人口迁徙模型-1

输入以上代码，可以得到人口迁徙的结果为：
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人口迁徙模型-1
⎡ 0.2960 ⎤ ⎡0.2717 ⎤ ⎡ 0.2541⎤ ⎡ 0.2508⎤ x1 = ⎢ , x10 = ⎢ , x30 = ⎢ , x50 = ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎣ 0.7040 ⎦ ⎣ 0.7283⎦ ⎣ 0.7459⎦ ⎣ 0.7492 ⎦
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建立数学模型分析鱼群中各个年龄组的鱼在第一到第五年内的变化规律，并利用 MATLAB 对所建立的模型进行分析。
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三、背景知识介绍： 由 m × n个数aij (i = 1,2,L , m, j = 1,2,L , n) 排成的 m 行 n 列的数表称为 m × n
矩阵。记作：
⎛ a11 ⎜ ⎜a A = ⎜ 21 L ⎜ ⎜a ⎝ m1 a12 a 22 L a m1 L a1n ⎞ ⎟ L a2n ⎟ L L⎟ ⎟ L a mn ⎟ ⎠
试建立一个食饵－捕食系统的数学模型，定量地回答这个问题。并用 MATLAB 进行 分析和仿真。 5、实验设计：鱼的种群数量发展规律 假设某类鱼群按生长的规律被分为四个年龄组，即一龄鱼、二龄鱼、三龄鱼、四龄 鱼.规定每年的前八个月为捕捞期，后四个月为产卵期.三龄鱼和四龄鱼在每年的 9—12 月产卵并孵化.每一条四龄鱼的平均产卵 1.109×10 5，而每条三龄鱼的平均产卵数为四 龄鱼的一半。孵化成活率为：
式中的第二项会随着 k 的增大趋向于零。如果只取小数点后两位，则只要
k > 27 ，这第二项就可以忽略不计而得到：
⎡0.25⎤ x k | k > 27 = A k x0 = 0.25u 2 = ⎢ ⎥ ⎣0.75⎦
五、MATLAB 程序
>> A=[0.94,0.02;0.06,0.98]; >> x0=[0.3;0.7]; >> x1=A*x0 >> x10=A^10*x0 >> x30=A^30*x0 >> x50=A^50*x0 >> [e lamda]=eig(A)
从途中我们可以清楚地看出，随着时间的增加，郊区人口与市区人口的比 值趋向于 1 / 3 ，这也证明了这个差分动态系统是稳定和收敛的。
六、结论与总结 1 适当选择基向量可以使矩阵乘法结果等价于一个简单的实数乘子， 避 免方向数出现，使得问题简单化。这也是方阵求特征值的基本思想之 一。 2 这个应用问题实际上是所谓马尔可夫过程（概率统计中还要学到）的 一个类型。所得到的向量序列 x1 , x 2 ,K, x k 称为马尔可夫链。
0 ⎞ ⎟ O M ⎟ P −1 L λn k ⎟ ⎠ L
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进而，我们可以得到：
⎛ λ1k ⎜ lim X (k ) = lim Ak X 0 = lim P ⎜ M k →+∞ k →+∞ k →+∞ ⎜ 0 ⎝
k →+∞
0 ⎞ ⎟ O M ⎟ P −1 X 0 L λn k ⎟ ⎠ L
对应于人口迁徙模型的特征向量和特征值为：
0 ⎤ ⎡− 0.7071 − 0.3162⎤ ⎡0.9200 e=⎢ , lamda = ⎢ ⎥ 1.0000⎥ ⎣ 0.7071 − 0.9487⎦ ⎣ 0 ⎦
我们可以通过以下图像观察郊区人口与市区人口比例的变化规律。
输入：>> for i=1:80 X(:,i)=A^i*x0; end >> plot(X(1,:)./X(2,:)) >> legend('市区人口与郊区人口之比')
k →+∞
因此，当且尽当 λ1 , λ2 ,L λn ≤ 1 时， lim X (k ) = C ；否则 lim X (k ) = ∞
四、模型建立 这个问题可以用矩阵乘法来描述，把人口变量用市区和郊区两个分量表 示，即：
⎡x ⎤ x k = ⎢ ck ⎥ ⎣ x sk ⎦
其中 xc 为市区人口所占比例， x s 为郊区人口所占比例，k 表示年份的次序。在
?市区人口与郊区人口之比?从途中我们可以清楚地看出随着时间的增加郊区人口与市区人口的比值趋向于13这也证明了这个差分动态系统是稳定和收敛的
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人口迁徙模型-1
一、问题简述 中国是一个人口大国， 人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。 据 已有数据，运用数学建模方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点， 例如老龄化进程加速、 出生 人口性别比持续升高， 以及乡村人口城镇化等因素， 这些都影响着中国人口的 增长。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。 从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 建立中国人口增长的数学 模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测； 特别要指出模型 中的优点与不足之处。
k = 0 的初始状态： ⎡ x ⎤ ⎡ 0.3 ⎤ x0 = ⎢ c 0 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ xs 0 ⎦ ⎣ 0.7 ⎦
一年以后，市区人口为：
xc1 = (1 − 0.06) xc 0 + 0.02 x s 0
郊区人口为：
x s1 = 0.06 x c 0 + (1 − 0.02) x s 0
用矩阵乘法来描述，可将上述关系写成：
⎡ −1⎤ ⎡1⎤ u1 = ⎢ ⎥ , u2 = ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎣ 3⎦
而不影响 可以看到， 用 A 乘以这两个向量的结果不过是改变向量的长度， 其方向，改变的比例也分别对应于其特征值 0.92 和 1。
⎡0.94 0.02⎤ ⎡− 1⎤ ⎡− 0.92⎤ Au1 = ⎢ ⎥ = 0.92u1 ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎣0.06 0.98⎦ ⎣ 1 ⎦ ⎣ 0.92 ⎦ ⎡0.94 0.02⎤ ⎡1⎤ ⎡1⎤ Au 2 = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = u2 ⎣0.06 0.98⎦ ⎣3⎦ ⎣3⎦
设 A 为 n 阶实矩阵， 如果存在实数 λ 与 n 维非零实向量 X ， 使得 AX = λX ， 则称 λ 是矩阵 A 的特征值, X 是对应于特征值 λ 的特征向量。 特征值与特征向量的求法： 1）计算矩阵 A 的特征多项式 λ E − A ； 2）特征方程 λ E − A = 0 所得的根，即为矩阵 A 的特征值； 3 ） 对 于 A 的 不 同 特 征 值 λi ， 求 方 程 组 ( λi E − A ) X = 0 的 基 础 解 系
无限增加时间 k ，市区和郊区人口之比将趋向一组常数 0.25/0.75。 为了弄清为什么这个过程趋向于一个稳定值， 我们改变一下坐标系统。 在 先求 A 的特征值和特征 这个坐标系统中可以更清楚地看到乘以矩阵 A 的效果，
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向量。 通过前面的学习，我们可以求出矩阵 A 的特征值为： λ1 = 0.92, λ2 = 1 。与 特征值对应的特征向量为：
成活的小鱼数 1.22 × 10 11 = 鱼卵数 1.22 × 10 11 + 鱼卵数
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人口迁徙模型-1 由卵孵化成活的小 到了次年的一月成为一龄鱼.各年龄组的鱼的死亡率均为 r = 0.8 ， 当年存活下来的一龄鱼到了次年一月时，将成为二龄鱼。同理，存活下来的二龄鱼和三 龄鱼到了次年一月，分别变为三龄鱼和四龄鱼.而四龄鱼到年底产卵之后便死亡.已知第 一年年初时，各龄鱼的条数： 第一年鱼群数量分布(单位： 10 条) 1 龄鱼 1.2200 2 龄鱼 0.2970 3 龄鱼 0.1010 4 龄鱼 0.0329
⎡ x ⎤ ⎡0.94 0.02⎤ ⎡0.3⎤ ⎡0.2960⎤ .⎢ ⎥ = Ax0 = ⎢ x1 = ⎢ c1 ⎥ = ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0.7040⎦ ⎣ x s1 ⎦ ⎣0.06 0.98⎦ ⎣0.7 ⎦
从初始时间到 k 年，此关系保持不变，因此上述算式可扩展为：
x k = Ax k −1 = A 2 x k − 2 = L = A k x0 ,
α1 , α 2 ,Lα m ；
4）向量的组合： α = k1α1 + k2α 2 + L + kmα m ( k1 , k2 ,L km 不同时为 0)，即 为特征值 λi 的全部特征向量。 对于差分方程组 X (k ) = A * X (k − 1) = Ak X 0 ，当且仅当矩阵 A 的所有特征 值 λ1 , λ2 ,L λn 满足 λ1 , λ2 ,L λn ≤ 1 时， X (k ) 才是收敛的，即 lim X (k ) = C 。
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马尔可夫过程的特点是 k 时刻的系统状态 x k 完全可由其前一个时刻 的状态 x k −1 所决定，与 k − 1 时刻之前的系统状态无关。
七、相关问题
1、请收集迭代法思想与应用案例，并进行实用案例分析； 2、利用以上原理，试对谱分析理论中的幂法与反幂法进行解释； 3、 某地区有三个重要产业， 一个煤矿、 一个发电厂和一条地方铁路.开采一元钱的煤， 煤矿要支付 0.25 元的电费及 0.25 元的运输费.生产一元钱的电力，发电厂要支付 0.65 元 的煤费，0.05 元的电费及 0.05 元的运输费.创收一元钱的运输费,铁路要支付 0.55 元的煤 费及 0.10 元的电费.在某一周内，煤矿接到外地金额为 50000 元的定货，发电厂接到外地 金额为 25000 元的定货，外界对地方铁路没有需求.问三个企业在这一周内总产值多少才 能满足自身及外界的需求？ 4、实验设计：地中海鲨鱼问题 意大利生物学家 D’Ancona 曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究。 从第一次世界大 战期间地中海各港口捕获的几种鱼类捕获百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增 加（见下表） ，而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降。显然战争使捕鱼量下降，食用 鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 年代 百分比 1914 11.9 1915 21.4 1916 22.1 1917 21.2 1918 36.4 1919 27.3 1920 16.0 1921 15.9 1922 14.8 1923 19.7
二、问题假设 上述问题的解决很复杂，我们可以从慢慢的，逐步细化这些问题。 首先考虑一个封闭种群下的数量增长问题。 使种群内数量和结构变化的因素不外乎出生、死亡和迁移。 由于生育率在很大程度上决定于雌性，为方便起见可以先预测雌性的数 量， 然后通过性别比函数即可得到种群的总数； 所以我们预测刚出生的雄雌性 别比和总体性别比。由于中国人口基数大，迁入迁出比率很小，不考虑移民问 题。 因此前面我们曾经介绍莱塞利模型， 并利用此模型对中国人口的迁徙问题 进行初步计算。 又由于一般综合性种群的基数比较大，我们暂时还不考虑迁入迁出问题， 并根据以下假设来进行基本处理，并给出本节的主要内容： 假设在一个大城市中的总人口是固定的， 人口的分布则因居民在市区和郊 区之间迁徙而变化。每年有 6%的市民居民搬到郊区去住，而有 2%的郊区居 民搬到市区。假如开始时有 30%的居民住在市区，70%的居民住在郊区，问十 年后市区和郊区的居民人口比例是多少？30 年，50 年后又是如何？当经过足 够长时间后， 城市和郊区的人口比例会收敛吗， 如果收敛， 其极限值又是多少？
k →+∞
其原理为，对于矩阵 A，可以找到可逆矩阵 P ,使得：
⎛ λ1 L 0 ⎞ ⎜ ⎟ P AP = ⎜ M O M ⎟ ⎜0 L λ ⎟ n ⎠ ⎝
−1
于是可得：
⎛ λ1 L 0 ⎞ ⎜ ⎟ A = P ⎜ M O M ⎟ P −1 ⎜0 L λ ⎟ n ⎠ ⎝
⎛ λ1k ⎜ Ak = P ⎜ M ⎜ 0 ⎝
初始向量 x0 可以写成这两个基向量 u1 和 u 2 的线性组合；
⎡− 1⎤ ⎡1⎤ ⎡0.30⎤ x0 = ⎢ = 0.25 ⋅ ⎢ ⎥ − 0.05⎢ ⎥ = 0.25u 2 − 0.05u1 ⎥ ⎣1⎦ ⎣3⎦ ⎣0.70⎦
因此：

x k = A k x0 = 0.25u 2 − 0.05(0.92) k u1