2cosx在区间上的最大值
是．
15．（4分）（2015秋•张家口期末)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为．
16．（4分）（2013秋•万州区校级期中)已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3x+1在区间（2,3）中至少有一个极值点，则a的取值范围为．
三。

解答题（本大题共4小题,共46分．）
17．(10分)（2015•绵阳模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB,E，F分别为BC,PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
(Ⅱ）求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
18．(12分）（2014•七里河区校级三模)已知函数f(x）=x3﹣x2+bx+c．
（1）若f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数,求b的取值范围；
（2）若f(x)在x=1时取得极值,且x∈[﹣1，2］时，f(x）＜c2恒成立，求c的取值范围．19．（12分)(2016•安徽校级一模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC,SA=AB=BC=2，AD=1．M是棱SB的中点．(1）求证：AM∥平面SCD；
(2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
（3）设点N是直线CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值．
20．（12分）（2012•茂名一模）已知函数．（a∈R）
(1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值;
（2）若在区间（1，+∞）上,函数f(x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．
2015-2016学年浙江省温州市平阳二中高二(下)第一次质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题,每小题5分，共50分．）
1．（5分)（2012秋•顺德区期末）若=(2x，1，3），=（1，﹣2y，9），如果与为共线向量，则（）
A．x=1,y=1B．x=,y=﹣C．x=，y=﹣D．x=﹣，y=
【分析】利用共线向量的条件，推出比例关系求出x，y的值．
【解答】解：∵=（2x，1，3）与=（1,﹣2y,9)共线，
故有==．
∴x=，y=﹣．
故选C．
【点评】本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题．
2．（5分）（2001•上海)如图,在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若=，=，=．则下列向量中与相等的向量是（）
A．﹣++B．C．D．﹣﹣+
【分析】由题意可得=+=+=+[﹣]，化简得到结果．
【解答】解：由题意可得=+=+=+=+（﹣）=+（﹣）=﹣++，
故选A．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则,以及其几何意义，属于基础题．
3．(5分)(2015春•拉萨校级期中）设,则f′（2）=（)
A．B．C．D．
【分析】令u（x)=，可求得u′(x）=，从而可求得f′(x），可求得f′(2）．
【解答】解：∵f（x）=ln，令u（x）=，则f（u）=lnu,
∵f′（u）=，u′(x）=•=,
由复合函数的导数公式得:
f′（x）=•=,
∴f′(2）=．
故选B．
【点评】本题考查复合函数的导数，掌握复合函数的导数求导法则是关键，属于中档题．
4．(5分）(2015•北京)设，是非零向量,“=｜｜||”是“"的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】由便可得到夹角为0,从而得到∥,而∥并不能得到夹
角为0,从而得不到，这样根据充分条件、必要条件的概念即可找出正确选项．【解答】解：(1）；
∴时，cos=1;
∴；
∴∥；
∴“"是“∥”的充分条件；
(2）∥时,的夹角为0或π；
∴,或﹣；
即∥得不到；
∴“”不是“∥”的必要条件；
∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件．
故选A．
【点评】考查充分条件，必要条件，及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程，数量积的计算公式，向量共线的定义，向量夹角的定义．
5．（5分）（2016春•温州校级月考）对于实数a、b、c有如下命题①若a＞b则ac＞bc；
②若ac2＞bc2则a＞b;③若a＜b＜0则a2＞ab＞b2；④若a＞b，＞则a＞0，b＜0．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①若a＞b，当c≤0时,ac＞bc不成立；
②若ac2＞bc2，则c2＞0，可得a＞b；
③若a＜b＜0，由不等式的性质：a2＞ab,ab＞b2；
④由于＞，可得＞0，又a＞b,可得ab＜0，即可得出．
【解答】解：①若a＞b，当c≤0时，ac＞bc不成立;
②若ac2＞bc2，则a＞b，正确；
③若a＜b＜0，由不等式的性质:a2＞ab,ab＞b2，可得a2＞ab＞b2;
④∵＞,∴＞0，又a＞b，∴ab＜0因此a＞0，b＜0．
其中正确的有②③④．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
6．（5分)(2015秋•怀宁县校级期末)设函数f（x)在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）可能为（）
A．B．C．D．
【分析】先从f（x）的图象判断出f（x）的单调性，根据函数的单调性与导函数的符号的关系判断出导函数的符号，判断出导函数的图象
【解答】解:由f（x)的图象判断出
f(x）在区间（﹣∞，0）上递增；在（0,+∞)上先增再减再增
∴在区间（﹣∞，0）上f′（x）＞0，在（0,+∞）上先有f′（x）＞0再有f′（x)＜0再有f′（x）＞0
故选D．
【点评】本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，属于基础题
7．（5分）（2012•靖宇县校级模拟）若函数f（x）=x3+f′（1）x2﹣f′（2）x+3，则f(x）在点（0，f(0））处切线的倾斜角为(）
A．B．C．D．π
【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在点（0,f（0））处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据k=tanα，结合正切函数的图象求出倾斜角α的值．
【解答】解析：由题意得:f′（x）=x2+f′（1）x﹣f′（2）,
令x=0，得f′（0）=﹣f′（2）,
令x=1，得f′（1）=1+f′（1）﹣f′（2）,
∴f′（2)=1，∴f′（0)=﹣1，
即f（x)在点（0，f（0））处切线的斜率为﹣1,
∴倾斜角为π．
故选D．
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象、直线的倾斜角等基础知识，属于基础题．
8．（5分）(2013•越秀区校级模拟）已知△ABC的三个顶点为A（3，3,2）,B（4,﹣3，7),C （0，5，1），则BC边上的中线长为（)
A．2B．3C．4D．5
【分析】由已知中△ABC的三个顶点为A(3，3，2),B（4，﹣3，7），C（0,5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标,代入空间两点间距公式，即可得到答案．
【解答】解：∵B(4,﹣3，7），C（0，5,1），
则BC的中点D的坐标为（2，1，4）
则AD即为△ABC中BC边上的中线
∵|AD｜==3
故选B
【点评】本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标,是解答本题的关键．
9．（5分)（2011•沈阳校级模拟)若函数f（x）=x3﹣12x在区间（k﹣1，k+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围（)
A．k≤﹣3或﹣1≤k≤1或k≥3B．﹣3＜k＜﹣1或1＜k＜3
C．﹣2＜k＜2D．不存在这样的实数k
【分析】由题意得,区间（k﹣1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或﹣2，即k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1,从而求出实数k的取值范围．
【解答】解:由题意得，f′（x）=3x2﹣12 在区间（k﹣1，k+1）上至少有一个实数根，
而f′（x）=3x2﹣12的根为±2，区间(k﹣1,k+1）的长度为2，
故区间(k﹣1，k+1）内必须含有2或﹣2．
∴k﹣1＜2＜k+1或k﹣1＜﹣2＜k+1，
∴1＜k＜3 或﹣3＜k＜﹣1,
故选B．
【点评】本题考查函数的单调性与导数的关系，函数在区间上不是单调函数，则函数的导数在区间上有实数根．
10．（5分)(2007•江苏）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的导数为f′(x），f′（0）＞0,对于任意实数x都有f（x）≥0，则的最小值为(）
A．3B．C．2D．
【分析】先求导，由f′（0)＞0可得b＞0,因为对于任意实数x都有f（x）≥0，所以结合二次
函数的图象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因为，利用均值不等式即可求解．
【解答】解:∵f'（x）=2ax+b，
∴f’(0)=b＞0；
∵对于任意实数x都有f（x）≥0，
∴a＞0且b2﹣4ac≤0，
∴b2≤4ac，
∴c＞0；
∴,
当a=c时取等号．
故选C．
【点评】本题考查了求导公式,二次函数恒成立问题以及均值不等式，综合性较强．
二.填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．)
11．（4分）（2016春•温州校级月考）命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m=0有实数根．"的逆否命题是真命题．
【分析】根据逆否命题与原命题的等价性，只需判断原命题的真假即可．
【解答】解：要使方程x2+x﹣m=0有实数根，
则判别式△=1+4m≥0，
即m≥﹣，
∴当m＞0时，△=1＞0,
即原命题为真命题,
∴原命题的逆否命题也为真命题．
故答案为：真命题．
【点评】本题主要考查逆否命题与原命题为等价命题的知识,比较基础．
12．（4分）（2016春•温州校级月考）若=（x，2，0),=（3,2﹣x，x2），且与的夹角为钝角,则x的取值范围是（﹣∞，﹣4）．
【分析】运用数量积公式求出向量a，b的数量积，再求向量a,b共线的情况，由于与的夹角为钝角，则＜0，解不等式即可得到范围．
【解答】解：若=（x，2，0），=(3,2﹣x,x2)，
则=3x+2（2﹣x）+0=4+x，
若∥，则，即有3=λx,2﹣x=2λ，x2=0，
x无解，则，不共线．
由于与的夹角为钝角，
则＜0，
即为4+x＜0，解得，x＜﹣4．
故答案为:（﹣∞，﹣4）．
【点评】本题考查平面向量的数量积的运用,考查向量的夹角为钝角的条件，考查运算能力，属于基础题和易错题．
13．（4分）（2011•贵州模拟)曲线y=x3+x在点（1，）处的切线与坐标轴围成的三角形
面积为．
【分析】先对函数进行求导，求出在x=1处的导数值即为切线的斜率值，从而写出切线方程,然后求出切线方程与两坐标轴的交点可得三角形面积．
【解答】解：∵y=x3+x，∴y'=x2+1∴f’(1)=2
在点(1，)处的切线为:y=2x﹣与坐标轴的交点为：（0，），（，0）
S=,
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点的切线的斜率．属基础题．
14．（4分）（2012•庐阳区校级模拟）函数y=x+2cosx在区间上的最大值是．
【分析】对函数y=x+2cosx进行求导，研究函数在区间上的极值，本题极大值就是最大值．
【解答】解：∵y=x+2cosx，∴y′=1﹣2sinx
令y′=0而x∈则x=，
当x∈［0，]时,y′＞0．
当x∈［,]时，y′＜0．
所以当x=时取极大值，也是最大值；
故答案为
【点评】本题考查了利用导数求闭区间上函数的最大值问题，属于导数的基础题．15．（4分）(2015秋•张家口期末)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和C1D所成的角的余弦值为．
【分析】设B1B=a，B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°推知BC=a，
DC=推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度,再用余弦定理求解．
【解答】解：设B1B=a，
∵B1C和C1D与底面A1B1C1D1所成的角分别为60°和45°
∴BC=a，DC=
∴
由余弦定理得:cos
故答案为：
【点评】本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理．
16．（4分）(2013秋•万州区校级期中）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+3x+1在区间（2，3）中
至少有一个极值点，则a的取值范围为（，）．
【分析】f(x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，等价于方程f′（x）=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3)有解．
【解答】解：∵f′（x）=3x2﹣6ax+3，而f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，
等价于方程3x2﹣6ax+3=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．
∴由3x2﹣6ax+3=0可得a=(x+），
令g(x）=（x+），求导函数可得g′（x）=(1﹣)
∴g（x）在（2，3）上单调递增，
∴＜（x+）＜，
∴＜a＜，此时满足△＞0，
故a的取值范围是＜a＜．
故答案为：（，)．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是f（x）在区间(2,3)中至少有一个极值点转化为方程f′（x)=0在其判别式△＞0（即a＞1或a＜﹣1）的条件下在区间（2，3）有解．
三.解答题（本大题共4小题,共46分．）
17．（10分）（2015•绵阳模拟）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，∠ABC=60°，PA=AB，E，F分别为BC,PC的中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥PD；
（Ⅱ）求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．
【分析】(Ⅰ）通过PA⊥平面ABCD得AE⊥PA，根据题意易得△ABC为等边三角形,利用线面垂直的判定定理可得AE⊥平面PAD,进而有AE⊥PD;
（Ⅱ）以A为坐标原点，以AE、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系，则所求值转化为平面EAF的法向量与平面ACF的法向量的夹角的余弦值的绝对值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴AE⊥PA,
∵四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，
又∵E是BD中点,∴AE⊥BC，
由BC∥AD可知AE⊥AD，
又∵PA∩AE=A，∴AE⊥平面PAD，
又∵PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD;
（Ⅱ）解：由(I）知AE、AD、AP两两垂直，
以A为坐标原点，以AE、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立坐标系如图,
设PA=AB=2,则A（0,0，0），E（，0，0)，C(，1，0），F（，，1）,
∴=（，0,0)，=（,1，0），=(,，1),
设平面EAF的法向量为=（x1，y1，z1），
则，即，
令z1=1，可得=（0，﹣2，1），
设平面ACF的法向量为=（x2，y2，z2）,
则，即,
令y2=，可得=（﹣1，，0），
cos＜，＞===﹣，
∴二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查二面角，空间中线面的位置关系，向量数量积运算，注意解题方法的积累，建立坐标系是解决本题的关键,属于中档题．
18．（12分）（2014•七里河区校级三模）已知函数f（x)=x3﹣x2+bx+c．
（1）若f（x)在（﹣∞，+∞）是增函数，求b的取值范围；
（2）若f（x)在x=1时取得极值，且x∈[﹣1，2］时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
【分析】（1)由已知中函数f(x）=x3﹣x2+bx+c，我们可以求出函数的导函数，进而根据f （x）在(﹣∞，+∞)是增函数，则f′（x)≥0恒成立，构造关于b的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）当f（x）在x=1时取得极值时，则x=1是方程3x2﹣x+b=0的一个根，由韦达定理可以求出方程3x2﹣x+b=0的另一个根,进而分析出区间［﹣1,2］的单调性，进而确定出函数f （x)在区间［﹣1，2]的最大值,进而构造关于c的不等式,根据二次不等式恒成立问题，即可得到答案．
【解答】解：（1）f′（x)=3x2﹣x+b，∵f（x）在（﹣∞，+∞）是增函数,
∴f′（x）≥0恒成立，∴△=1﹣12b≤0,解得b≥．
∵x∈（﹣∞,+∞)时，只有b=时，f′（）=0，∴b的取值范围为［，+∞]．
(2)由题意,x=1是方程3x2﹣x+b=0的一个根，设另一根为x0，
则∴∴f′（x）=3x2﹣x﹣2，
列表分析最值：
x ﹣1 (﹣1,﹣）﹣（﹣，1） 1 （1,2） 2 f’(x）+ 0 ﹣0 +
f（x）+c 递增极大值+c 递减极小值+c 递增2+c
∴当x∈［﹣1，2]时，f（x)的最大值为f（2）=2+c,
∵对x∈[﹣1,2]时，f（x）＜c2恒成立，∴c2＞2+c，解得c＜﹣1或c＞2,
故c的取值范围为（﹣∞,﹣1）∪(2，+∞）
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数恒成立问题，函数在某点取得极值的条件，利用导数研究函数的极值,是函数与导数问题比较综合的应用，其中（1）的关键是构造关于b的不等式，而（2）的关键是问题转化为关于c的不等式恒成立问题．
19．（12分）（2016•安徽校级一模）如图，在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中点．(1)求证：AM∥平面SCD；
(2）求平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值；
(3）设点N是直线CD上的动点,MN与平面SAB所成的角为θ,求sinθ的最大值．
【分析】（1）以点A为坐标原点，AD为x轴,AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM∥平面SCD．
(2）求出平面SAB的一个法向量和平面SCD的一个法向量，由此利用向量法能求出平面SCD 与平面SAB所成的二面角的余弦值．
（3）设N(x，2x﹣2,0）,则=（x，2x﹣3,﹣1），利用向量法能求出sinθ的得最大值．
【解答】证明:（1)∵在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，侧棱SA丄底面ABCD，AB垂直于AD和BC，SA=AB=BC=2,AD=1．M是棱SB的中点，
∴以点A为坐标原点，AD为x轴，AB为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（0,0，0），B（0,2,0），C(2，2，0）,D（1，0，0），S(0，0，2)，M(0，1,1）,
∴=（0，1,1),=(1,0，﹣2），=（﹣1，﹣2，0），
设平面SCD的一个法向量为=(x，y，z)，
则，令z=1,得=(2，﹣1，1），
∵=0,∴，
∵AM⊄平面SCD,∴AM∥平面SCD．
解：（2）由题意平面SAB的一个法向量=（1，0，0)，
设平面SCD与平面SAB所成的二面角为α，由题意0，
则cosα===,
∴平面SCD与平面SAB所成的二面角的余弦值为．
（3)设N（x,2x﹣2,0），则=(x，2x﹣3,﹣1），
∵平面SAB的一个法向量=（1，0，0）,MN与平面SAB所成的角为θ
∴sinθ=｜cos＜＞｜==||
=
=．
当，即x=时，sinθ取得最大值（sinθ)max=．
【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面所成的二面角的求法,考查线面角的正弦值的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分)（2012•茂名一模）已知函数．(a∈R)
（1)当a=1时，求f（x）在区间[1,e]上的最大值和最小值;
（2）若在区间（1，+∞）上,函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．【分析】(1)求出函数的导函数判断出其大于零得到函数在区间[1，e]上为增函数,所以f（1)
为最小值，f（e）为最大值,求出即可；（2）令，则g(x）的定义域为（0，+∞）．证g（x)＜0在区间（1，+∞）上恒成立即得证．求出g′(x）分区间讨论函数的增减性得到函数的极值,利用极值求出a的范围即可．
【解答】解(Ⅰ）当a=1时，，．
对于x∈[1，e］，有f’（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．
∴，
（Ⅱ)令,则g（x）的定义域为（0,+∞）．
在区间（1，+∞）上,函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵．
①若,令g’（x）=0，得极值点x1=1，．
当x2＞x1=1，即时,在（x2，+∞）上有g’（x）＞0．
此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g(x）∈（g（x2），+∞)，不合题意;
当x2＜x1=1,即a≥1时，同理可知，g（x）在区间(1，+∞）上，有g（x）∈（g（1)，+∞），也不合题意；
②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间(1，+∞）上恒有g’（x）＜0．
从而g（x)在区间（1，+∞）上是减函数
要使g(x)＜0在此区间上恒成立，只须满足．
由此求得a的范围是［,］．
综合①②可知,当a∈[，］时，函数f(x）的图象恒在直线y=2ax下方．
【点评】考查学生利用导数求函数在闭区间上的最值的能力．以及综合运用函数解决数学问题的能力．。