辽宁省锦州市2017届高三质量检测(一)数学(理)试题含答案

辽宁省锦州市2017届高三质量检测(一）
数学(理）试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
1．集合{|3,}n
M x x n N ==∈，集合{|3,}N x x n n N ==∈，则集合M 与集合N 的关
系（ ）
A ．M N ⊆
B ．N M ⊆
C ．M
N φ=
D ．M N ⊆且
N M ⊆
2．若复数z 满足1(1)2
iz i =+，则z 的虚部是（ ）
A ．12
i - B ．12
i C ．12
- D ．12
3．一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为2
π的扇形，则该
几何体的侧面积为（ ）
A ． 2
B ．4π+
C ．42π
D ．42ππ+
4．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨）与相应的生产能耗y (吨）的几组对应数据，根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是( ）
A ．线性回归直线一定过点(4.5,3.5)
B ．产品的生产能耗与产量呈正相关
C ． t 的取值为3．15
D ．A 产品每多生产1吨,则相应的生产能耗约增加0．7吨 5．等差数列{}n
a 的前n 项和为n
S ，其中1
5
51
2
a a
S +=
，且1120a =，则13S =（ )
A ．130
B ． 60
C ． 160
D ．26
6．设命题p :实数,x y 满足:22(1)(1)2x y -+-≤，命题q ：实数,x y 满足：1
11y x y x y ≥-⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
，
则p 是q 的（ )条件
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ． 充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ )
A ． —2
B ．12
C ． —1
D ．2
8．三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明． 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用
2⨯勾⨯股+（股—勾）2
4=⨯朱实+黄实=弦实，化简，得勾
2
+股2=弦2． 设
勾股形中勾股比为1:3,若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略
不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）
A ． 134
B ．866
C ．300
D ．500 9．已知2()3sin cos sin f x x x x =
-，
把()f x 的图象向右平移12
π
个单位，再向上平移2个单位，得到()y g x =的图象，若对任意实数x ，都有()()g a x g a x -=+成立，则()()4
4
g a g ππ++=（ ）
A ． 3
B ．4
C ． 2
D ．32
10．设0,2a b >>，且3a b +=，则21
2
a b +
-的最小值是（ ）
A ． 6
B ．22
C ． 42
D ．32
2+
11．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>左右焦点分别为12,F F ，渐近线为12,l l ，
P 位于1l 在第一象限内的部分，若21l PF ⊥,22//l PF ，则双曲线的离心率为
( ）
A ． 2
B ．
3 C ．
5 D 212．设函数()f x 在R 上存在导数'
()f
x ,x R ∀∈，有2()()f x f x x -+=，在(0,)+∞上
'()f x x <，若2(2)()220f m f m m m -+--+-≥，则实数m 的取值范围为( ）
A ．[1,1]-
B ．[1,)+∞
C ． [2,)+∞
D ．(,2]
[2,)-∞-+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分,满分20分，将答案填在答题纸上） 13．
23(2)x x --展开式中x 项的系数为
．
14．设抛物线2
2x
y =的焦点为F ,经过点(1,3)P 的直线l 与抛物线相交于
,A B 两点,且点P 恰为AB 的中点，则||||AF BF +=
．
15．三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为3的正三角形，SC 是球O 的直径，且4SC =,则此三棱锥的体积
V =
．
16．将正整数12分解成两个正整数的乘积有112⨯，26⨯,34⨯三种，其中34⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称34⨯为12的最佳分解． 当p q ⨯（p q ≤且*
,p q N ∈）是正整数n 的最佳分解时，我们定义
函数()f n q p =-，例如(12)431f =-=，数列{(3)}n
f 的前100项和
为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17． 已知函数()sin()(0,||)2
f x M x M πωϕϕ=+><的部分图象如图所示．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若(2)cos cos a c B b C -=，求()
2
A f
的取值范围．
18． 《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布(168,16)N ．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组:第一组[160,164),第二组[164,168)，…，第六组[180,184),如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数； (2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人,该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ,求ξ的数学期望．
参考数据：若η～2
(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9974P X μσμσ-<<+=．
19． 在四棱锥P ABCD -中，2
DBA π∠=，//
AB CD =，PAB ∆和PBD ∆都是边长为
2的等边三角形，设P 在底面ABCD 的射影为O ．
（1)证明：BC PB ⊥;
（2)求二面角A PB C --的余弦值． 20．
已知椭圆C ：22
221(0)y x a b a b
+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1
F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于,M N 两点，2
MNF ∆3椭圆C 的离
心率为
3
2
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于
,A B 两个不同的点，若存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围．
21． 已知0m >，设函数()ln 2mx
f x e
x =--．
（1）若1m =，证明:存在唯一实数1(,1)2
t ∈,使得'
()0f t =；
(2)若当0x >时，()0f x >，证明:1
2
m e -
>．
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C 在平面直角坐标系xOy 下的参数方程为133x y θθ
⎧=+⎪⎨
=⎪⎩(θ为参
数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的普通方程及极坐标方程；
（2）直线l 的极坐标方程是cos()336
πρθ-=射线OT :(0)3
πθρ=>与曲线C 交
于点A 与直线l 交于点B ，求线段AB 的长． 23．选修4-5:不等式选讲 已知函数()|3||2|f x x x =++-．
（1）若x R ∀∈，2
()6f x a a ≥-恒成立,求实数a 的取值范围;
（2)求函数()y f x =的图象与直线9y =围成的封闭图形的面积．
试卷答案
一．
选择题： 1--—5.DCCCA 6———10。

BCABD 11——
—12. AB
二．
填空题：13。

—12 14. 7 15.2
3316。

50
3
1-
三．
解答题
17。

解:（1）由图象知ππ
π
=-==)6125(41T A ，∴2=ω, ∴)2sin()(ϕ+=x x f
∵图象过）（1,6π,将点）（1,6
π代入解析式得1)3sin(=+ϕπ
, ∵2
πϕ
<
∴6π
ϕ=
故得函数
)6
2sin()(π
+
=x x f ．
（2）
,cos cos )2C b B c a =-（ 根据正弦定理，得：C B B C A cos sin cos )sin sin 2(=- ∴)sin(cos sin 2C B B A +=, ∴A B A sin cos sin 2= ∵),0(π∈A ,,0sin ≠A ∴21cos =B 则3π
=B ∴3
2π
=
+C A 即320π<
<A ⎥⎦⎤
⎝⎛∈+∴1,21)6sin(πA =)2(A f ⎥⎦
⎤ ⎝⎛∈+1,21)6sin(πA
故得)2(A f ⎥⎦
⎤
⎝⎛∈1,21． 18。

（Ⅰ）由直方图,经过计算该社区50名市民的平均成绩为
,高于全市的
平均值168（或者：经过计算该社区居民平均成绩为168。

72,比较接近全市的平均值168.
由频率分布直方图知，后三组频率为(0。

02+0.02+0。

01）×4=0.2，人数为0。

2×50=10，即这50名市民成绩在172个以上(含172 个)的人数为10人．-—（6分）
（Ⅱ）∵P （168﹣3×4≤ξ＜168+3×4）=0。

9974，∴
，0。

0013×100 000=130．
所以，全市前130名的成绩在180个以上（含180个)，这50人中成绩在180 个以上(含180个)的有2人．随机变量ξ可取0，1,2， 于是,
，
，
∴
．
19.(1)证明:∵PAB △和PBD △都是边长为2的等边三角形，
∴2
π=∠==ABD P O PB PD PA 在底面的射影，为，所以的外心且为ABD O ∆O 为AD 中点，∵
BA
BD =∴AD BO ⊥，由AB CD ∥可得四边形ABCD 为平行四边形，AD ∥BC ∴
BC BO ⊥又∵BC PO ABCD PO ⊥⊥则面,又,O PO BO = ∴POB BC 面⊥，POB PB 面⊂∴PB BC ⊥
（2）以点O 为原点，以 OB OD OP ，，所在射线分别为x 轴 ,y 轴，z 轴建系
如图,
∵2AB =，则()0 0 0O ，，，()0 2 0
A -，，，(
)2 B O O
，，，)2 2 0
C ，，，
()0 2 0
D ，，，可求2=PO ,(0 0 2P ，
，，()2 2 0BA =-，，，
( 0 BP =-
，,()0 0
BC =，
，，
设面PAB 的法向量为() n x y z =，
，,则 0n BA ⋅=,0
n BP ⋅
=,
得0
=
,
=，
取1x =，得1y =-，1z =，
故() 1 1 1n =-，
，。

设面PBC 的法向量为() m r s t =，
，，则 0
m BC ⋅=，0m BP ⋅=，得
0s =
，0
=，
取1r =，则1t =，故()1 0 1m =，
，, 于是6
cos 3
m n m n m n
⋅<>=
=
，，
由图观察知A PB C --为钝二面角， 所以该二面角的余弦值为.
20。

解：（Ⅰ）根据已知椭圆C 的焦距为2c ，当y c =时，2
122||||
b MN x x a =-=
，
由题意2MNF ∆的面积为21212||||||2
b c
F F MN c MN a
==
= 由已知得c a =
∴21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2
2
14
y x +=．
（Ⅱ）若0m =，则(0,0)P ，由椭圆的对称性得—AP PB =,即0OA OB +=， ∴0m =能存在1=λ使4OA OB OP λ+=成立． 若0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得14
4
OP OA OB λ=+,
因为A ,B ,P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．
设11(,)A x kx m +，22(,)B x kx m +，由22,
440,
y kx m x y =+⎧⎨+-=⎩得222(4)240k x mkx m +++-=，
由已知得2
2
2244(4)(4)0m k
k m ∆=-+->，即2240k m -+>，
且12224
km
x x k -+=+,212244m x x k -=+，
由3λ=可知3AP PB =，得1
23x
x -=,即123x x =-，∴212123()40x x x x ++=，
∴222222124(4)
0(4)4
k m m k k -+=++，即222240m k m k +--=．
当2
1m =时，2
2
2
2
40m k m k +--=不成立，∴2
2
241
m k m -=-，
∵2
2
40k m -+>，∴22
24401m m m --+>-，即222(4)01
m m m ->-，
∴2
14m
<<,解得21m -<<-或12m <<．
综上所述，m 的取值范围为{}|21012m m m m -<<-=<<或或． （21）解：
（Ⅰ）当1m =时，()ln 2x
f x e x =--，1
()x f x e x
'=-
． 因为21
()0x
f x e
x
''=+
>，所以()f x '在(0,)+∞上单调递增． 因为1
()202f '=<，(1)10f e '=->,故存在唯一实数1(,1)2
t ∈,使得()0f t '=．
（Ⅱ)1()mx f x me x '=-，因为221()0mx f x m e x
''=+>,所以()f x '在(0,)+∞上单调递增．
而1()()mx f x m e mx '=-,由(Ⅰ）得存在唯一实数01(,1)2
mx t =∈，使得0()0f x '=．
当0
(0,)x x ∈时，()0f x '<,当0
(,)x x ∈+∞时,()0f x '>所以()f x 在0
(0,)x 单调递减，在
0(,)x +∞单调递增．故()f x 有最小值0()ln ln 2t f x e t m =-+-—-—(8分）
由（Ⅰ）得1
t
e
t =
，ln t t =-．所以01()2ln f x t m t
=+-+． 设1()2ln h t t m t =+-+，当1
(,1)2t ∈时，221()0t h t t
-'=<，()h t 在1(,1)2单调递减，
所以0
1()()(ln ,ln )2
f x h t m m =∈+，
因为()0f x >恒成立，
0()0f x >,因此1
ln 02
m +>，故1
2m e ->．
22.解：（1）因为曲线C 的参数方程为13cos 3sin x y θ
θ
⎧=+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数),
消去参数t 得曲线C 的普通方程为()2
213
x y -+=，
又cos x ρθ=,sin y ρθ=，
∴曲线C 的极坐标方程为2
2cos 20ρρθ--=.
（2)由
()222cos 20
20203ρρθρρρπ
θρ⎧--=⎪
⇒--=⇒=⎨=>⎪⎩
,
故射线OT 与曲线C 的交点A 的极坐标为 2 3
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
，；
由
()cos 336603πρθρπθρ⎧⎛
⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⇒=⎨
⎪=>⎪⎩
，
故射线OT 与直线l 的交点B 的极坐标为 6 3
π⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，，
∴4B
A A
B ρ
ρ=-=.
23。

解：（Ⅰ）∵()|3||2||32|5f x x x x x =++-≥+-+=, ∴2
56a a ≥-，解得(,1]
[5,)a ∈-∞+∞．
（Ⅱ）
21,2,
()|3||2|5,32,12,3,x x f x x x x x x +≥⎧⎪
=++-=-<<⎨⎪--≤-⎩
当()9f x =时，5x =-或4x =．
画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4,所以面积为1(95)4282
S =+⨯=．。