北师大版初中数学八年级上册7.4 平行线的性质1
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探究点二：平行线的性质定理 2
如图，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DE
平 分 ∠ADC， CE 平 分 ∠BCD， 试 说 明
DE⊥CE.
解析：要证 DE⊥CE，即∠DEC＝90°.
需证∠1＋∠2＝90°.由 DE、CE 分别平分
∠ADC、∠BCD，则需证∠ADC＋∠BCD＝180
°，从而需证 AD∥BC.
方法总结：过一点作一条直线或线段 的平行线是我们常作的辅助线．
三、板书设计 平行线的性质
两直线平行，同位角相等
{ ) 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两直线平行
相信自己，就能走向成功的 第一步
教师不光要传授知识，还要 看待
方法总结：平行线与角的大小关系、 直线的位置关系是紧密联系在一起的．由 两直线平行的位置关系得到两个相关角的 数量关系，从而得到相应角的度数．
探究点四：平行于同一条直线的两直 线平行
如图所示，AB∥CD.求证：∠B＋ ∠BED＋∠D＝360°.
进一步理解和总结证明的步骤、格式、方 法．了解两定理在条件和结构上的区别， 体会正逆的思维过程. 进一步发展学生的推
证 明 ： ∵DE∥AC(已 知 )， ∴ ∠ BED＝ ∠A(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )． ∵DF∥AB(已 知 )， ∴ ∠ CFD＝ ∠A(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )． ∴∠BED＝ ∠CFD(等量代换)．
方法总结：在已知两直线平行的前提 下，若要求证的两角不是平行线被第三条 直线所截得的角，就要借助一个中间量， 将两者联系起来．
等)，
∠ EAC＝ ∠C(两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相
一条公路两次拐弯后和原来的方向相 等)．
同，第一次拐的角度∠B 是 130°，第二次
∵∠B＝∠C(已知)，
拐的角度∠C 是多少度？
∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)，
二、合作探究
∴AE 平分∠CAD.
探究点一：平行线的性质定理 1
方法总结：单独考平行线某一性质的
解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC(垂
直于同一直线的两直线平行)，∴∠ADC＋
∠ BCD＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互
补)．∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，∴
1
1
∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠BCD.∴∠1＋∠2＝
2
2
TB:小初高题库
北师大初中数学
1 × 180° ＝ 90° ， ∴ ∠ DEC＝ 90° ， 即 2 DE⊥CE.
理能力，培养学生的逻辑思维能力．
解析：证明本题的关键是如何使平行 线与要证的角发生联系，显然需作出辅助 线，沟通已知和结论．已知 AB∥CD，但没 有一条直线既与 AB 相交，又与 CD 相交， 所以需要作辅助线构造同位角、内错角或 同旁内角，但是又要保证原有条件和结论 的完整性，所以需要过点 E 作 AB 的平行 线．
说明 AE 平分∠CAD.
解析：要说明 AE 平分∠CAD，即∠DAE
＝∠CAE.由于 AE∥BC，根据平行线性质定
理 1 和性质定理 2 可知∠DAE＝∠B，∠EAC
一、情境导入
＝∠C.由∠B＝∠C 即可得证．
解：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相
人生
从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入 手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，
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北师大初中数学 八年级
重点知识精选
掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！ 北师大初中数学 和你一起共同进步学业有成！
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7．4 平行线的性质
1．理解并掌握平行线的性质公理和定
理；(重点)
2．能熟练运用平行线的性质进行简单
的推理证明．(重点)
如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，
题很少，通常都是平行线的性质与其他知
识的综合运用．
探究点三：平行线的性质定理 3
如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分 别 为 BC、 AB、 AC 上 的 点 ， DE∥ AC 且 DF∥AB.求证：∠BED＝∠CFD.
解析：由 DE∥AC 可知∠BED＝∠A，由 DF∥AB 可知∠CFD＝∠A，从而可得∠BED＝ ∠CFD.
证明：如图所示，过点 E 作 EF∥AB， 则 有 ∠B＋ ∠BEF＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁内角互补)．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥ CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行)，∴∠FED＋∠D ＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 )． ∴∠B＋ ∠BEF＋ ∠FED＋ ∠D＝ 180° ＋ 180° (等 式 的 性 质 )， 即 ∠B＋ ∠BED＋ ∠D＝360°.
如图，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DE
平 分 ∠ADC， CE 平 分 ∠BCD， 试 说 明
DE⊥CE.
解析：要证 DE⊥CE，即∠DEC＝90°.
需证∠1＋∠2＝90°.由 DE、CE 分别平分
∠ADC、∠BCD，则需证∠ADC＋∠BCD＝180
°，从而需证 AD∥BC.
方法总结：过一点作一条直线或线段 的平行线是我们常作的辅助线．
三、板书设计 平行线的性质
两直线平行，同位角相等
{ ) 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 平行于同一条直线的两直线平行
相信自己，就能走向成功的 第一步
教师不光要传授知识，还要 看待
方法总结：平行线与角的大小关系、 直线的位置关系是紧密联系在一起的．由 两直线平行的位置关系得到两个相关角的 数量关系，从而得到相应角的度数．
探究点四：平行于同一条直线的两直 线平行
如图所示，AB∥CD.求证：∠B＋ ∠BED＋∠D＝360°.
进一步理解和总结证明的步骤、格式、方 法．了解两定理在条件和结构上的区别， 体会正逆的思维过程. 进一步发展学生的推
证 明 ： ∵DE∥AC(已 知 )， ∴ ∠ BED＝ ∠A(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )． ∵DF∥AB(已 知 )， ∴ ∠ CFD＝ ∠A(两 直 线 平 行 ， 同 位 角 相 等 )． ∴∠BED＝ ∠CFD(等量代换)．
方法总结：在已知两直线平行的前提 下，若要求证的两角不是平行线被第三条 直线所截得的角，就要借助一个中间量， 将两者联系起来．
等)，
∠ EAC＝ ∠C(两 直 线 平 行 ， 内 错 角 相
一条公路两次拐弯后和原来的方向相 等)．
同，第一次拐的角度∠B 是 130°，第二次
∵∠B＝∠C(已知)，
拐的角度∠C 是多少度？
∴∠DAE＝∠EAC(等量代换)，
二、合作探究
∴AE 平分∠CAD.
探究点一：平行线的性质定理 1
方法总结：单独考平行线某一性质的
解：∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴AD∥BC(垂
直于同一直线的两直线平行)，∴∠ADC＋
∠ BCD＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互
补)．∵DE 平分∠ADC，CE 平分∠BCD，∴
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∠1＝ ∠ADC，∠2＝ ∠BCD.∴∠1＋∠2＝
2
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1 × 180° ＝ 90° ， ∴ ∠ DEC＝ 90° ， 即 2 DE⊥CE.
理能力，培养学生的逻辑思维能力．
解析：证明本题的关键是如何使平行 线与要证的角发生联系，显然需作出辅助 线，沟通已知和结论．已知 AB∥CD，但没 有一条直线既与 AB 相交，又与 CD 相交， 所以需要作辅助线构造同位角、内错角或 同旁内角，但是又要保证原有条件和结论 的完整性，所以需要过点 E 作 AB 的平行 线．
说明 AE 平分∠CAD.
解析：要说明 AE 平分∠CAD，即∠DAE
＝∠CAE.由于 AE∥BC，根据平行线性质定
理 1 和性质定理 2 可知∠DAE＝∠B，∠EAC
一、情境导入
＝∠C.由∠B＝∠C 即可得证．
解：∵AE∥BC(已知)，
∴∠DAE＝∠B(两直线平行，同位角相
人生
从简单的几何证明(平行线的判定与性质)入 手，逐步形成一个更为清晰的证明思路，
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7．4 平行线的性质
1．理解并掌握平行线的性质公理和定
理；(重点)
2．能熟练运用平行线的性质进行简单
的推理证明．(重点)
如图，已知∠B＝∠C，AE∥BC，
题很少，通常都是平行线的性质与其他知
识的综合运用．
探究点三：平行线的性质定理 3
如图，在△ABC 中，点 D、E、F 分 别 为 BC、 AB、 AC 上 的 点 ， DE∥ AC 且 DF∥AB.求证：∠BED＝∠CFD.
解析：由 DE∥AC 可知∠BED＝∠A，由 DF∥AB 可知∠CFD＝∠A，从而可得∠BED＝ ∠CFD.
证明：如图所示，过点 E 作 EF∥AB， 则 有 ∠B＋ ∠BEF＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁内角互补)．又∵AB∥CD(已知)，∴EF∥ CD(如果两条直线都和第三条直线平行，那 么这两条直线也互相平行)，∴∠FED＋∠D ＝ 180° (两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 )． ∴∠B＋ ∠BEF＋ ∠FED＋ ∠D＝ 180° ＋ 180° (等 式 的 性 质 )， 即 ∠B＋ ∠BED＋ ∠D＝360°.