基因模型问题数学建模

基因模型问题数学建模(总6页)
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基因模型问题
一、问题简介
某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形总体趋势如何
二、问题假设
依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)。

由遗传学原理有：
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 设向量T n n n n c b a x )..(=
1
-⋅=n n X M x 式中
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M 递推可得：0X M X n n ⋅=
对M 矩阵进行相似对角化后可得：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ1000210
000
其相似对角阵：
1111012001-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101
n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n n M 010101010))2
1(1())21(1(0)2
1()21(0
b a
c c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。

三、问题求解
设n n n c b a ,,分别表示第n 代中，aa Aa AA ,,占总体的百分率，则1=++n n b c b a 考虑第n 代基因型与第1-n 代的关系，选用AA 型植物培育后代，则
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=---------111111111210012100211n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a
⎪⎩⎪⎨⎧+0211aa AA Aa AA AA ⎪⎩⎪⎨⎧+0211aa Aa Aa AA AA
令⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=210012100211
M 设 )(n n n n X c b a =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡
则 T n n n c b a X X M MX X ),,(000)0()
0()1()(===-
相对M 进行相似变换，对角仪，1-=PDP M
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--==-1002101111P P 故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===--10
021*******
0)21(0001100210111)(11n
n n n P PD PDP M ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--00021210211211111n n
n n ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=+=--++=--0
21212121010010000n n n n n n n c c b b c b c b a a
四、结果分析
令∞→n ，有1→n a 00→→n n c b ，经过若干代后，将全部培育成AA 型植物，Aa 型与aa 型全部消失。

参考文献
[1]张尧庭、方开泰.多元统计分析引论.科学出版社，1982.
[2]茆诗松、丁元等.回归分析及其试验设计.华东师范大学出版社，1986.
[3]秦新强、数学建模.西安理工大学，
[4]赵静、但琦.数学建模与数学实现.高等教育出版社，2007.
产量配比问题
一、问题简介
田园食品公司生产的面包很出名。

他们生产两种面包：一种是叫“唐师”的白面包，另一种是叫“宋赐”的大黑面包。

每个唐师面包的利润是元，宋赐面包是元，两种面包的月生产成本是固定的4000元，不管生产多少面包，该公司的面包生产厂分为两个部，分别是烤制和调配。

烤制部有10座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出140台，每台可容纳10个唐师面包或5个更大的宋赐面包。

可以在一台上同时放两种面包，只需注意宋赐面包所占的空间是唐师面包的两倍。

调配部每天可以调配最多8000个唐师面包和5000个宋赐面包。

有两个自动调配器分别用于两种面包的调配而不至于发生冲突。

田园公司决定找出这两种面包产品的最佳产量比，即确定两种面包的日产量，使得在公司面包厂的现有生产条件下利润最高。

二、问题假设
设决策变量分别为：
x 1————唐师面包的日产量；
x 2————宋赐面包的日产量；
根据题意，烤制部有10 座大烤炉，每座烤炉的容量是每天出140 台，则共有台数1400 （台）。

又每台可容纳10个唐师面包或5个更大的宋赐面包，则最多每天唐师和宋赐共占有
215
1101x x +（台） 则第一个约束条件：2151101x x +≤1400 根据调配部调配唐师和宋赐面包的限制可知，有约束条件：
x 1 ≤8000,
x 2 ≤5000 目标函数是利润最大。

Max Profit= x 1+230
整理成标准的线性规划模型：
Max Profit= x 1+230 . 215
1101x x +≤1400 0 ≤x1 ≤8000,
0 ≤x2 ≤5000
..t s ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧≤≤≤+80001400
51101121x x x
三、问题求解
使用MATLAB 软件求解该线性规划模型。

程序如下：
c=[;];
A=[,];
b=[1400];
xlb=zeros(2,1);
xub=[8000;5000];
x0=[0;0];
x=lp(c,A,b,xlb,xub,x0)
profit=-c.*-4000/30
四、结果分析
计算结果：
8001=x ，30002=x （最优解）
profit = （目标函数值）
参见以下图形：
参考文献
[1]张尧庭、方开泰.多元统计分析引论.科学出版社，1982.
[2]茆诗松、丁元等.回归分析及其试验设计.华东师范大学出版社，1986.
[3]秦新强、数学建模.西安理工大学，
[4]赵静、但琦.数学建模与数学实现.高等教育出版社，2007.。