2019-2020学年新人教A版必修一 三角函数的图像与性质 教案

2019-2020学年新人教A 版必修一 三角函数的图像与性质 教案
题型一：三角函数的单调性与值域
【例1】 函数1()tan 44
y x x ππ
=
-<<的值域是（ ） A [1,1]- B (,1)(1,)-∞-+∞ C (,1]-∞
D [1,)-+∞
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例2】 利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）tan(138)-与tan125；（2）12tan()5π与16tan()3
π-。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】（1）因为tan(138)0->，而tan1250<，故tan(138)tan125->。

（2）1222tan
tan(2)tan 555
πππ
π=+=， 1622tan()tan(6)tan 333ππππ-
=-+=， ∵2tan 05π>，2tan 03π<， ∴1216tan
tan()53
ππ>-
【例3】 函数cos(sin )y x =的值域为_______
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】填空
【关键词】2018年，辽宁，高考
【解析】
sin t x =的值域为[1,1]-，而cos y t =在[1,1]-上先增后减，最大值在0t =处取到，故结合cos y t =的图象知cos(sin )y x =的值域为[cos1,1]
【答案】[cos1,1]
【例4】 若函数cos y a b x =-的最大值是
32，最小值是1
2
-，求函数4sin y a bx =-的最大值与最小值及周期。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】∵1cos 1x -≤≤，当0b >时，cos b b x b -≤≤，
∴cos a b a b x a b -≤-≤+，∴ 1.50.5a b a b +=⎧⎨-=-⎩，解得0.5
1a b =⎧⎨=⎩，
∴2sin y x =-，同理可得当0b <时， 1.50.5a b a b -=⎧⎨+=-⎩，此时0.5
1a b =⎧⎨=-⎩
，
∴2sin()2sin y x x =--=，
从而，2sin y x =±，此函数的最大值是2，最小值是2-，周期是2π。

点评：本题须对b 进行讨论，若不讨论只能得前一个解，容易发生少解的情况。

【例5】 函数12sin y x =-的值域是（ ）。

A [2,1]- B [1,3]-
C [0,1]
D [2,2]-
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例6】 下列说法①sin1sin 2<②sin 2cos 2<③sin 4cos 4<④1913sin
cos()1010
ππ
<-，其中正确的是（ ）
A ①②
B ①③
C ②③
D ③④
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例7】 根据正弦函数的图像得使不等式2sin 0,R x x +≤∈成立的x 的取值集合为
（ ）
A 3[,]44
ππ
--
B 3[,]44
ππ
C 3[2,2]44k k ππππ-
+-+ D 3[2,2]44
k k ππππ++ 【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】C
【例8】 比较大小：sin 510___________sin142；cos750___________cos(760)-。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
【答案】,>>；
【例9】 函数3sin(
3),[,]622
y x x π
ππ
=-∈-的单调递增区间是_________。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
【答案】2[,]99
ππ
-
【例10】 利用图像解不等式tan()6
x π
+
≤。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】利用图像知，,2
6
3
k x k k π
π
π
ππ-
+<+
≤
+∈Z ，
解得2,36
k x k k ππ
ππ-
+<≤+∈Z ， 从而原不等式的解集是：2{|,}36
x k x k k ππ
ππ-+<≤+∈Z }。

【例11】 比较tan 3与tan8的大小。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】∵tan8tan(82)π=-，而
8232
π
ππ<-<<，
又函数tan y x =在(,)2
π
π上是增函数。

∴tan 3tan(82)π>-，即tan 3tan8>。

点评：将弧度制3与8化成同一单调区间内的正切函数，然后利用正切函数的单调性比较大小。

【例12】 已知()sin (0)363f x x f f ωωπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+>= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，
无最大值，则ω＝__________.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】4星 【题型】填空
【关键词】2018年，辽宁，高考
【解析】 由63ππf f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在区间63ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
，有最小值，无最大值，
有63ππ,⎛⎫
⎪⎝⎭
在同一个周期内，因此有4πx =为此函数的一条对称轴
∴2(Z)432
πππ
πk k ω+=-∈， ∴108(Z)3k k ω=-∈，又∵()f x 在63ππ,⎛⎫
⎪⎝⎭
有最小值，无最大值
∴()f x 的周期要取最大，ω要取最小，∴当1k =时，14
3
ω=
【答案】14
3
【例13】 函数sin
3
π
y x =在区间[0]t ，上恰好取得最大值，则实数t 的取值范围是 .
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2018年江苏盐城
【解析】∵( 1.5)( 1.53)(1.5)f f f -=-+=，∴( 1.5)(1.5)f f -=-
∴(1.5)0f =，从而有(4.5)0f =，∴()0f x =在(06),内至少还有两个根1.5和4.5 此题为高考题中的一道有问题的题目.
【答案】152722⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，
【例14】 设函数()2sin()25
ππ
f x x =+,若对任意R x ∈,都有12()()()f x f x f x ≤≤成立,则
12x x -的最小值( )
A.4
B.2
C.1
D.1
2
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 ∵对任意R x ∈都满足12()()()f x f x f x ≤≤，
∴11(()),x f x 为最小值点，22(()),x f x 为最大值点， 又()f x 的最小正周期4T =，12min 22
T
x x -=
= 【答案】B
【例15】 求下列不等式x 的取值范围.
⑴2sin 10x +≥；
⑵2cos(3)106
π
x +-≤.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】⑴原不等式的解集为722Z 66ππππ,x k x k k ⎧⎫
-+
∈⎨⎬⎩⎭
≤≤；
⑵原不等式的解集为22Z 36318ππππ,k k x
x k ⎧⎫
-<<+∈⎨⎬⎩⎭
.
【例16】 设1
(0)2
x ∈-，，1cos(sin )πa x =，23sin(cos cos π),π(1)a x a x ==+,比较123a a a ，，的
大小.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】设t ＝-x ，则1
(0)2
t ∈，，且有：
1cos[sin()]cos(sin )a t t ππ=-=， 2cos[cos()]sin(cos )a t t ππ=-=， 3cos )π(1a t =-.
∵111(1)2t t -=+∈，，)(π
π(1π)2
t -∈，， ∴3cos π(1)0a t =-<；
又sin cos )4t t t ππππ+=
+2
π
<，
∴0cos sin ππ
ππ22
t t <<-<.
根据正弦函数在(0)π
2，上是增函数，
可知0sin(cos sin π
π)sin(π)2t t <<-cos =(sin π)t ，即21a a <.
∴321a a a <<.
【例17】 求使1cos 1a
x a
+=
-有意义的a 的取值范围. 【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】要使1cos 1a x a +=-有意义，必有11110a
a a ⎧+⎪
-⎨⎪-≠⎩
≤①②
由①得111111a
a
a a +⎧≤⎪⎪-⎨
+⎪≥-⎪-⎩
③
④
由③得 a ≤0，或a ≥1 ⑤ 由④得 a ≤1 ⑥
由于a 必须同时满足②，⑤，⑥，故a ≤0. ∴当a ≤0时，原式有意义.
【例18】 求函数22sec tan sec tan x x
y x x
-=+的值域.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 由于tan R x ∈，故此类问题与22()R ax bx c
y x a x b x c ++=∈'''
++一类问题相同，
可去分母，移项，然后利用Δ≥0解之.
【答案】由2
2
sec tan 1x x =+知原函数可变形为22tan tan 1
tan tan 1
x x y x x -+=++，
去分母，移项整理得2(1)tan (1)tan (1)0y x y x y -+++-=. （1）若y ＝1，则tan 0x =；
（2）若1y ≠，则tan R x ∈，得22(1)4(1)0y y ∆=+--≥，从而有1
33
y ≤≤，
且1x ≠.
综合（1），（2），可知函数的值域是1|33y y ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
≤≤.
【例19】 求函数2sin 1
2sin 1
x y x +=
-的值域.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 注意本题值域的求法，是把sin x 看成函数，把y 看成自变量.实际是利用原函数
的定义域来求值域.巧妙的利用了三角函数的性质.
【答案】由已知得：1
sin 22
y x y +=
-. 由|sin |1x ≤，知1
|
|122y y +-≤，且1y ≠，解得13
y ≤或3y ≥.
∴函数的值域是1|3y y ⎧
⎨⎩≤或3y ⎫⎬⎭
≥.
【例20】 函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值_____________________.
【考点】三角函数的单调性与值域【难度】1星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 由最大值为max 13y a =+=，则2a =
∴min 11y a =-+=-
【答案】1-
【例21】 设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图像的一条对称轴是直线8
x π
=
，
（1）求ϕ；（2）求函数()y f x =的单调增区间。

【考点】三角函数的单调性与值域【难度】4星 【题型】解答
【关键词】2018年，全国卷Ⅰ，高考
【解析】 略
【答案】（1）∵8
x π
=
是函数()y f x =的图像的对称轴，
∴sin(2)18
π
ϕ⨯
+=±，∴
,4
2
k k π
π
ϕπ+=+
∈Z
∵0πϕ-<<，故34
πϕ=-。

（2）由（1）知34πϕ=-
，因此3sin(2)4
y x π
=-
，由题意得3222,242
k x k k π
ππ
ππ-≤--≤+∈Z 。

所以此函数的单调递增区间为5[,],8
8
k k k π
π
ππ+
+
∈Z 。

题型二：三角函数的周期与对称
【例22】 求下列三角函数的周期：（1）sin()3y x π
=+
；（2）3sin()25
x y π
=+。

【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】方法一：（1）3z x π
=+
，而sin(2)sin z z π+=，即[(2)]()33
f x f x ππ
π++=+，所以周期2T π=。

（2）令25
x z π
=
+，则 ()3sin 3sin(2)3sin(2)25x f x z z π
ππ==+=++
43sin(
)(4)25
x f x ππ
π+=+=+ 所以周期4T π=。

方法二：直接利用求周期公式：2||T πω=。

（1）221
T ππ==；（2） 2412
T π
π==。

【例23】 函数2sin(4)3y x π
=-的最小正周期是（ ）。

A π
B 2π C
2
π
D 4π
【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】C
【例24】 函数5sin(2)2
y x π
=+图像的一条对称轴方程是（ ） A 4
x π
=-
B 2
x π
=-
C 8
x π
=
D 54
x π=
【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例25】 如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图象关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，0中心对称，那么ϕ的最小值为
（ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
2
π 【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】选择
【关键词】2009年，全国I ，高考
【解析】 由于()3cos 2y x ϕ=+的对称中心为22
π
πx k ϕ+=+
， ∵图象关于点43π⎛⎫
⎪⎝⎭
，
0中心对称，∴6ππk ϕ=-，Z k ∈，∴ϕ最小值为6π． 【答案】A
【例26】 函数()sin()(00),f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如下图所示，则
(1)(2)(3)f f f +++…(11)f =
【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 由图象易得()f x 的最小正周期8T =，2A =，(2)2f =，(6)2f
=-，
(3)(1)f f =
=
(5)(7)f f ==，(4)(8)0f f
== (1)(2)(11)2f f f ++⋅⋅⋅+=
+
【答案】2+
【例27】 函数tan()(0)4
y ax a π
=+
≠的最小正周期为（ ）。

A 2a π
B 2||a π
C ||a π
D a
π
【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【答案】C
【例28】 下列函数中，不是奇函数的是（ ） A sin tan y x x =+ B tan 1y x x =- C sin tan 1cos x x y x -=
+ D tan lg 1tan x
y x
-=+
【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例29】 若函数2tan(2)(0)6
y ax a π
=+
≠的最小正周期是3，则a =___________。

【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
【答案】6
π
±
【例30】 求函数tan(3)4
y x π
=-的周期和单调区间。

【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】函数的周期3T ππω=
=；由3,242
k x k k πππ
ππ-+<-<+∈Z 得,12
3
4
3
k k x k ππππ-+<<+∈Z
【例31】 求函数1cos sin (1tan )sin x
y x x
x
-=+的最小正周期。

【考点】三角函数的周期与对称【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【答案】sin 1cos 1
sin (1)sin tan cos sin cos x x y x x x x x x
-=+
⋅=⋅=，所以函数的周期T π=
【例32】 已知函数15
()sin(2)264
f x x π=++，
（1）求()f x 的最小正周期及单调区间； （2）求()f x 的图像的对称轴和对称中心。

【考点】三角函数的周期与对称【难度】2星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】（1）T π=，由222,2
6
2
k x k k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
∈Z ，
得,3
6
k x k k π
π
ππ-
≤≤+∈Z
由3222,2
6
2k x k k π
π
πππ+
≤+
≤+
∈Z ，得2,63
k x k k ππ
ππ+≤≤+∈Z ∴单调递增区间为[,],()36
k k k π
π
ππ-+∈Z ， 单调递减区间为2[,],()6
3
k k k π
π
ππ++
∈Z （2）令2,6
2
x k k π
π
π+
=+
∈Z ，则,26
k x k ππ
=
+∈Z ，所以对称轴为,26
k x k ππ
=
+∈Z ； 令2,6
x k k π
π+
=∈Z ，则,212k x k ππ=
-∈Z ，所以对称中心为5(,)()2124
k k ππ-∈Z
【例33】 已知函数()2sin 26πf x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，R x ∈，若有10个互不相等的正数i x 满足
()2i f x =，且10πi x <(12310),,,i =⋅⋅⋅，求1210x x x ++⋅⋅⋅+的值
【考点】三角函数的周期与对称【难度】4星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】∵()2i f x =，∴2262πππi x k +
=+，6
π
π+i x k =(Z)k ∈ 又010πi x <<，∴019,,k =⋅⋅⋅，
∴1210140
(129)1063
πππx x x ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++⨯
=
【例34】 设函数()f x 的图象与直线x a =，x b =及x 轴围成图形的面积称为函数()f x 在
[],a b 上的面积，已知函数sin y nx =在0π,n ⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上的面积为2n (N )n *∈，
⑴sin 3y x =在203π,⎡
⎤⎢⎥⎣⎦
上的面积为 ；
⑵sin(3)1πy x =-+在433ππ,⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的面积为 ． 【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】填空
【关键词】2018年，湖南，高考
【解析】 令3n =，则sin 3y x =在03π,⎡
⎤⎢⎥⎣
⎦上的面积为23
又∵sin 3y x =在03π,⎡
⎤⎢⎥⎣⎦和233ππ,⎡⎤⎢⎥⎣⎦上面积相等 ∴sin 3y x =在203π,⎡
⎤⎢⎥⎣⎦上的面积：
24233⨯= ⑵如图所示为sin(3)1πy x =-+上的图象， 其面积为：(其中3S 为阴影部分面积
123433222
2333
S S S S S S ++-=⨯-+=+
∴34133πππS ⎛⎫
=⨯-=
⎪⎝⎭，∴所求面积为23π+
【例35】 设()f x 是定义在R 上且最小正周期为
3π
2
的函数，在某一周期内，cos 2,0,
()sin ,
0,π2
πx x f x x x ⎧
-<⎪=⎨⎪<⎩≤≤ 则154πf ⎛⎫- ⎪⎝⎭
= .
【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
.
【例36】 定义在R 上的函数()f x 既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，
且当[0]2π,
x ∈时，()sin f x x =，则5()3
π
f 的值为（ ）
A . 12- B
C .
D .12
【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例37】 函数()cos(3)R f x x x ϕ=+∈，的图象关于原点中心对称，则ϕ=（ ）
Ａ.
3
π
Ｂ.2
π
πk +
，Z k ∈ Ｃ.Z πk k ∈，
Ｄ.2Z 2
π
πk k -∈，
【考点】三角函数的周期与对称【难度】1星
【题型】选择
【关键词】无
【解析】 ∵函数图象关于原点中心对称，且R x ∈，
∴函数图象过原点，即(0)0f =.
∴cos 0ϕ=，即Z 2
π
πk k ϕ=+∈，.
【答案】Ｂ.
【例38】 已知集合M 是满足下列性质的函数()f x 的全体：存在非零常数T ，对任意
R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立.
⑴函数()f x x =是否属于集合M .说明理由.
⑵设函数()x f x a =(0a >且1a ≠)的图象与y x =的图象有公共点，证明
()x f x a M =∈
⑶若函数()sin f x kx M =∈，求实数k 的取值范围.
【考点】三角函数的周期与对称【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】⑴对于非零常数T ，()f x T x T +=+，()Tf x Tx =，∴函数()f x x =属于集合M
⑵因为函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象与函数y x =的图象有公共点，
所以方程组x
y a y x
⎧=⎨=⎩有解，消去y 得x a x =，
显然0x =不是方程x a x =的解，所以存在非零常数T ，使得T a T = 于是对于()x f x a =，有()()x T T x x f x T a a a T a Tf x ++==⋅=⋅= 故()x f x a M =∈
⑶当0k =时，()0f x =，显然()0f x M =∈
当0k ≠时，因为()sin f x kx M =∈，所以存在非零常数T ，对任意R x ∈，有()()f x T Tf x +=成立，即sin()sin kx kT T kx +=
因为0k ≠，且R x ∈，所以R kx ∈，R kx kT +∈， 于是sin [11],kx ∈-，sin()[11],kx kT +∈- 故要使sin()sin kx kT T kx +=成立，只有1T =±
当1T =时，sin()sin kx k kx +=成立，则2πk m =，Z m ∈ 当1T =-时，sin()sin kx k kx -=-成立， 即sin()sin πkx k kx -+=成立
则2ππk m -+=，Z m ∈，即(21)πk m =--，Z m ∈ 综合得，实数k 的取值范围是{}Z π,k k m m =∈
【例39】 若函数()2cos(2)f x x ϕ=+对任意实数x 都有(
)(
)6
6
f x f x π
π
-=+．
（１） 求()6f π
的值；
（２） 求ϕ的最小正值；
（３） 当ϕ取最小正值时，求()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值．
【关键词】无
【解析】 略 【答案】（１）由(
)(
)6
6
f x f x π
π
-=+可知6
x π
=
是()f x 图象的一条对称轴
()226f π
∴=-或
（２）由2cos()2,3
3
k π
π
ϕϕπ+=±+=得
,.3
k k Z π
ϕπϕ=-
∈∴即
的最小正值为
23
π （3）由（２）知2()2cos(2)3f x x π=+，当66
x ππ-≤≤， 即
223
3x π
ππ≤+
≤时，21
2)32
x π+-1cos(≤≤， 所以()f x ,66ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为１，最小值为－２
【例40】 求20082007()(sin )(cos )f x x x =+的最小正周期
【考点】三角函数的周期与对称【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无.
【解析】 略
【答案】()()20082007cos sin 2πf x x x ⎛⎫
-=+ ⎪⎝⎭
，
易知20071()(sin )f x x =为奇函数，且11()()f x T f x +=⇔sin()sin x T x +=， 所以1()f x 与sin x 周期相同，均为12πT =，
20082()(cos )f x x =为偶函数，且22()()f x T f x +=cos()cos x T x ⇔+=，
∴2()f x 与cos x 周期相同，它们的最小正周期均为2πT =，
故2πf x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的最小正周期为1T ，2T 的最小公倍数2π，
又()f x 与2πf x ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的最小正周期相同，故()f x 的最小正周期为2π
【例41】 设()sin (0)5
3πk
f x x k ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭
⑴求当3k =时，函数图象的对称轴方程和对称中心坐标．
⑵求最小正整数k ，使得当自变量在任意两个整数间（包括整数本身）变化时，函数至少取得一次最大值M 和最小值m ．
【关键词】无
【解析】 略
【答案】函数图象在一个周期区间内有且只有一个最高点和一个最低点，所以，由题意，
知任意两个整数区间都包含着函数的一个完整周期，所以1T ≤
⑴3k =时，3()sin()53πy f x x ==+，由353x n ππ+=得55
39ππn x =-(Z)n ∈，
所以函数图象的对称中心为55039ππ,n ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
(Z)n ∈
由3532πππx n +=+，得55
(Z)318
ππx n n =+∈ 所以函数图象的对称轴方程为55
Z 318
ππ()x n n =+∈
⑵由题意，知1T ≤，又2105
ππ
T k k =
=
，∴10πk ≈31.4≥ 故最小正整数32k =
【例42】 求
函数()f x =的最小正周期
【考点】三角函数的周期与对称【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】对于任意(0)T ≠
=⇔33
sin ()sin 22
x T x +=
=⇔22cos ()cos 33x T x +=
故奇函数1()f x =124332
ππT ==
偶函数2()f x =2223π
T =3π= 故()f x 的最小正周期是1T 和2T 的最小公倍数12π
三角函数的平移伸缩变换
题型三：三角函数的平移伸缩变换
【例43】 将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行称动
π
10
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
A ．πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
B ．πsin 25y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
C ．1πsin 210y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
D ．1
πsin 2
10y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2018年，四川，高考
【解析】 函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
π
10
个单位长度得到πsin 10y x ⎛
⎫=- ⎪⎝⎭，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得
到1
πsin 2
10y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．
【答案】C ；
【例44】 要得到函数y x =的图象，只需将函数)4
y x π
=+
的图象上所有的
点的（ ）
A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π
个单位长度
B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4
π
个单位长度
C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π
个单位长度
D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8
π
个单位长度
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2018年，天津，高考
【解析】 函数)4y x π
=+
可以变形为cos(2)cos(2)244
y x x πππ
=--=-，亦即
)4y x π=-，此时要得到y x =的图像可以将)4
y x π
=-的图像横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到
1
))244y x x ππ⋅-=-；然后再向左平移4
π
个单位长度，得到
)44
y x x π
π
=+
-=，故选C 。

【答案】C
【例45】 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2
π
ϕ<
）的图象在y 轴上的截距
为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,2x 和
()03,2x π+-．
（1）求()f x 的解析式；
（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
3
，（纵坐标不变），然后
再将所得图象沿x 轴正方向平移3
π
个单位，得到函数()y g x =的图象．写出函
数()y g x =的解析式并用“五点法”画出()y g x =在长度为一个周期的闭区间上的图象．
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】4星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】（1）由已知易得2A =，
()0032T x x π=+-3π=，∴6T π=∴1
3
ω=． 把（0，1）代入解析式2sin 3x y φ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
，得：2sin 1φ=．
又φ<
2
π
，解得6
π
φ=
．
∴2sin 36x y π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
为所求．
（2）压缩后的函数解析式为2sin y =(6x π
+)，再平移得()2sin 6g x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭．
列表、画图略．
【例46】 画出函数3sin(2),3
y x x R π
=+
∈的简图，并说明此函数图形怎样由sin y x =的图
像变化而来。

【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】由五点法，列表：
描点画图如下：
g (x
这种曲线也可由图像变换得到：即sin y x = 3
sin sin()3
y x y x π
π
=−−−−−→=+
左移个单位
12
sin(2)3
y x π
−−−−−→=+横坐标不变纵坐标缩小倍
33sin(2)3
y x π
−−−−−→=+纵坐标扩大倍横坐标不变
【例47】 把函数sin(2)4
y x π
=+
的图像向左平移
8
π
个单位长度，再将横坐标压缩到原来的
1
2
，所得函数的解析式为（ ）。

A sin 4y x = B cos 4y x = C sin(4)8
y x π
=+
D sin(4)32
y x π
=+
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例48】 要得到cos(2)4
y x π
=-的图像，只需将sin 2y x =的图像（ ）
A 向左平移8
π
个单位 B 向右平移8
π
个单位 C 向左平移
4
π
个单位
D 向右平移
4
π
个单位
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】A
【例49】 把函数4cos()3
y x π
=+
的图像向右平移φ个单位，
所得到的图像正好关于y 轴对称，则φ的最小正值是___________。

【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】3星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
；
【例50】 已知函数()sin 4πf x x ω⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
()R 0x ω∈>，的最小正周期为π，为了得到函数
()cos g x x ω=的图象，只要将()y f x =的图象（ ）
A ．向左平移8
π
个单位长度 B ．向右平移8
π
个单位长度 C ．向左平移
4
π
个单位长度
D ．向右平移
4
π
个单位长度 【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2009年，天津，高考
【解析】 函数()sin 24πf x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则()cos 2g x x =，为了得到函数()g x 的图象需要将
()y f x =的图象向左平移
8
π
个单位． 【答案】A
【例51】 设0ω>，函数πsin 23y x ω⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
的图像向右平移4π3个单位后与原图像重合，
则ω的最小值是
A ．
2
3
B ．
43
C ．
32
D ．3
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2018年，辽宁，高考
【解析】 略 【答案】C
【例52】 为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，只需把函数πsin 26y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图像
A ．向左平移π4个长度单位
B ．向右平移π
4
个长度单位
C ．向左平移π2个长度单位
D ．向右平移π
2
个长度单位
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】2星 【题型】选择
【关键词】2018年,全国卷Ⅱ,高考
【解析】 ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，πsin 212y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭．于是只需将后者向右平移
πππ
6124
⎛⎫--= ⎪⎝⎭个单位即可． 【答案】B ；
【例53】 试述如何由1sin 233y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
的图象得到sin y x =的图象。

【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】1sin 233y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭
21sin 33
y x π−−−−−−−−−−→=+横坐标放大为原来的倍
纵坐标不变（）
31sin 3
y x π−−−−−−−−−−→=初象向右平移个单位纵坐标不变
3sin y x −−−−−−−−−−→=纵坐标放大到原来的倍横坐标不变
另法答案：
（1）先将1sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）的图象向右平移6π个单位，得1
sin 23y x =的图象；
（2）再将1
sin 23
y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得
1
sin 3
y x =的图象；
（3）再将1
sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可
得到sin y x =的图象。

【例54】 已知函数()sin (Z)4πf x a x a b ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，，当02πx ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，时，()f x 的最大值为
1-．
⑴求()f x 的解析式；
⑵由()f x 的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数()y g x =的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由．
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】⑴由02πx ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，得3444πππx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，，
∴ sin 14πx ⎤⎛
⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦
，
∴当0b <时，1a a b +=+=-，与Z a b ∈，矛盾，舍去；当0b ≥时，
由1a +=-，Z a b ∈，，得12a b =-=，，∴()14πf x x ⎛
⎫=-++ ⎪⎝
⎭．
⑵能．
先将()f x 的图象向右平移
4
π
个单位，
再向上平移1个单位，即得到奇函数()g x x =的图象．
【例55】 把曲线:2sin 24πC y x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭向右平移(0)a a >个单位，得到的曲线G 关于直线
4
π
x =对称.求a 的最小值.
【考点】三角函数的平移伸缩变换【难度】3星 【题型】解答
【关键词】无
【解析】 略
【答案】1:sin[2()]24
πG y x a =-+
由曲线G 关于直线4πx =对称，因此有1(Z)82ππa k k =-∈，于是min 8
π
a =
题型四：三角函数基本定义
【例56】 函数tan()4
y x π
=+的定义域是（ ）。

A {|,R}4x x x π≠∈
B {|,R}4x x x π
≠-∈
C 3{|,Z}4x x k k ππ≠+∈
D {|,}4
Z x x k k π
π≠+∈ 【考点】三角函数基本定义 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】D
【例57】 函数5tan(6)23
y x π
=+
+的定义域是_________。

【考点】三角函数基本定义 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】无
【解析】 略
【答案】{|,Z}36
6
k x x k π
π
≠
+
∈。

【例58】 下列说法正确的是（ ）
A 正切函数在整个定义域内是增函数
B 正切曲线是被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成
C 若x 是第一象限角，则sin x 是增函数
D 函数2y =y 轴对称
【考点】三角函数基本定义 【难度】2星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B
【例59】 已知函数sin()(0,0)y A x A ωϕϕ=+>>的最大值是2，最小正周期是
25
π
，初相是
4
π
，则这个函数的表达式是（ ）。

A 2sin(5)4y x π
=-
B 2sin(5)4
y x π
=+ C 2sin(5)20
y x π
=-
D 2sin(5)20
y x π
=+
【考点】三角函数基本定义 【难度】1星 【题型】选择
【关键词】无
【解析】 略
【答案】B。