高等数学下：8.1.3正项级数的性质及其敛散性判别法

收敛 发散
重要参考级数: 几何级数, p-级数(特别:调和级数)
例4. 证明级数
1 是发散的.
n1 n(n 1)
证明:
1 1, n(n 1) n 1
而级数
1 发散,
n1 n 1
级数
1 发散.
n1 n(n 1)
比较审敛法的极限形式:
设 un 与 vn 都是正项级数,如果
n1
n1
lim un n vn
0 (n )
,
该级数收敛.
例7.
判别级数
1
n1 2
1 n的敛散性。 n
n
解： lim
1
1
n
lim
1
1
1
1
n 2 n n 2 n 2
由 根 值 判 别 法 ： 正 项 级数
1
1
n
收
敛
。
n1 2 n
例8. 判别级数
n
3
1 n 2
的
敛
散
性
。
n1 n 1
1 n2
解：lim n 3 n lim1
e-1 e1/ 2 e1/ 6 e-1/ 3 1
由 根 值 判 别 法 ： 原 级 数收 敛 。
例13.
判
别
级数
n1
nn (2n
bn 1)n
的敛散性。
分析：先拆成两部分，再用根值判别法。
解：
设un
( n )n 2n 1
( b )n 2n 1
n
lim (
n )n lim
n
1
1, (
(n 1)n1(2n 2)! (n!)2 (n 1)!
lim
n
((n
1)!)2
(n
2)!
nn (2n)!
2(2n 1)(n 1)n
lim
n
(n 2)nn
2(2n 1)
lim
(1
n (n 2)
1 )n n
4e 1
由 比 值 判 别 法 ： 该 正 项级 数 发 散 。
例11. 判别级数
解：
n
n
1
e ln n
n1ຫໍສະໝຸດ ln nen1
~
ln n
n
1
1
1
un n2 (n n 1) ~ n2 ln n n ln n
n
已知
1 发散，
n2 n ln n
由 比 较 判 别 法 的 极 限 形式 ： 原 级 数 发 散 。
例15.
判别级数
e n1 x dx的敛散性。
n
n1
分析：考虑用比较判别法。
例2.讨论级数
n1
2
（ 3n
1）n 2
的敛散性。
解：令un
2 （ 1）n 3n 2
, 则un
0
un
2 （ 1）n 3n 2
3 3n 2
3 3n
1， 3 n1
而
1 收敛，
3 n1
n1
级数
2 （ 1）n 收敛。
n1 3n 2
例3.讨论 p-级数
1
1 2p
1 3p
1 4p
1 np
的收敛性.(
解 ： 0 e n1 x dx e n , n
e n lim n 1
lim n2 e n n
x4
lim
x
e
x
0
n2
已知
1 收敛，故
n2
n1
由比较判别法的极限形式： e n收敛。 n1
再由比较判别法：原级数收敛。
思考题
设正项级数 un 收敛, 能否推得 un2 收敛?
n2
即 f (n)收敛。 n1
若
f ( x)dx 发 散 ， 则lim
n
f ( x)dx
1
n 1
从而 f (n) 发散。 n1
例9. 判断级数
n2
1 n ln p
n
(
p
0)
的敛散性。
解：
1 ( p 0) 与
n2 n ln p n
2
1 x ln p
x
dx
有相同的敛散性。
p 1 时， 1 dx ln(ln x) ，发散
1
np
n dx x n1 p
y
sn
1
1 2p
1 3p
1 np
y
1 xp
(
p
1)
1
2 1
dx xp
n dx x n1 p
o 1 234
x
1
n dx 1 xp
1
1 (1 p1
1 n p1
)
1
1 p1
即sn有界, 则 p 级数收敛.
结论：
p
级数
n1
1 np
当p 当p
1时, 1时,
2 n1
的敛散性。
n1 n(33 n 2)(44 n 3)
分析：含n的幂的有理式，考虑比较法。
解：
设un
n(33
2 n
n 1 2)(44
n
3)
2 1
111 n2 3 4 (3
n 2 )(4
1
3
~ )
13
6n12
3n
4n
1 收敛，
n13 / 12
n1
由 比 较 判 别 法 的 极 限 形式 ： 原 级 数 收 敛 。
当n N时, un1 run un ,
lim
n
un
0.
故原级数发散
比值审敛法的优点: 不必找参考级数.
两点注意:
1.当 1时比值审敛法失效;
例
级数
1 发散,
n1 n
级数
n1
1 n2
收敛,
(
1)
2.条件是充分的,而非必要.
例
un
2 (1)n 2n
3 2n
vn ,
级数 un
n1
2 (1)n
un1 un
(n 1)! 1
1
n1
0
(n ),
n!
故级数 1 收敛.
n1 n!
例6. 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(2)
un1 un
(n 1)! 10n1
10n n!
n 1 (n ), 10
2
n1 2(1n)
2 n e2 1
n n 1
n n 1
由 根 值 判 别 法 ： 正 项 级数
n
3
1 n 2
收
敛
。
n1 n 1
E.积分判别法
定理：设 un 是正项级数,如果存在定义在[1，+ ）
n1
上的单调减少的连续函数 f ( x) 使 f (n) un ，则级数
un 与广义积分 1 f ( x)dx 具有相同的敛散性。
l
0
(或lim n
nun
),
则级数 un 发散;
n1
如果有 p 1,
使得lim n
n
p
un
存在,
则级数 un 收敛.
n1
例5. 判定下列级数的敛散性:
1
(1) sin ; n1 n
1
(2)
n1
3n
n 1
;
解
(1)
lim
n
n
sin
1 n
lim
n
sin 1
n
1,
原级数发散.
1
n
(2)
lim
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
3.按基本性质;
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
8.积分法
F.几点注意 ❖ 大前提：正项级数； ❖ 通项含连乘、阶乘、指数、幂指因式，
考虑比值法； ❖ 通项含指数、幂指因式，但不含阶乘，
p
0)
y
解: 设 p 1,
1
n1 1 dx
n nx
y 1 x
sn
1
1 2
1 3
1 n
o 1 234
x
2 dx
3 dx
n
dx
n1 dx
1x 2x
n1 x n x
ln(n 1) (n ) sn无界,
所以，调和级数发散。
设 p 1,
1 np
1, n
则p 级数发散.
设 p 1,
（ 3n
1）n 2
的敛散性。
解：令uk
2 （ 1）k 3k 2
, 则uk
0
Sn
n 2 （ 1）k k1 3k 2
n k 1
3k
3
2
n3 3k
k 1
n1 3k 1
k 1
1
1 3n
1 1
3 2
1
1 3n
3 2
3
级数
n1
2
（ 3n
1）n 2
收敛。
B.比较审敛法
定理 设 un和vn均为正项级数，
2 x ln x
2
p 1 时，
1
1
2 x ln p x dx (1 p) ln p1 x
，
2
当 p 1时，以上广义积分发散；
当 p 1时，以上广义积分收敛。
级数
1
n2 n ln p
当0 n
p 1 时发散；当
p 1 收敛。
小结 正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
考虑根值法； ❖ 通项为n的幂的有理式， 考虑比较法，
与p级数比较; ❖ 综合应用以上判别法和级数性质。
例10.
判别级
数
n1
(
nn (2n)! 的 n!)2 (n 1)!
敛
散性。
分析：含阶乘连乘因子，考虑比值法。
解：
设un
nn(2n)! ，则 (n!)2 (n 1)!
lim un1 n un
l,
则(1) 当 0 l 时,两级数有相同的敛散性;
(2) 当 l 0时，若 vn 收敛,则 un 收敛;
n1
n1
(3) 当 l 时, 若 vn 发散,则 un 发散;
n1
n1
证明 (1)由lim un l v n
n
对于 l 0,
2
N , 当n N时, l l un l l
n )n收敛；
n 2n 1 n 2n 1 2
n1 2n 1
n
lim (
b
)n lim
b
0 1, (
b
)n收 敛 。
n 2n 1 n 2n 1
n1 2n 1
由收敛级数的运算性质：原级数收敛。
例14. 判别级数
1 的敛散性。
n2 n2 (n n 1)
分析：考虑用比较判别法的极限形式。
n1
证明：由 f (k 1) k1 f ( x)dx f (k)，得 k
n
n
n1
f (k ) f ( x)dx f (k )
1
k2
k 1
若 f ( x)dx收敛，则 lim n f ( x)dx是有限数，
1
n 1
n
从而 f (k ) 有界，则正项级数 f (n)收敛，
k2
即
l 2 vn
un
3l 2
vn
2 vn (n N )
2
由比较审敛法的推论, 得证.
(2) 取 1, 存在N，当n N时，un vn (3) 因为 lim vn 0,
u n n
取 1, 存在N，当n N时，vn un
比较审敛法极限的应用
设 un 为正项级数,
n1
如果
lim
n
nun
n1
n1
且un vn (n 1, 2,),若 vn 收敛,则 un 收敛；
n1
n1
反之，若 un 发散，则 vn 发散.
n1
n1
证明 (1) 设 vn un vn ,
n1
且 sn u1 u2 un v1 v2 vn n ,
即部分和数列有界
un收敛.
n1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
n1
2n
收敛,
但
un1 un
2 (1)n1 2(2 (1)n )
an ,
lim
n
a2
n
1, 6
lim
n
a2
n1
3, 2
lim n
un1 un
lim
n
an
不存在.
例 6 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ; 1
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解
(1)
故级数
n! n1 10n
发散.
例6. 判别下列级数的收敛性:
1
(1)
;
n1 n!
n!
(2) n1 10n ;
1
(3)
.
n1 (2n 1) 2n
解 (3) lim un1 lim (2n 1) 2n 1, n un n (2n 1) (2n 2)
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
则 n sn , 不是有界数列
vn发散.
证毕.
n1
推论:（1）若正项级数 un 收敛， 且
n1
0 vn kun (n N ), 则 vn 收敛.
n1
推论:（2）若正项级数 un 发散， 且
n1
kun vn (n N ), 则 vn 发散.
n1
比较审敛法的不便: 须有参考级数.
(2n
1 1)
2n
1 n2
,
级数
n1
1 n2
收敛,
故级数
n1
2n
1 (2n
1)
收敛.
D. 根值判别法（柯西判别法）
定理：设
n1
un
是正项级数,如果lim n
n
un
(为数或 ), 则 1时级数收敛;
1时级数发散; 1时失效.
例如, 设级数 1 ,
nn
n1
n
un
n
1 nn
1 n
即 un1 (n N )
un
当 1时, 取 1 , 使r 1,
uN 2 ruN 1 , uN 3 ruN 2 r 2uN 1 , ,
uN m r m1uN 1,
而级数 r m1uN 1收敛,
m1
uNm un收敛,
故原级数收敛
m1
n N 1
当 1时, 取 1, 使r 1,
n
3n
1
n
3n
lim 1
n
1
n 3n
1,
n1
31n收敛,
故原级数收敛.
C.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)
定理
设 un
n1
是正项级数,如果lim un1 n un