32直线的一般式方程
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思考1：以上三个方程是否都是二元一次方程?
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？
B0 时,方程变为
y=-
A B
x-
C B
表示过点(0,-
C B
),斜率为-
A B
的直线
B=0 时,方程变为
x=-
C A
（A
0)
表示垂直于x轴的一条直线
总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
时a=2,方程为3x+y=0.
即
a-2
若 a 2 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，有 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0.
a
1
a
-2
，
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
y+2 -4+2
=
x-3 5-3
x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
x 3
+
y -3
=12x-y-3=0
2
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
过点（x0 , y0）与x轴垂直的直线可表示成 x x，0
过点（x0
,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
y y0。
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是___y-_1_=_2_(x_-_2_)__ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 程是_____y_=_1____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 线的方程是__x_=_2_____
(a 1) 0
(a 1) 0
a 2 0
或 a 2 0
，∴ a -1
综上所述，a的取值范围是(-, -1] ．
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
直线的一般式方程
(一)填空
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式 斜) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线
y=kx+b
有斜率的直线
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
探究：在方程 Ax By C 0 中，
1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行 ；
2.当A 0，B 0，C为任意实数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当A 0，B 0，C 0时，方程表示的直线与x轴_重__合___ ； 4.当 A 0，B 0，C 0时，方程表示的直线与y轴重合 ； 5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程表示的直线过原点.
思考：若已知直线 l : 3x 5y 15 0 ，求它在x轴上 的截距．
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出
y C B
值，则
bC B
(3) 直线与x轴的截距a
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 解：将直线的一般式方程化为斜截式：y 3 x 3，
5
它的斜率为： 3 ，它在y轴上的截距是3 5
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
4 3
;
y+4=-
4 3
(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
令y=0，解出 x C 值，则 a C
A
A
拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)．
（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；
（2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此
所有的直线方程是否都是二元一次方程？
思考2：对于任意一个二元一次方程
Ax By C 0 （A，B不同时为零） 能否表示一条直线？
B0 时,方程变为
y=-
A B
x-
C B
表示过点(0,-
C B
),斜率为-
A B
的直线
B=0 时,方程变为
x=-
C A
（A
0)
表示垂直于x轴的一条直线
总结: 由上面讨论可知, (1)平面上任一条直线都可以用一个关于x,y的 二元一次方程表示, (2)关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.
1.直线的一般式方程
我们把关于x,y的二元一次方程 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)
叫做直线的一般式方程,简称一般式
时a=2,方程为3x+y=0.
即
a-2
若 a 2 ，即l不过原点时，由于 l 在两坐标轴上的截距相等，有 a+1=1, ∴a=0 , l 的方程为 x+y+2=0.
a
1
a
-2
，
所以， l 的方程为3x+y=0 或 x+y+2=0
（2）将l的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, ∴欲使l不经过第二象限，当且仅当
y+2 -4+2
=
x-3 5-3
x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
3 2
,-3;
x 3
+
y -3
=12x-y-3=0
2
注：对于直线方程的一般式，一般作如下 约定：一般按含x项、含y项、常数项顺序 排列；x项的系数为正；x，y的系数和常数 项一般不出现分数；无特别说明时，最好 将所求直线方程的结果写成一般式。
不垂直于x,y轴 的直线
不垂直于x,y轴 的直线 不过原点的直线
过点（x0 , y0）与x轴垂直的直线可表示成 x x，0
过点（x0
,
y
）
0
与y轴垂直的直线可表示成
y y0。
（二）填空 1．过点(2,1)，斜率为2的直线的 方程是___y-_1_=_2_(x_-_2_)__ 2．过点(2,1)，斜率为0的直线方 程是_____y_=_1____ 3．过点(2,1)，斜率不存在的直 线的方程是__x_=_2_____
(a 1) 0
(a 1) 0
a 2 0
或 a 2 0
，∴ a -1
综上所述，a的取值范围是(-, -1] ．
例3、设直线l 的方程为 （m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=2m-6，根据下列
条件确定m的值： （1） l 在X轴上的截距是-3； （2）斜率是-1.
直线的一般式方程
(一)填空
名称
已知条件
标准方程
适用范围
点斜式 斜) , k k,y轴上截距b
(x1,y1)(x2,y2)
x轴上截距a y轴上截距b
y-y0=k(x-x0) 有斜率的直线
y=kx+b
有斜率的直线
y-y1 y2-y1
=
x-x1 x2-x1
x a
+
y b
=1
2.二元一次方程的系数和常数项对 直线的位置的影响
探究：在方程 Ax By C 0 中，
1.当 A 0，B 0，C 0 时，方程表示的直线与x轴 平行 ；
2.当A 0，B 0，C为任意实数 时，方程表示的直线与x轴垂直； 3.当A 0，B 0，C 0时，方程表示的直线与x轴_重__合___ ； 4.当 A 0，B 0，C 0时，方程表示的直线与y轴重合 ； 5.当 C 0, A, B不同时为0 时，方程表示的直线过原点.
思考：若已知直线 l : 3x 5y 15 0 ，求它在x轴上 的截距．
求直线的一般式方程 Ax By C 0(在A, B都不为零时)
的斜率和截距的方法：
（1）直线的斜率 k＝－ A
B
（2）直线在y轴上的截距b
令x=0，解出
y C B
值，则
bC B
(3) 直线与x轴的截距a
（二）直线方程的一般式化为斜截式，以及已知 直线方程的一般式求直线的斜率和截距的方法
例2 把直线 l : 3x 5y 15 0 化成斜截式，求
出直线的斜率以及它在y轴上的截距。 解：将直线的一般式方程化为斜截式：y 3 x 3，
5
它的斜率为： 3 ，它在y轴上的截距是3 5
3.一般式方程与其他形式方程的转化
（一）把直线方程的点斜式、两点式和截距式转 化为一般式，把握直线方程一般式的特点
例1 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化成一
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
4 3
;
y+4=-
4 3
(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
2、设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且 │PA│=│PB│，若直线PA的方程为x-y+1=0，则 直线PB的方程是( )
A.2y-x-4=0 B.2x-y-1=0
C.x+y-5=0 D.2x+y-7=0
令y=0，解出 x C 值，则 a C
A
A
拓展训练题:
设直线 l 的方程为(a＋1)x＋y＋2－a=0(a∈R)．
（1）若 l 在两坐标轴上的截距相等，求 l 的方程；
（2）若 l 不经过第二象限，求实数a的取值范围．
解析:（1）当直线过原点时，该直线在 x 轴 y 轴上的截距都为零，当然相等，此