运筹学PPT

特征：
目标取极大（MaxZ) 约束条件取等式（＝） 变量取非负（0），并约定：bi0
缩写形式
n
maxZ c j x j
j 1
n
s.t. j 1 aij x j

bi
(i 1,2,, m)

x
j

0
( j 1,2,, n)
向量形式
maxZ CX
模型的共同特征
1每一问题都可以用一组变量（x1, x2, …, xn ）表示某一方案，一 般
情形下，变量的取值是非负的；
2 约束条件用线性等式或线性不等式表示；
3都有一个目标函数，且这个目标函数可表示为一组变量的线性 函 数； 4要求求出一组或多组方案，使目标函数实现最大化（Max）或 者 最小化（Min）。
可行解：满足LP问题所有约束条件的解 最优解：满足目标函数的可行解
MaxZ CX AX b X 0
基、基变量、非基变量：
X x1 x2 xm xm1 xn
a11 a12 a1m a1m1 a1n
A








am1 am2 amm amm1 amn
1.1 线性规划问题及其数学模型
例1、某工厂生产A、B两种产品，都需使用铜和铝两种金属材 料，有关资料如下表所示。问如何确定A,B产品的产量，使工 厂获取的总利润最大？
原料
A产品单耗 B产品单耗
x x （吨） 1 （吨） 2
原料可用量 （吨）
铜
2
1 ≤ 40
铝
1
3 ≤ 30
单位产品的利润（万元） 3
基本可行解：满足非负约束条件的基本解。 即：xj 0, j 1,2,m
LP问题解集
非 基 本 解
基本解
可行解
不 可 行 解
其交集为基本可行解
1.5 求解线性规划问题的单纯 形法
LP问题的几何意义 单纯形法的经济解释 单纯形法的计算步骤
LP问题的几何意义 基本概念
1、凸集：在某个点集K中任给出两点，若连接这两点的线段上的一 切点也在此点集中。即
收点 发点
甲(i=1) 乙(i=2)
收货量(t)
ab c
54 8 86 2
‖‖ ‖
70 60 50
发货量（t）
= 80 = 100
解：设由发点i到收点j的货运量为xij ，i=1,2; j=1,2,3
x x x x x x Min Z = 5 11+ 4 12 + 8 13 + 8 21 + 6 22 +2 23
0
20
40
60
80 x1
例1.5 某LP问题的可行域如下图：
因约束方程为≤ ，目标为MaxZ： 无解（无界解）
约束方程为≥ ： 无解（无可行解）
max Z x1 x2 2x1 x2 ()4 x1 x2 ()2 x1, x2 0
局限性：仅能求解两个变量的LP问题。
按照大家在初等数学中所学的解线性方程组的方法， 是求解不了这方程组的。因为变量的个数多于方程的 个数。
3x1 x2 4x3 8000 2x1 x2 4x3 3000
令x3=0，则
3x1 x2 8000
2x1

x 2

3000
x1 5000 x2 -7000
价值向量
变量向量 系数列向量
资源向量
矩阵形式
maxZ CX AX b
s.t.X 0
其中
a11 a12 a1n
A


a21
a22

a2n


(P1,
P2n
为系数矩阵。
非标准模型转换
目标函数转换
4
利润Z=3x1 + 4x2
决策变量
解：设A、B两种产品的产量分别为x1、x2，
数学模型
则使工厂获取的总利润最大的数学模型如下：
Max Z=3x1 + 4x2
2x1＋x2 ≤ 40 （铜） x1＋3x2 ≤ 30（铝） x1, x2 ≥ 0
目标函数 约束条件
非负约束
例2 运输问题：甲乙两地分别有货物80t和100t，要运送到a，b，c三 个地方，数量分别是70，60和50t，它们之间的单位运价（元/t·km） 如下表，现在要制订出最佳运输方案，使总的运输费用达到最小。
m ax Z 3 x1 2 x2
约束条件不变，其最优解会发生什 么变化？
x2 = Z/2 － 3/2 x1
若Z=60, x2=30－3/2x1
最优目标值： Z=120 最优解为AB线段上所有点：无穷多组最 优解。
x2
80
60
不
可
A(10,45) Z=120
行
40
解
20
B(30,15) Z=120
基矩阵
a11 a12 a1m B
am1 am2 amm
系数矩阵， 其秩为m
若B为A中m个线性无关列向量所组成的集合，即为非奇异矩阵，则称B是LP问题 的一个基。
称B中的每一列为基向量，对应的变量为基变量。
3x1 x2 4x3 8000 2x1 x2 4x3 3000

x1 30

x
2

45

x1,
x
2

0
x2 = Z/8 － 5/4 x1
若Z=160, x2=20－5/4x1
最优解: x1=10, x2=45, Z=460 (唯一最优解)
x2
80
60
不
可
(10,45) Z=460
行
40
解
20
0
20
可行域
40 60
等值线
80 x1
若将上例的目标函数改为：
s.t.
am1x1 am2 x2 amn xn (, )bm xj 0（或无限制）,j 1,2,..., n
其中 cj：目标系数、价 值系数 aij：消耗系数、 技术系数 bi：资源系数
自由变量
约束条件（Subject to）
1.2 线性规划模型的标准型及其
直观：有助于了解LP问题求解的原理。
重要启示：
1LP问题的可行域一般是凸多边形，最优解一定在 可 行域的某个顶点上得到；
2若在两个顶点上同时得到最优解，则这两顶点连 线 上的一切点都是该问题的最优解（多组最优解）。
3 可行域有时无界 4 可行域有时是空集 统称为无解
1.4 线性规划问题解的 概念
具有以上共同特征的数学模型就称为线性规划模型。
一般形式
目标函数（Objective function）
max/ min Z c1x1 c2 x2 cn xn
aa1211xx11

a12 x2 a22 x2

a1n xn (,)b1 a2n xn (, )b2
设X (1) K, X (2) K, 若X (1) (1 )X (2) K (0 1), 则称K为凸集
2、顶点：不能用不同的两点的线性组合表示的点。
基本定理
LP问题的可行域是凸集。
可行解X=(x1, x2,…,xm,0,…,0)T是基本可行解的充要条件是X 的非零分量所对应的系数列向量是线性无关的 基本可行解对应可行域的顶点 有可行解必有基本可行解，即凸集非空、有顶点 最优解一定在可行域的顶点上得到（必定在基本可行解中）
3x1 x2 4x3 x4 8000 s.t.2x1 x2 4x3 x5 3000
x j 0, j 1,2,3,4,5
系数矩阵和基：
A

3 2
1 1
4 4
1 0
0 1
取B

1 0
0 1
则： x4, x5为初始基变量; x1, x2 x3 为非基变量，变换标准型的约束条件：
观察目标函数： Z 0 4x1 x2 5x3 选x3入基，x1, x2仍为非基变量且为0，代入上方程组：
x4 8000 4x3 0 x5 3000 4x3 0
则：x 3

min80400
,
3000 4


750
当x3=750时，x5=0即为非基变量，x4=5000
系数矩阵
1 0 0 1
m
Pj x j
n
Pj x j b
j 1
j m1
基本解：令非基变量等于零，用高斯消元法得到一组解，其非零分 量的个数等于m，即为基本解。
X x1, x2 , , xm , 0, 0, ,0T
退化基本解：非零基变量的个数小于m的基本解，即某个基变量取 值为0。
s.t.xx11

2(x3 x4 (x3 x4 )
) x6 2 x7 5
xi 0;i 1,3,4,5,6,7
松弛、剩余变量在目标函数中的系数为0.
1.3 线性规划问题的图
解法
例1.4 现有两个变量的LP模型
max Z 10x1 8x2
3x1 2x2 120
则：基变量为x4, x3;非基变量为x1, x2 x5，变换标准型的约束条件：
（1）
未被利用的资源
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1x1 ai2 x2 ain xn xni bi , xni 0
（2）
ai1 x1 ai2 x2 ain xn bi
ai1x1 ai2 x2 ain xn xni bi , xni 0
解：设A,B,C三件家具的产量(件数)分别为x1,x2,x3，有：
MaxZ 4x1 x2 5x3
3x1 x2 4x3 8000 s.t.2x1 x2 4x3 3000 x j 0, j 1,2,3
模型的标准型为：
MaxZ 4x1 x2 5x3 0 x4 0 x5
模型
解：设由发点i到收点j的货运量为xij ，i=1,2; j=1,2,3
x x x x x x Min Z = 5 + 11 4 12 + 8 13 + 8 21 + 6 22 +2 23
x x x 11+ 12 + 13 = 80 x x x 21 + 22 + 23 = 100 x x 11+ 21 = 70 x x 12 + 22 = 60 x x 13 + 23 = 50 xij ≥ 0，i=1,2; j=1,2,3
单纯形法的经济解释
例 设有一家具厂用木材和钢材生产A,B,C三种家具，生产一件家具所需的 材料、每件家具可获得的利润以及每月可供的木材和钢材数量如下表， 问此家具厂应如何安排各种家具的生产量才能使企业获得最大的利润？
产品
木材 钢材
单位产品获利（元）
A
3
2
4
B
1
1
1
C
4
4
5
材料可供量
8000
3000
剩余变量(Surplus variable)
例 把问题转化为标准形式
min S x1 x2
2x1 x2 2
s.t.xx11

2x2 2 x2 5
x1 0
MaxZ x1 (x3 x4)
2x1 (x3 x4 ) x5 2
x4 8000 3x1 x2 4x3 x5 3000 2x1 x2 4x 3
代入目标函数：
Z = 0 + 4x1 + x2 + 5x3
X (0) (0,0,0,8000,3000)T Z 0
令非基变量等于0，基变量
x4=8000, x5=3000
初始基本可行解
转化
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
aa1211
x1 x1
a12 x2 a22 x2

a1n xn b1 a2n xn b2
s.t.
am1x1 am2 x2 amn xn bm xj 0, j 1,2,, n
求最小值转化为求最大值：将目标函数中各项乘以（-1） 。
min S CX max Z CX
自由变量转换
自由变量化为非负变量
令自由变量x
j

x
' j

x''j
，其中x'
j

0, x'j'

0 为非负变量
非标准模型转换
约束方程转化：不等式变等式 松驰变量(Slack variable), 指
n
s.t. j1 Pjx j b

x
j

0
( j 1,2,, n)
其中C (c1,c2 ,,cn ) ,
x1
X

x2


,

xn
a1 j
Pj

a2
j


,

amj
b1
b

b2


bm