陕西省西工大附中2014届高三数学第十一次适应性训练试题 理 新人教A版

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陕西省西工大附中2014年高三第十一次适应性训练数学〔理〕试卷
本试卷分为第1卷〔选择题〕和第2卷〔非选择题〕两局部，总分为150分；考试时间120分钟。

第1卷 选择题(共50分)
一、选择题：〔本大题共10小题，每一小题5分，共50分〕 1.假设i 为虚数单位，如此复数i
i
z 211++=
在复平面上对应的点位于〔 〕 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2.集合{}1,1A =-，{}
10B x ax =+=，假设B A ⊆，如此实数a 的所有可能取值的集合为 ( )
A ．{1}-
B ．{1}
C ．{1,0,1}-
D ．{1,1}- 3.如下有关命题的说法正确的答案是〔 〕 A ．命题“假设1,12
==x x 则〞的否命题为：“假设1,12
≠=x x 则〞
B ．命题“假设y x y x sin sin ,==则〞的逆否命题为真命题
C ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<〞的否认是：“x R ∀∈，均有2
10x x ++<〞
D ．“1x =-〞是“0652
=--x x 〞的必要不充分条件
4.右图是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的外表积是〔 〕 A ．9πB ．10π C ．11πD ．12π
5.x x n
+⎛
⎝ ⎫⎭
⎪132展开式的第6项系数最大，如此其常数项为〔 〕 A. 210 B.120
C. 252
D. 45
6.假设圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，如此该圆的标准方程是〔 〕
A ．2
2
7(3)13x y ⎛
⎫-+-= ⎪⎝
⎭
B ．22
(1)(3)1x y -+-=
C ．22
(2)(1)1x y -+-= D ．2
23(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝
⎭
7. 某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋 友1本，如此不同的赠送方法共有 ( )
A.4种
B.10种
C.18种
D.20种
8. y x ,满足⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥≥5
11
y x y x 时，)0(>≥+=b a b y a x z 的最大值为1，如此b a +的最小值为〔 〕
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10 9.函数x
x x f 2)(+=，x x x g ln )(+=，1)(--=x x x h 的零点分别为,,21x x 3x ，如
此321,,x x x 的大小关系是 ( )
A ．123x x x <<
B ．213x x x <<
C ．132x x x <<
D ．321x x x <<
10.ΔABC 为等边三角形，2AB =，设,P Q 满足,(1),.AP
AB AQ AC R λλλ==-
∈假设
3
2
BQ CP =
-，如此λ等于〔 〕
A ．
1
2
第2卷 非选择题(共100分)
二、填空题：〔本大题共5小题，每一小题5分，共25分〕 11. 观察如下式子：2
131,2
2
+
< 22115
1323
++<
22211171,
4234
+++<
如此可以猜测的一般结论为：_____________.
F A
E
D
B
C
12.图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得辗转相除法．假设 输入2010=m ，1541=n ，如此输出=m ．
13.一物体A 以速度2
32v t =+〔t 的单位：s ，v 的单位：/m s 〕在一直线上运动，在此直线上物体A 出发的同时，物体B 在物体A 的正前方8m 处以8v t =〔t 的单位：s ，v 的单位：/m s 〕的速度与A 同向运动，如此经过s 物体A 追上物体B .
14．函数()()sin f x A x ωϕ=+〔0A >，0ω>，2
π
ϕ<
的局部图象如下列图，如此函数()y f x =对应的解析式为．
15．选做题〔请在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，如此按所做的第一题评阅记分〕 A.假设关于实数x 的不等式|5||3|x x a -++<无解，如此实数a 的取值范围为．
B.如图,圆中两条弦AB 与CD 相交于点
F ,
E 是AB 延长线上一点,且D
F CF == ::4:2:1AF FB BE =,假设CE 与圆相切,
如此线段CE 的长为．
C.在直角坐标系中圆C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩〔α为参数〕，假设以原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，如此圆C 的极坐标方程为_____．
三、解答题〔本大题共6小题，共75分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕 16．〔此题总分为12分〕角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆O 交于点
A 11(,)x y ，将射线OA 按逆时针方向旋转
23
π
后与单位圆O 交于点B 22(,)x y ，12()f x x α=-；
〔Ⅰ〕假设角α为锐角，求()f α的取值范围；
〔Ⅱ〕在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，假设
3
(),32
f A c ==，ABC ∆
的面积为a 的值。

17. 〔此题总分为12分〕空气质量指数PM2.5 (单位:3
/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：
从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如下列图．
〔Ⅰ〕试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别 为优或良的天数；
〔Ⅱ〕在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别 为优或良的天数，求X 的分布列与数学期望。

18.〔此题总分为12分〕如图，三棱柱111C B A ABC -的
侧棱与底面垂直，11AA AB AC ===，AB AC ⊥，M
是1CC 的中点，N 是BC 的中点，点P 在直线11B A 上，且满足111A P A B λ=. 〔Ⅰ〕当1
2
λ=时，求直线PN 与平面ABC 所成的角θ的 正弦值；
〔Ⅱ〕假设平面PMN 与平面ABC 所成的角为
45，试确定点P 的位置。

19. 〔此题总分为12分〕数列{}n a 中，12a =,120n n a a n ---=,(2,)n n N ≥∈. 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；
3 2 0
4
5 5
6 4
7 6 9 7
1A
1B
P
N
M
A
B C
1C
〔Ⅱ〕设12321111
n n n n n
b a a a a +++=+++⋅⋅⋅+
，求数列{}n b 的通项公式。

20. 〔此题总分为13分〕函数ln ()1x
f x ax x
=++
，〔a R ∈〕 〔Ⅰ〕假设()f x 在定义域上单调递增，求实数a 的取值范围； 〔Ⅱ〕假设函数()()g x xf x =有唯一零点，试求实数a 的取值范围．
21. 〔此题总分为14分〕动圆过定点,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
，且与直线2p x =-相切，其中0p >.
〔Ⅰ〕求动圆圆心C 的轨迹的方程；
〔Ⅱ〕设,A B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和
β，当,αβ变化且αβ+为定值(0θθπ<<且)2
π
θ≠
时，证明直线AB 恒过定点，并求
出该定点的坐标。

2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第十一次适应性训练 数学〔理科〕参考答案
一、选择题：〔A 卷〕DCBDA CBCAA 二、填空题：11. 222
2
111
121
1234n n n -+
++++
< 12.67 13.4 14.sin 2
6y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
15. A.(,8]-∞ C.θρsin 4= 三、解答题
16. 解：由三角函数定义知，122
cos ,cos()
3
x x παα==+
1223()cos cos()cos )323
f x x ππαααααα=-=-+
=+=+ 由角α为锐角知，
53
3
6π
π
πα<+
<
∴1sin()123
π
α<+≤
)3π
α<+≤()f α
的取值范围是2⎛ ⎝ 〔Ⅱ〕由3()2f A =
得sin()32A π+=∵4333A πππ<+<∴3
A π
=
由1
sin 2
ABC S bc A ∆=
=3c =得4b =
由余弦定理得a =17.解：〔Ⅰ〕由茎叶图可知，甲城市在2013年9月份随机抽取的15天中的空气质量类别为优或良的天数为5天．
所以可估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数为10天． 〔Ⅱ〕X 的取值为0，1，2，
因为()02510215C C 30C 7P X ===，()11510215C C 101C 21P X ===，()20
510
2
15C C 22C 21
P X ===． 所以X 的分布列为：
所以数学期望3
21221170=⨯+⨯+⨯
=EX ． 18. 解：〔Ⅰ〕以AB ,AC ,1AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系xyz A -， 如此1
(0,,1)2
PN =-，平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)n = 如此25
sin cos ,5
PN n PN n PN n
θ=<>=
=
. 〔Ⅱ〕给出了平面PMN 与平面ABC 所成的角为45︒
，取平面ABC 的一个法向量为
1(0,0,1)n AA ==，设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =，1
(,1,)2MP λ=-.
由00m NP m MP ⎧=⎪⎨=⎪⎩得11()022
10
2
x y z
x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ ，令3,(3,21,2(1))x m λλ==+-得， cos ,9m n m n m n
<>=
=
=
+，
解得111,2P B A λ=-
故点在的延长线上，且112
A P =. 19. 解：〔Ⅰ〕∵()112,202,n n a a a n n n N -=--=≥∈
当2n ≥时，()11232212,21,,23,22n n n n a a n a a n a a a a ----=-=-⋅⋅⋅-=⨯-=⨯， ∴()12132n a a n n -=⎡+-+⋅⋅⋅++⎤⎣⎦， ∴()()()1213212
12
n n n a n n n n +=⎡+-+⋅⋅⋅+++⎤==+⎣⎦
当1n =时，()11112a =⨯+=也满足上式， ∴数列{}n a 的通项公式为()1n a n n =+ 〔Ⅱ〕()()()()()
122111111
1223221n n n n b a a a n n n n n n ++=
++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++++ ()()()()()1111111223221n n n n n n =
-+-+⋅⋅⋅+-+++++
()()
211121231n
n n n n =
-=++++ 20.解：〔Ⅰ〕222
1ln ln 1
()x ax x f x a x x --+'=+=，(0,)x ∈+∞ ∴()0,f x '≥，∴2
ln 10,ax x -+≥，∴2
ln 1
x a x
-≥
，
令2ln 1()x h x x -=，如此2
43
12(ln 1)32ln ()0x x x x
x h x x x
---'===有根：3
20x e =， 0(0,)x x ∈，()0h x '>，函数()h x 单增；0(,)x x ∈+∞，()0h x '<，函数()h x 单减； ∴
max 031
(())()2a h x h x e
≥==
；
〔Ⅱ〕2
()()ln 0g x xf x ax x x ==++=有唯一正实数根，
2121
()21ax x g x ax x x
++'=++=，(0,)x ∈+∞，记18a ∆=-；
〔ⅰ〕假设0a =，1
()0,x g x x
+'=>即函数()y g x =在定义域上单调递增， 又2
2
()20g e e
--=-<，(1)10g =>，即函数()y g x =有唯一零点；
〔ⅱ〕假设18
a ≥
即0∆≤，如此2
210,ax x ++≥从而()0,g x '≥又当0x →时，()0g x <，
而当x →+∞时，()0g x >；故函数()y g x =有唯一零点； 〔ⅲ〕假设108a <<
，如此180a ∆=->，如此方程2
210ax x ++=的两根满足： 121211
0,022x x x x a a
+=-<⋅=>，即两根均小于0，
故2
210,ax x ++>，从而()0,g x '>，由〔ⅱ〕同理可知，仍满足题意； 〔ⅳ〕假设0a <，同样0∆>，如此方程2
210ax x ++=的两根为：
1104x a -=
>
，2104x a
-+=<〔舍〕；
当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，故()g x 在1(0,)x 为增函数， 当1(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，故()g x 在1(,)x +∞为减函数，
故当1x x =时，()g x 取得最大值1()g x ；如此11()0()0g x g x =⎧⎨'=⎩，即2
111211ln 0
210
ax x x ax x ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩， 所以112ln 10x x --+=，即112ln 10x x +-=； 令()2ln 1x x x ϕ=+-，如此2
()10,x x
ϕ'=
+>即()x ϕ为定义域上增函数， 又(1)0ϕ=，所以方程112ln 10x x +-=有唯一解11x =
，故11x =
=，解得
1a =-；
综上，实数a 的取值范围为：{|0,1}a a a ≥=-或．
21.解：〔Ⅰ〕设M 为动圆圆心，,02p ⎛⎫
⎪⎝⎭
为记为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足
为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F 与定直线2
p
x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
为焦点，2p x =-为准线，所以轨迹方
程为2
2(0)y px p =>；
〔Ⅱ〕设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12x x ≠〔否如此αβπ+=〕且12,0x x ≠所以直
线AB 的斜率存在，设其方程为y kx b =+，显然22
12
12,22y y x x p p
==， 将y kx b =+与2
2(0)y px p =>联立消去x ，得2
220ky py pb -+= 由韦达定理知121222,p pb
y y y y k k
+=
⋅=
① 2
π
θ≠
，由αβθ+=，得tan tan()θαβ=+=
tan tan 1tan tan αβαβ+-=122
122()
4p y y y y p +-
将①式代入上式整理化简可得：2tan 2p b pk θ=
-，所以22tan p
b pk θ=+，
此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+
22tan p pk θ+即2(2)0tan p k x p y θ⎛
⎫
+--
= ⎪⎝
⎭
所以直线AB 恒过定点22,tan p p θ
⎛⎫- ⎪⎝
⎭。