高中数学椭圆知识点总结

⾼中数学椭圆知识点总结
椭圆知识点
知识点⼀：椭圆的定义
平⾯内⼀个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹⽆图形. 知识点⼆：椭圆的简单⼏何性质
椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 122
22=+b
x a y )0(>>b a 的简单⼏何性质
标准⽅程
122
22=+b y a x )0(>>b a 12
2
22=+b x a y )0(>>b a 图形
性质
焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F
焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤
b x ≤，a y ≤
对称性
关于x 轴、y 轴和原点对称
顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±
轴长
长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题⽬）
离⼼率
)10(<<=
e a
c
e c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；
(p是椭圆上⼀点)（不等式告诉我们椭圆上⼀点到焦点距离的范围）
注意：①与坐标系⽆关的椭圆本⾝固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离⼼率等；
②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等
知识点三：椭圆相关计算
1．椭圆标准⽅程中的三个量c
,的⼏何意义2
2
2c
b
a+
=
2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长
a
b2
2
焦点弦：椭圆过焦点的弦。

3.最⼤⾓:p是椭圆上⼀点，当p是椭圆的短轴端点时，2 1
PF
F
∠为最⼤⾓。

4.椭圆上⼀点和两个焦点构成的三⾓形称为焦点三⾓形。

焦点三⾓形的⾯积2
tan
2
2
1
θ
b
S
F
PF
=
，其中2
1
PF
F
θ（注意公式的推导）
5.求椭圆标准⽅程的步骤（待定系数法）．
(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x 轴上还是在y 轴上． (2)设⽅程：
①依据上述判断设⽅程为22
22b
y a x +=1)0(>>b a 或2222a y b x +=1)0(>>b a
②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0且m ≠n )．
(3)找关系，根据已知条件，建⽴关于a ，b ，c 或m ，n 的⽅程组． (4)解⽅程组，代⼊所设⽅程即为所求． 6.点与椭圆的位置关系:
2222b y a x +<1,点在椭圆内；2222b y a x +=1，点在椭圆上；22
22b
y a x +>1, 点在椭圆外。

7.直线与椭圆的位置关系
设直线⽅程y ＝kx ＋m ，若直线与椭圆⽅程联⽴，消去y 得关于x 的⼀元⼆次⽅程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)．
(1)Δ＞0，直线与椭圆有两个公共点； (2)Δ＝0，直线与椭圆有⼀个公共点； (3)Δ＜0，直线与椭圆⽆公共点． 8.弦长公式：（注意推导和理解）
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则弦长
221221)()(y y x x AB -+-=221221)()(kx kx x x -+-= 2121x x k -+=
2122124)(1x x x x k -++==
9.点差法：
就是在求解圆锥曲线题⽬中，交代直线与圆锥曲线相交所截的线段中点坐标的时候，利⽤直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代⼊圆锥曲线的⽅程，并作差。

求出直线的斜率，然后利⽤中点求出直线⽅程。

涉及弦中点的问题常常⽤“点差法”解决，往往会更简单．
步骤:①设直线和圆锥曲线交点为，
，其中点坐标为
，则得到关系
式：
，
．.
②把，分别代⼊圆锥曲线的解析式，并作差，利⽤平⽅差公式对结果进⾏
因式分解．其结果为0))(())((21212121=+-++-y y y y n x x x x m
③利⽤求出直线斜率,代⼊点斜式得直线⽅程为 .
中点弦的重要结论（不要死记会推导）
10．参数⽅程cos sin x a y b θ
θ=??=? （θ为参数）θ⼏何意义：离⼼⾓
11、椭圆切线的求法
1）切点（00x y ）已知时，22221(0)x y a b a b +=>> 切线00221x x y y
a b +=
22221(0)y x a b a b +=>> 切线00221y y x x
a b +=
2）切线斜率k 已知时， 22
221(0)x y a b a b +=>> 切线222y kx a k b =+
22
221(0)y x a b a b
+=>> 切线222y kx b k a =+
12、焦半径：椭圆上点到焦点的距离
22
221(0)x y a b a b +=>> 0r a ex =±（加减由长短决定）
22
221(0)y a a b a b
+=>> 0r a ey =±（加减由长短决定）
13．离⼼率的求法
椭圆的离⼼率是椭圆最重要的⼏何性质，求椭圆的离⼼率(或离⼼率的取值范围)有两种⽅
14. 焦点三⾓形的周长和⾯积的求法
利⽤定义求焦点三⾓形的周长和⾯积，解焦点三⾓形常利⽤椭圆的定义和正弦正理，常
15. 椭圆的范围或最值问题
知识点四：椭圆了解知识
1、椭圆⾯积：S a b π=??椭
2、椭圆的第⼆定义：
仰望天空时，什么都⽐你⾼，你会⾃卑;
俯视⼤地时，什么都⽐你低，你会⾃负;
只有放宽视野，把天空和⼤地尽收眼底，
才能在苍穹泛⼟之间找准你真正的位置。

⽆须⾃卑，不要⾃负，坚持⾃信。

⽤⼼⼯作，快乐⽣活！（⼯作好，才有好的⽣活！）
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