精编2020高考数学《立体几何初步》专题模拟考试(含参考答案)

2019年高中数学单元测试卷
立体几何初步
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
一、选择题
1．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2,∠DAB=60°,E为AB的中点，将△ADE与△BEC 分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P－DCE三棱锥的外接球的体积为
（ C ）
(A)
27
3
4π
(B)
2
6π
(C)
8
6π
(D)
24
6π
(2006山东理)
二、填空题
2．设,m n为空间的两条直线，,αβ为空间的两个平面，给出下列命题：
①若m∥α,m∥β , 则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β;
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n;
上述命题中，其中假命题
．．．的序号是▲．
3．在棱长为a的正方体内放入9个等球，八个角各放一个，则这些等球的最大半径是_____
4．若,a b相交，且aα
∥，则b与α的位置关系是_____________
5．一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影
所示．第六个正方形在编号1到5的位置，则所有可能位
置的编号是．
6．已知：直线,a b 是异面直线，直线,c d 分别与直线a 交于相异两点P 和Q ，分别与直线b 交于相异两点M 和N ，求证：直线,c d 是异面直线。

7．若长方体三个面的面积分别是2，3，6，则长方体的体积等于 ▲ ．
8．以下5个命题：
（1）设a ，b ，c 是空间的三条直线，若c a ⊥，c b ⊥，则b a //； （2）设a ，b 是两条直线，α是平面，若α⊥a ，α⊥b ，则b a //； （3）设a 是直线，α，β是两个平面，若β⊥a ，βα⊥，则α//a ； （4）设α，β是两个平面，c 是直线，若α⊥c ，β⊥c ，则βα//； （5）设α，β，γ是三个平面，若γα⊥，γβ⊥，则βα//. 其中正确命题的序号是 ．
9．如图，三个半径都是10cm 的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一个水平面，则这碗的半径R 是______________
10．α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同直线.给出四个论断： ①
m ⊥n ②α⊥β ③n ⊥β ④m ⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个．．命题： . （1999全国18）
11．如图，P 是棱长为4的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1对角线AC 1上一动点， 若平面
PBD ⊥平面A B C ，则三棱锥P A B -的体积为
▲ ．
12．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为92
π
, 则正方体的棱长为 ______.（2013年高考天津卷（文））
13．侧棱长为cm 5、高为cm 4的正四棱锥的底面积为 2
cm . 14． a ，b ，c 是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；
③若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线； 上述命题中正确的是________(只填序号)．
15．圆柱的底面半径为3cm ，体积为π18cm 3，则其侧面积为 cm 2
16．如下图所示，空间中有两个正方形ABCD 和ADEF ，设M 、N 分别是BD 和AE 的中点，那么以下四个命题中正确的个数是
①AD ⊥MN ② MN ∥面CDE ③MN ∥CE ④MN 、CE 是异面直线
17．若一条直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是（ ） (A)直线上所有点都在平面外 (B)直线上有无穷多个点在平面外 (C)直线上有有限个点在平面外 (D)平面内至少有一个点在直线 18．
表面积是 .
19．如图，平面四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的四条边上，若直线EF 与GH 相交，则它们的交点M 必在直线 ☆ 上。

AC
B
第6题
三、解答题
20．（理）如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=︒，E 是棱1CC 上动点，F 是
AB 中点 ，2AC BC ==，14AA =．
⑴求证：CF ⊥平面1ABB ；
⑵当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；
⑶在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B --的大小是45︒，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由．
21．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，E 、F 分别为PC 、BD 的中点，侧面
P A D A B C ⊥底面
，且2
PA PD AD ==. （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求三棱锥C PBD -的体积. 22
．
如
图
,
在
四棱锥
P ABCD
-中,PD ABCD ⊥面,//AB DC ,AB AD ⊥,5BC =,3DC =,4AD =,60PAD ∠=. (1)当正视图方向与向量AD 的方向相同时,画出四棱锥P ABCD -的正视图.(要求标出尺寸,并画出演算过程);
(2)若M 为PA 的中点,求证://DM PBC 面;
(3)求三棱锥D PBC -的体积. （2013年高考福建卷（文））
23．如图①三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，
90=∠ABC ，
C 1
B 1
A 1
F
E
C
B
A
A
B
C
D
E
F
P
1BB BC AB ==，M ,N 分别是C A AB 1,的中点.
(1)
求证：11//B BCC MN 平面;
(2)
求
证
：
C B A MN 11平面⊥.
① ②
证明：(1)如图②,连接11,AC BC ,显然AC 1过点N.
M ,N 分别是C A AB 1,的中点，
∴1//BC MN 又11B BCC MN 平面⊄ ,111B BCC BC 平面⊂,
∴11//B BCC MN 平面.
(2) 三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，1BB BC =,
∴11B BCC 四边形是正方形
∴111//1
BC MN C B BC ），由（⊥ ∴C B MN 1⊥.
.
,
90.,,,11111BMC AMA MAA MBC AA BB BC MB AM CM M A ∆≅∆∴=∠=∠===
由连接
CM M A =∴1,又C A N 1是的中点,
∴C A MN 1⊥.
C C A C B 相交于点与11， ∴C B A MN 11平面⊥.
24．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,已知1112,60AB AC AA BAA CAA ==∠=∠=,点D,E 分别为1,AB A C 的中点.
(1) 求证:D E ∥平面11BB C C ; (2) 求证:11BB A BC ⊥平面.
25．在正三棱柱111ABC A B C -中，若12,1,AB AA ==则三棱锥1A A BC -的体积为 26． 如图，在棱长均为4的三棱柱111ABC A B C -中，D 、1D 分别是BC 和11B C 的中点.
（1）求证：11A D ∥平面1AB D ；
（2）若平面ABC ⊥平面11BCC B ，160O
B B
C ∠=，求三
棱锥1B ABC -的体积。

27．如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，
3,1===AB AD PA ，
点F 是PD 的中点，点E 在CD 上移动。

（1） 求三棱锥PAB E -体积；
（2）
当点E 为CD 的中点时，试判断EF 与
平面PAC 的关系，并说明理由； （3） 求证：AF PE ⊥
28．如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2，1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；
（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ； （Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积.
证明：（Ⅰ） 平面⊥ABCD 平面ABEF ,AB CB ⊥,平面 ABCD 平面
ABEF =AB ，
⊥∴CB 平面ABEF ，⊂AF 平面ABEF
，
A
B
C
D
P
E
F
第
16
A
B
C
D
E F M
O
CB AF ⊥∴……………………………………3分
又AF BF ⊥，且BF BC B ⋂=，,BF BC ⊂平面CBF ，⊥∴AF 平面CBF ……………5分 （Ⅱ）设DF 的中点为N ，则MN //CD 21，又AO //CD 2
1
，则MN //AO ，MNAO 为平行四边形，
//OM ∴AN ……………………………………………………………………………8分
又⊂AN 平面DAF ，⊄OM 平面DAF ，//OM ∴平面DAF ……………………………10分
（Ⅲ）过点E 作EH AB ⊥于H ，则060EBH ∠=，所
以EH =
，21EF AB HB =-=，
故112BEF S ∆=⨯=………12分，
13C BEF BEF V S BC -∆=⨯⨯= …………14分
29．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，
底面为直角三角形，∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1
，
P 是BC 1上一动点，则CP ＋PA 1的最小值是____.
30．如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD
AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. (1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； (2）求四面体PCEF 的体积.
【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，
所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分
同理可证∠APD =45°.
所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分
又DE ⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分
C 1
1
A
因为DE∩PD=D ，所以PC⊥PDE . …………………………5分又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分。