最新人教版初中数学九年级数学下册第二单元《相似》测试卷(包含答案解析)(1)

一、选择题
1．下列判断正确的是（ ）
A ．对角线相等的四边形是矩形
B ．将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似
C ．如果两个相似多边形的面积比为16：9，那么这两个相似多边形的周长比可能是4：3
D ．若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm
2．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A ，4CF =，则点E 的坐标是（ ）
A ．()8,4-
B ．()10,3-
C ．()10,4-
D ．()8,3- 3．如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别是()1,2A ，()1,1B ，()3,1C ，以原点为位似中心，在原点的同侧画DEF ，使DEF 与ABC 成位似图形，且相似比为2:1，则线段DF 的长度为（ ）
A ．5
B ．2
C ．4
D ．5
4．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点P 是BD 上的一个动点，过点P 作EF ∥AC ，分别交正方形的两条边于点E ，F ，连接OE ，OF ，设BP =x ，△OEF 的面积为y ，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像为（ ）
A．B．
C．D．
5．如果两个相似三角形的对应高之比是1:2，那么它们的周长比是（）
A．1:2B．1:4
C．1:2D．2:1
6．如图，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）
A．1: 4 B．1:5 C．1:6 D．1: 7
7．如图，直线l1//l2//l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB∶BC＝5∶3，DE＝15，则EF的长为（）
A．6 B．9 C．10 D．25
8．已知P ，Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB=10，则PQ 长为（ ）
A ．5(5-1)
B ．5(5+1)
C ．10(5-2) -
D ．5(3-5) 9．如图，已知直线////a b c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，
E ，
F ，若12AB BC =，则DE EF
=（ ）
A ．13
B ．12
C ．23
D ．1
10．如图，已知在ABC ∆中，点D 、E 分别是AB 和AC 的中点，BE 、CD 相交于点O ，若2DOE S ∆=，则BOC S ∆=（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
11．下列判断中，不正确的有（ ）
A ．三边对应成比例的两个三角形相似
B ．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似
C ．有一个锐角相等的两个直角三角形相似
D ．有一个角是100°的两个等腰三角形相似
12．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接AE 交BD 于点F ，若1OF =，则BD 的长为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
二、填空题
13．如图圆内接正六边形ABCDEF 中，AC 、BF 交于点M ．则
:ABM AFM S S =△△___________．
14．如图，////AB GH CD ，点H 在BC 上，AC 与BD 交于点G ，2AB =，3CD =，则GH 的长为 ．
15．贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

16．如图，直线////a b c ，直线m ，n 分别与a ，b ，c 相交于点A ，B ，C ，D ，E ，F ，若2AB =，3BC =，3DE =，则EF =_______．
17．如图，一个半径为2的圆P 与x 正半轴相切，过原点O 作圆P 的切线OT ，切点为T ，直线PT 分别交x y ，轴的正半轴于A B 、两点，且P 是线段AB 的三等分点，则圆心P 的坐标为__________．
18．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边BC 上，EC ＝2BE ，连接AE 交BD 于点F ，若△BFE 的面积为2，则△AFD 的面积为_____．
19．如图，在四边形ABCD 中，点E 在AD 上，EC//AB ，EB//DC ，若△ABE 面积为5 ， △ECD 的面积为1，则△BCE 的面积是________．
20．如图是用卡钳测量容器内径的示意图，现量得卡钳上A ，D 两个端点之间的距离为10cm ，23
AO DO BO CO ==，则容器的内径是______．
三、解答题
21．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C ，D 不重
合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．我们探究下列图中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG ．线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且AB a ，BC b =，CE ka =，(),0CG kb a b k =≠>，第（1）题①中得到C 的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，
以图5为例简要说明理由；
（3）在第（2）题图5中，连接DG 、BE ，且3a =，2b =，12k =
，求22BE DG +的值．
22．如图，在1010⨯的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，建立如图所示的坐标系，ABC 的三个顶点均在格点上．
（1）若将ABC 沿x 轴对折得到111A B C △，则1C 的坐标为________．
（2）以点B 为位似中心，将ABC 各边放大为原来的2倍，得到22A BC ，请在这个网格中画出22A BC ．
（3）在（2）的条件下，求22A BC 的面积是多少？
23．如图所示，四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，将边BC 折叠，使点B 落在边OA 的点D 处，已知折叠55CE =，且:3:4AE AD =．
（1）判断OCD 与ADE 是否相似？请说明理由；
（2）求点E 的坐标
（3）求直线CE 与x 轴交点P 的坐标．
24．如图1，在△ABC 中，AD ⊥BC ，DE ⊥A B ，DF ⊥AC ．
（1）若AD 2 ＝BD ·
DC ， ①求证：∠BAC ＝90°；
②连接EF ，若AB ＝4，DC ＝6，求EF ．
（2）如图2，若AD ＝4，BD ＝2，DC ＝4，求EF ．
25．如图，ABC ∆中，∠C ＝90°，AC ＝3cm ，BC ＝4cm ，动点P 从点B 出发以2cm/s 速度向点C 移动，同时动点Q 从C 出发以1cm/s 的速度向点A 移动，设它们的运动时间为t 秒．
（1）根据题意知：CQ ＝ cm ，CP ＝ cm ；（用含t 的代数式表示）
（2）t 为何值时，CPQ ∆与ABC ∆相似．
26．如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连接CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线于点F ．
（1）求证：PA ＝PC ；
（2）求证：PC 2＝PE •PF ．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
A ．利用矩形的判定定理对角线相等的平行四边形可判断；
B ．一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形相似应满足长与宽相等时可以，而矩形的长与宽一般不等；
C.利用相似图形的性质即可；
D ．利用黄金分割法可求出BC 有两个值即可．
【详解】
解：A 、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项错误；
B 、将一个矩形风景画的四周镶上宽度相等的金边后得到的新矩形与原矩形不一定相似，故此选项错误；
C 、如果两个相似多边形的面积比为16：9，则两个相似多边形的相似比为4:3，那么这两个相似多边形的周长比等于相似比是4：3，故此选项正确；
D 、若点C 是AB 的黄金分割点，且AB ＝6cm ，则BC 的长约为3.7cm 或2.3cm ，故此选项错误；
故选择：C ．
【点睛】
本题综合性考查矩形，矩形相似，相似多边形的性质，黄金分割问题，掌握矩形的判定方法，矩形相似的判定方法，相似多边形的性质，会求黄金分割中线段的长是解题关键． 2．B
解析：B
【分析】
根据题意可求得CE 、OF 的长度，根据点E 在第二象限，从而可以得到点E 的坐标．
【详解】
解：∵四边形ABCO 是矩形
∴90ECF FOA B ∠=∠=∠=︒
∵将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若()0,8A
∴90AFE B ∠=∠=︒
∴90CEF CFE OFA CFE ∠+∠=∠+∠=︒
∴CEF OFA ∠=∠
∴Rt ECF Rt FOA ∽
根据题意可设CE x =，则8BE x =-，则8BE x =-
∵4CF =
∴在Rt ECF △中，()2
2248x x +=- ∴3x =
根据题意可设OF y =
∵Rt ECF Rt FOA ∽ ∴CE CF OF OA
= ∴348
y =
∴6y =
∴6OF =
∴10CO CF OF =+=
∴点E 的坐标为()10,3-．
故选：B
【点睛】
本题考查了勾股定理、矩形的性质、翻折变换、坐标与图形变化（轴对称）、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是明确题意找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想进行解答．
3．A
解析：A
【分析】
根据位似图形的性质可得DF =2AC ，然后根据两点间的距离公式求出AC 即可解决问题．
【详解】
解：∵DEF 与ABC 是位似图形，且相似比为2:1，
∴DF =2AC ，
∵
AC ==
∴DF =
故选：A ．
【点睛】
本题考查了位似图形的性质和两点间的距离，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 4．C
解析：C
【分析】
根据题意易得BO =
EF 与x 的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数图像即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，边长为2，
∴
AC BD ==12BO OD BD ==
=
①当P 在OB 上时，即0x ≤≤
∵EF ∥AC ，
∴△BEF ∽△BAC ， ∴
EF BP AC OB
=， ∴22EF BP x ==， ∵
OP x =，
∴)
2122y x x x =⨯⨯=-+；
②当P 在OD x <≤
∵EF ∥AC ，
∴△DEF ∽△DAC ， ∴
EF DP AC OD =，
=，
∴)2EF x =，
∵BP=x ， ∴
OP x =
∴(()
21242y x x x =⋅=-+-， 这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下，
故选C ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．
5．A
解析：A
【分析】
根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【详解】
解：∵对应高之比是1：2，
∴相似比=1：2，
∴对应周长之比是1：2．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
6．B
解析：B
【分析】
设△DEF 的面积为S ，分别用S 表示出△AEB ，△AOB ，△DOC 的面积，即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，
设△DEF 的面积为S ，
∵DF ∥AB ，DE ：EB=1：3，
∴△ABE 的面积为9S ，
∵EO ：BO=1：2，
∴△AOB 的面积=△DOC 的面积=6S ，
∴四边形FEOC 的面积为6S-S=5S ， ∴15DEF S S EFOC =四边形=1:5， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
7．B
解析：B
【分析】
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】
解：∵l 1∥l 2∥l 3，DE=15，
∴
53DE AB EF BC ==，即1553
EF =， 解得，EF=9，
故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 8．C
解析：C
【分析】
画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出AQ 、PB 的长度，再根据PQ =AQ +PB －AB 即可求出PQ 的长度．
【详解】
解：如图，
根据黄金分割点的概念，可知51PB AQ AB AB -==
∴AQ =PB ，
AB =10，
∴AQ =PB
105=， ∴PQ =AQ +PB －AB
=5510202)+-==．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键．
9．B
解析：B
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理求解．
【详解】
解：∵a ∥b ∥c ， ∴
12
DE AB EF BC ==． 故选：B ．
【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 10．C
解析：C
【分析】
根据三角形中位线定理得到DE=
12
BC ，DE ∥BC ，得到△DOE ∽△COB ，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】 ∵D 、E 分别是AB 和AC 的中点， ∴12
DE BC =，//DE BC ， ∴DOE COB ∆∆∽， ∴2DOE COB S DE S BC ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，即BOC
214S ∆=， 解得，8BOC S ∆=，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．B
解析：B
【分析】
由相似三角形的判定依次判断可求解．
【详解】
解：A 、三边对应成比例的两个三角形相似，故A 选项不合题意；
B 、两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，故B 选项符合题意；
C 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似，故C 选项不合题意；
D 、有一个角是100°的两个等腰三角形，则它们的底角都是40°，所以有一个角是100°的两个等腰三角形相似，故D 选项不合题意；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
根据平行四边形的性质知AD=2BE ，BC ∥AD ，BO=OD ，设BF=a ，得DF=a+2，由BC ∥AD 知△BEF ∽△DAF ，据此得
=BF DF 12
=BE DA ,得出BF 的长，从而得出BD 的长． 【详解】
解：∵点E 是BC 中点，
∴BC=2BE ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴BC=AD ，BC ∥AD ，BO=OD ，
∴AD=2BE ，
设BF=a ，
∵OF=1，
∴BO=DO=a+1，
则DF=a+2，
∵BC ∥AD
∴△BEF ∽△DAF ， 12∴
==BF BE DF DA ∴1,22
=+a a 解得a=2，
经检验a=2是原方程的解
∴BF=2，
∴BO=DO=3，
∴BD=6
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质．
二、填空题
13．【分析】根据正六边形的性质判断出△AMB ∽△BAF 再根据相似三角形的性质求解即可【详解】由题意可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°则△AMB ∽△BAF 且在△BAF 中∠BAF=120°∴△BAF 是 解析：12 【分析】 根据正六边形的性质，判断出△AMB ∽△BAF ，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】
由题意，可知∠AFB=∠ABF=∠CAB=30°，
则△AMB ∽△BAF ，
且在△BAF 中，∠BAF=120°，
∴△BAF 是顶角为120°的等腰三角形，
作AP ⊥BF ，
∵∠ABF=30°，
∴AB=2AP ，BP=3AP ，BF=2BP=23AP ，
∴3
AB BF =， ∴△AMB ∽△BAF ，相似比为：
3， ∴:1:3ABM AFB S S =△△
∴1:1:22
ABM AFM S S ==， 故答案为：12
．
【点睛】
本题考查正多边形的性质及相似三角形的判定与性质，准确推断出相似三角形，且注意相
似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
14．【分析】根据平行线分线段成比例定理由AB ∥GH 得出由GH ∥CD 得出将两个式子相加即可求出GH 的长【详解】解：即①即②①②得解得故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理熟练运用等式的性质进行 解析：65
【分析】
根据平行线分线段成比例定理，由AB ∥GH ，得出GH CH AB BC
=，由GH ∥CD ，得出3GH BH BC
=，将两个式子相加，即可求出GH 的长． 【详解】
解：
//AB GH ，
GH CH AB BC
∴=， 即2GH CH BC
=①， //GH CD ， GH BH CD BC
∴=， 即3GH BH BC
=②， ①+②， 得23GH GH CH BH BC BC
+=+， CH BH BC +=，
123
GH GH ∴+=， 解得65
GH =． 故答案为：65
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练运用等式的性质进行计算．本题难度适中． 15．167【分析】在同一时刻物高和影长成正比即在同一时刻的两个物体影子经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例设金老师的高度为xm 则解得x=167故答
解析：1.67
【分析】
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
【详解】
解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设金老师的高度为xm ， 则
1.863
2.7
x =， 解得x=1.67． 故答案为：1.67．
【点睛】
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比．考查了同学们利用所学知识解决实际问题的能力．
16．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到然后根据比例的性质求EF 的长
【详解】解：∵直线a ∥b ∥c ∴即∴EF=故答案为：【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例 解析：92
【分析】 根据平行线分线段成比例定理得到
AB DE BC EF =，然后根据比例的性质求EF 的长． 【详解】
解：∵直线a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF
=，即23=3EF ， ∴EF=92
． 故答案为：
92
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 17．或【分析】分两种情况①当AP=2BP 时当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可【详解】解：P 是线段AB 的三等分点有两种情况：连接OP 过点P 作PC ⊥y 轴设OD=x 则CP=x①当AP=2BP 时∵PD ∥OB ∴∴AD=
解析：或2)
【分析】
分两种情况①当AP=2BP 时，当ＢP=2ＡP 时讨论解答即可．
【详解】
解：P 是线段AB 的三等分点，有两种情况：连接OP ，过点P 作PC ⊥y 轴，
设OD=x ，则CP=x ，
①当AP=2BP 时，
∵PD ∥OB ， ∴=2AP AD PB DO
=， ∴AD=2DO ，即AD=2x ，
在RT △ADP 中，==， ∵23
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=3， ∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅，
∴x ，
解得1x =2x =-舍去)，
∴P(
2)；
②当ＢP=2ＡP 时，
∵PD ∥OB ， ∴1=2
AP AD PB DO =， ∴AD=
12DO ，即AD=12
x ， 在RT △ADP 中，
== ∵13
AP PD AB OB ==，PD=2， ∴OB=６， ∵1122
BOP S BO CP BP OT =⋅=⋅，
∴６x ，
解得1x =2x =-(舍去)，
∴P(
2)；
故答案为：P(2)或P(，2)．
【点睛】
本题考查了切线的性质、平行线分线段成比例及勾股定理，解题的关键是分情况讨论．18．18【分析】根据平行四边形的性质可得BC∥AD进而可判定△ADF∽△EBF 然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积【详解】解：∵ABCD是平行四边形∴AD∥BCAD＝BC∴△A
解析：18
【分析】
根据平行四边形的性质可得BC∥AD，进而可判定△ADF∽△EBF，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求出△AFD的面积．
【详解】
解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴△ADF∽△EBF，
∵EC＝2BE，
∴BC＝3BE，即AD＝3BE，
∴S△AFD＝9S△EFB＝18．
故答案为：18．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．
19．【分析】由EC∥ABEB∥DC可得∠A=∠CED∠AEB=∠D证得△ABE与△ECD 相似由△ABE的面积为5△CDE的面积为1可得AB：CE=：1又由EC∥AB可得△ABE与△BCE等高然后由等高三
5
【分析】
由EC∥AB，EB∥DC，可得∠A=∠CED，∠AEB=∠D，证得△ABE与△ECD相似，由△ABE 的面积为5，△CDE的面积为1，可得AB：51又由EC∥AB，可得△ABE与△BCE
等高，然后由等高三角形的面积比等于对应底的比，求得△BCE 的面积．
【详解】
∵EC ∥AB ，
∴∠A=∠CED ，
∵EB ∥DC
∴∠AEB=∠D ，
∴△ABE ∽△ECD ， ∴22ABE ECD 551S BE AB CD CE S
⎛⎫⎛⎫==== ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴AB CE =
AB =， ∵△ABE 以AB 为底边的高与△BCE 以CE 为底的高相等，
∴ABE
BCE S AB S CE =
=
BCE S ∴==
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质．注意相似三角形的面积比等于相似比的平方、等高三角形面积的比等于其对应底的比．
20．【分析】连接ADBC 后可知△AOD ∽△BOC 再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答【详解】解：如图连接ADBC 则在△AOD 和△BOC 中∴△AOD ∽△BOC （cm ）故答案为15cm 【点睛】本题
解析：15cm
【分析】
连接AD 、BC 后可知△AOD ∽△BOC ，再由相似三角形的性质和已知条件可以得到问题解答．
【详解】
解：如图，连接AD 、BC ，
则在△AOD 和△BOC 中，AO DO BO CO DOA BOC
⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩，∴△AOD ∽△BOC ，
233,1015322
AD AO BC AD BC BO ====⨯=（cm ）， 故答案为15cm ．
【点睛】
本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定及性质并灵活运用是解题关键．
三、解答题
21．（1）①BG DE =，BG DE ⊥．②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．详见解析；（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立，详见解析；（3）
654． 【分析】
（1）①利用正方形的性质，证明BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，再证明：∠EDC+∠DGO=90°，从而可得结论；②同①，先证明：BCG DCE ≌△△，利用全等三角形的性质可得：BG DE =，CBG CDE ∠=∠，再证明：90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；
（2）利用矩形的性质，证明BCG DCE △∽△，可得：CBG CDE ∠=∠，再证明90CDE DHO ∠+∠=︒，从而可得结论；
（3）连接,,BD GE 利用BG DE ⊥，结合勾股定理证明：2222BE DG BD GE +=+，再把3a =，2b =，12k =
代入，即可得到答案． 【详解】
解：（1）①BG DE =，BG DE ⊥．理由如下：如图1，
延长BG 交DE 于O ，
∵四边形ABCD 、CGFE 是正方形，
∴BC=CD=AB ，CG=CE ，∠BCD=∠ECD=90°，
∵在BCG 和DCE 中
BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴BCG DCE ≌△△，
∴BG=DE ，∠CBG=∠CDE ，
∵∠CBG+∠BGC=90°，
又∵∠DGO=∠BGC ，
∴∠EDC+∠DGO=90°，
∴∠DOG=1809090︒-︒=︒，
∴BG ⊥DE ，
即BG=DE ，BG ⊥DE ；
②BG DE =，BG DE ⊥仍然成立．
如图2，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是正方形，
∴BC CD =，CG CE =，90BCD ECG ∠=∠=︒，
∴BCG DCE ∠=∠，
∵在BCG 与DCE 中，
,BC CD BCG DCE CG CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴BCG DCE ≌△△，
∴BG DE =，CBG CDE ∠=∠，
又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，
∴90CDE DHO ∠+∠=︒，
∴90DOH ∠=︒，
∴BG DE ⊥．
（2）BG DE ⊥成立，BG DE =不成立．
如图5，∵四边形ABCD 、四边形CEFG 都是矩形，
且AB CD a ==，BC b =，CG kb =，(),0CE ka a b k =≠>， ∴BC CG b DC CE a
==，90BCD ECG ∠=∠=︒， ∴BCG DCE ∠=∠， ∴BCG DCE △∽△，
∴CBG CDE ∠=∠，
又∵BHC DHO ∠=∠，90CBG BHC ∠+∠=︒，
∴90CDE DHO ∠+∠=︒，
∴90DOH ∠=︒，
∴BG DE ⊥．
显然：.BG DE ≠
（3）如图5，连接,,BD GE
∵BG DE ⊥，
∴222OB OD BD +=，222OE OG GE +=，222OB OE BE +=，222OG OD DG += ∴22222222BE DG OB OE OG OD BD GE +=+++=+，
又∵3a =，2b =，12k =
，CE ka =，CG kb =， 2222222211323321222BD GE ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，， ∴2
2222236523124BD GE ⎛⎫+=+++= ⎪⎝⎭，
∴22654
BE DG +=
． 【点睛】 本题考查的是勾股定理的应用，正方形，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．
22．（1）(4,)1-；（2）画图见解析；（3）12．
【分析】
（1）直接利用关于x 轴对称图形的性质得出得出对应点位置即可；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接运用三角形面积公式求出△A 2BC 2的面积即可．
【详解】
解：（1）如图所示：111A B C △，即为所求，
则1C 的坐标为：(4,)1-．故答案为：(4,)1-．
（2）如图所示：22A BC ，即为所求．
（3）22164122A BC S =⨯⨯=． 【点睛】
此题主要考查了位似变换以及轴对称变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（1）OCD 与ADE 相似，理由见解析；（2）点E 的坐标为()10,3；（3）点P 的坐标为()16,0．
【分析】
（1）结论△OCD 与△ADE 相似：根据同角的余角相等即可得出∠OCD ＝∠EDA ，由此可证得两三角形相似．
（2）设3AE t =，则4AD t =，利用OCD ADE ∽△△，得到OC CD AD DE
=，10CD t =．在DCE 中，利用222CD DE CE +=，解得1t =，故可求解；
（3）根据待定系数法求出CE 的解析式，故可求解．
【详解】
（1）OCD 与ADE 相似．理由如下：
由折叠知，90CDE B ∠=∠=︒，
∴90CDO EDA ∠+∠=︒，
∵90CDO OCD ∠+∠=︒，
∴∠OCD ＝∠EDA ．
又∵90COD DAE ∠=∠=︒，
∴OCD ADE ∽△△．
（2）∵:3:4AE AD =，
∴设3AE t =，则4AD t =，
由勾股定理得5DE t =，∴358OC AB AE EB AE DE t t t ==+=+=+=．
由（1）OCD ADE ∽△△，得：OC CD AD DE
= ∴
845t CD t t
= ∴10CD t =． 在DCE 中，∵222CD DE CE +=，
∴()(
)(2
22105t t +=，解得1t =． ∴8OC =，3AE =，
∴点C 的坐标为()0,8，点E 的坐标为()10,3，
（3）设直线CE 的解析式为y kx b =+，
∴1038
k b b +=⎧⎨=⎩， ∴128
k b ⎧=-⎪⎨⎪+⎩， ∴182
y x =-
+， 令y=0,解得x=16 ∴点P 的坐标为()16,0．
【点睛】
本题考查了一次函数的应用、图形的翻折变换、矩形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24．（1）①见解析；
②2
【分析】
（1）①依据∠ADB ＝∠CDA ＝90°，
BD AD AD CD
=，即可得到△ABD ∽△CAD ，再根据相似三角形的性质，即可得到∠BAC ＝90°； ②先判定四边形AEDF 是矩形，得出EF ＝AD ，再根据射影定理可得BD ＝2，最后根据勾股
定理，求得Rt △ABD 中，AD EF ＝
（2）根据勾股定理得到AC ＝AB ＝AE AF AC AB =，∠EAF ＝∠CAB ，即
可判定△AEF ∽△ACB ，进而得出
=EF AF BC AB ，即可得到EF ＝5． 【详解】
（1）①证明：∵AD ⊥BC ，
∴∠ADB ＝∠CDA ＝90°．
∵AD 2 ＝BD ·DC ， ∴BD AD AD CD
=． ∴△ABD ∽ △CAD ．
∴∠BAD ＝∠C ．
又∵∠B +∠BAD ＝90° ，
∴∠B +∠C ＝90°．
∴∠BAC ＝ 90°．
②∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∠BAC ＝90°．
∴∠EAF ＝∠AED ＝∠AFD ＝90°．
∴四边形AEDF 是矩形．
∴EF ＝AD ．
∵∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，
∴AB 2＝BD ⋅BC ．
∵AB ＝4，DC ＝6，
即42＝BD ⋅（BD ＋6）．
解得BD ＝2．
∴Rt △ABD 中，AD
∴EF
＝
（2）∵在Rt △ABD 中，AD ＝4，BD ＝2，
∴AB =
∵AD ＝4，DC ＝4，DF ⊥AC ，
∴AC
=．
∴AF ＝1
2
AC ＝ ∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD ⊥BC ，
∴AD 2＝AE ⋅AB ，AD 2＝AF ⋅AC ．
∴AE ⋅AB ＝AF ⋅AC ． 即AE AF AC AB
=． 又∵∠EAF ＝∠CAB ，
∴△AEF ∽△ACB ． ∴
=EF AF BC AB ．
∴
6EF =．
解得EF ＝
5． 【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题时注意：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，或依据基本图形对图形进行分解、组合．
25．（1）t ；（4﹣2t ）；（2）要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或
1611
秒． 【分析】
（1）结合题意，直接得出答案即可；
（2）若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例．设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解：①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，然后列方程求解．
【详解】
解：（1）经过t 秒后，CQ ＝t ，CP ＝4﹣2t ，
故答案为：t ；（4﹣2t ）．
（2）设经过t 秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，
①若Rt ABC Rt QPC ∆∆∽，则
AC QC BC PC =，即3442t t =-，解得t ＝1.2； ②若Rt ABC Rt PQC ∆∆∽，则PC AC QC BC =，即4234t t -=，解得t ＝1611
； 由P 点在BC 边上的运动速度为2cm/s ，Q 点在AC 边上的速度为1cm/s ，可求出t 的取值范围应该为0＜t ＜2，
验证可知①②两种情况下所求的t 均满足条件．
答：要使CPQ ∆与CBA ∆相似，运动的时间为1.2或
1611
秒． 【点睛】
本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．
26．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CDB ＝∠ADB ，然后利用“边角边”证明△APD 和△CPD 全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可
（2）利用两组角对应相等则两三角形相似，证明△APE 与△FPA 相似；根据相似三角形的对应边成比例及全等三角形的对应边相等即可得到结论．
【详解】
（1）∵四边形ABCD 为菱形，
∴DA ＝DC ，∠CDB ＝∠ADB ，
在△ADP 和△CDP 中，
AD CD BDC CBD DP DP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ADP ≌△CDP （SAS ），
∴PA ＝PC ；
（2）∵△ADP ≌△CDP ，
∴∠PAD ＝∠PCD ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴DC ∥AB ，
∴∠PCD ＝∠PFA ，
∴∠PAE ＝∠PFA ，
而∠APE ＝∠FPA ，
∴△PAE ∽△PFA ，
∴PA ：PF ＝PE ：PA ，
∴PA 2＝PE •PF ，
∵PA ＝PC ，
∴PC 2＝PE •PF ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，全等三角形的判定，菱形的性质等知识点，本题中依据三角形的全等或相似得出线段的相等或比例关系是解题的关键．。