2019高三上学期二模考试数学(理)试卷

2018-2019学年度高三年级11月月考卷
理科数学试卷
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．在复平面内，复数12i
z i
-=
-对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|－1≤x<1}，则A∩B ＝( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{0，1} D ．{－1，0，1} 3．曲线x y )2
1
(=在0=x 点处的切线方程是( ) A ．02ln 2ln =-+y x
B ．012ln =-+y x
C ．01=+-y x
D ．01=-+y x 4．已知c a b 2
12
12
1log log log <<，则 ( ) A ． 2b >2a >2c B ．2a >2b >2c C ．2c >2b >2a D ．2c >2a >2b 5．sin 240° = （） A ．
12 B ．—12 C ．32 D ．— 3
2
6．如果命题p 是假命题，命题q 是真命题，则下列错误的是（） A ．“p 且q”是假命题
B ．“p 或q”是真命题
C ．“非p”是真命题
D ．“非q”是真命题
7．已知函数2tan ,0(2)log (),0
x x f x x x ≥⎧+=⎨
-<⎩，则(2)(2)4f f π
+-=
A ．
1
2
B ．12
-
C ．2
D ．一2
8．平面向量a 与b 的夹角为︒60，a ＝(2,0), |b |＝1，则 |a ＋2b |＝ A ．3
B ．23
C ．4
D ．12
9．已知
，则
等于.
A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知角α终边上一点P （-4，3），则sin()2
π
α+的值为（）
（A ）45-
（B ）35- （C ）45 （D ）3
5
11．函数f (x )＝e x ＋e －
x 的图象( )
A ．关于x 轴对
B ．关于y 轴对称
C ．关于原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
12．设向量m u v 和n v
的夹角为θ，且()()2,2,24,4m n m =-=-u v v u v ，则cos θ的值为（）
A ．
55 B ．5
5
- C ．15 D ．0
二、填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．
中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果
，那么等于__________．
14．设()[](]
20,1{ 1
1,x x f x x e x ∈=∈，则()0
e
f x dx =⎰_____．
15．在ABC ∆中，,3,3==AB C π
AB 边上的高为3
4
，则=+BC AC ________ 16．设复数1i
z i
=
-，则z =_____________． 三、解答题（本题共6个题，满分70分）
18．三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin 2sin sin a A c C a C b B +-= （1）求角B 的大小 （2）若角A 为75º，b=2，求a 与c 的值.
19．已知点)1,12(cos +x P ，点)12sin 3,1(+x Q （R x ∈），且函数OQ OP x f ⋅=)(. （1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 的最小正周期及最值. 20．（本小题满分12分）
如图，在四面体ABCD 中，BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒． （Ⅰ）证明：BD AC ⊥；
（Ⅱ）若60ABD ∠=︒，2BA =，四面体ABCD 的体积为2，求二面角B AC D --的余弦值．
21．二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f ，
（1）求)(x f 的解析式；
（2）在区间]1,1[-上，求)(x f 的最大值和最小值；
（3）在区间]1,1[-上)(x f y =的图象恒在m x y +=2图象的上方，试确定实数m 的范围． 22．已知函数x x
a
ax x f ln 3)(-+
=。

（1）2=a 时，求)(x f 的最小值；
（2）若0≥a 且)(x f 在]2,1[上是单调函数，求实数a 的取值范围。

A
B
D
18.已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且（Ⅰ）求B ；，求ABC ∆的面积. 21．
（Ⅰ）当a e =-时，求()f x 的极值；
（Ⅱ）若()f x 有2个不同零点，求a 的取值范围.
22.在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单
位.已知圆C 是以极坐标系中的点为半径的圆，直线l 的参数方程为（Ⅰ）求C 与l 的直角坐标系方程；
（Ⅱ）若直线l 与圆C 交于M ，N 两点，求MON ∆的面积.
17.（本小题满分12分）在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，
（1）求角A 的大小；（2
，求c b +的值
18.（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .
19.（本小题满分12
(1)求()x f 的单调增区间;
(2)已知ABC ∆的内角分别为,,,C B A 若且ABC ∆能够盖住的最大圆面积为π，求AB AC ⋅u u u r u u u r
的最小值.
20
．（本小题满分12(1)若()x f 在上存在单调递增区间，求a 的取值范围； (2)当20<<a 时，()x f 在[]4,1上的最小值为，求()x f 在该区间上的最大值.
21．（本小题满分12曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线斜率为0.
（1）求b ;
（2）若存在
10≥x 使得
，求a 的取值范围.
22.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程为()0cos 2sin 2>+=a a θθρ；直线l 的参数方程为（t 为参数），直线l 与曲线C 分
别交于N M ,两点.
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；
（2）若点P 的极坐标为()π，2，
，求a 的值.
17、 函数()f x a b →→
=⋅
（1）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间； （2）求函数()f x 在区间
18、 已知ABC ∆中，
（1）求角A 的大小； （2）求周长l 的取值范围.
2018-2019学年度榆树一中高三年级11月月考卷
理科数学试卷 参考答案
1．A
【解析】试题分析：()2
2121222i i i z i i i i i
--===-=+--，在复平面内复数z 对应的点为()2,1，在第一象限．故A 正确．
考点：1复数的运算；2复数与复平面内的点一一对应． 2．B
【解析】集合B 含有整数－1，0，故A∩B ＝{－1，0},故选B. 3．B
【解析】
试题分析：因为，
x y )21(=，所以，1'ln 2()2x y =-，即曲线x
y )21
(=在0=x 点处的切线的斜率为-ln2，即曲线x
y )21
(=在0=x 点处的切线方程是012ln =-+y x ，选B 。

考点：导数计算，导数的几何意义。

点评：简单题，曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。

4．A
【解析】因为函数12
()log f x x =是减函数，所以由()()()f b f a f c <<可得;b a c >>又函数2x
y =是增函数，所
以222.b a c >>故选A 5．D 【解析】
试题分析：3
sin 240sin 602
=-=-o o ，选D ． 考点：诱导公式 6．D 7．C 【解析】 8．B
【解析】1
||||cos ,2112
a b a b a b ⋅=⋅<>=⋅⋅=r r r r r r
所以22
22
|2|||44||2414123a b a a b b +=+⋅+=+⋅+⋅=r r r r r r
故选B
9．D
【解析】试题分析：因为得即，将其代入得
；将
代入
得
，所以
．
考点：同角三角函数的基本关系． 10．A 【解析】 11．B 12．A 【解析】
试题分析：1((2))(1,3)2n m n m =+-=-r u r r u r ，2(1)235
cos 52210m n m n
θ⋅⨯-+⨯==
=⨯u r r
u r r ．故选A ． 考点：向量的夹角． 13．
.
【解析】根据三角形内角和可知
，根据正弦定理
，即，所以
，
从而求得结果.
14．
【解析】()1
2
30
1
11114
| ln | 101333e
e
e f x dx x dx dx x x x =+
=+=+=⎰
⎰
⎰。

15．11 【解析】
试题分析：由三角形面积1418
3sin 602323
S AC BC AC BC =
⨯⨯=∴=o ,由三角形余弦定理得： 2222217cos 6023AC BC AC AC BC AC BC +-=∴+=o
g ()2
1716111133
AC BC AC BC ∴+=+=∴+=
考点：正余弦定理解三角形 16．
2
2． 【解析】
试题分析：因为1i z i =
-i i i i i i 212121)1)(1()1(+-=+-=+-+=，所以z =2241412
1
21=
+=+-i ，故应填2
2
． 考点：复数的基本概念及其运算． 17．①.1,3x y R =
∈；②.1xy =-或35
9
xy =. 【解析】试题分析：（1）由a 与b 共线，可得存在非零实数λ使得a ＝λb ，从而可得结论； （2）由a ⊥b 得，（2x ﹣y+1）×2+（x+y ﹣2）×（﹣2）=0，由|a|＝|b|得，（2x ﹣y+1）2+（x+y ﹣2）2=8，从而可得结
论. 试题解析： ①∵a 与b 共线，
∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，
∴⇒
②由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0 ⇒x －2y ＋3＝0.(1)
由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.(2)
解(1)(2)得
或
∴xy ＝－1或xy ＝
..
18．(1) 45B =o ,(2) 13a =+.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB 的值，
进而求得B ．
（Ⅱ）利用两角和公式先求得sinA 的值，进而利用正弦定理分别求得a 和c ．
试题解析：(I)由正弦定理得222
2a c ac b +-=由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-。

故2
cos 2
B =
，因此45B =o （II ）()
sin sin 3045A =+o o sin30cos45cos30sin45=+o o o o 26
4
+=
故sin 26
13sin 2
A a b
B +=⨯
==+ 19．（1）)(x f 2sin(2)26
x π
=+
+；（2）()f x 的最小值为0，)(x f 的最大值为4，)(x f 的最小正周期为T =π.
【解析】
试题分析：（1）利用向量的数量积和辅助角公式就可以求得解析式；（2）根据正弦函数的图象与性质就可求得正解. 试题解析：解：（1）依题意，(cos 21,1)P x +，点(1,3sin 21)Q x +，
所以,()cos 23sin 222sin(2)26
f x OP OQ x x x π
=⋅=++=++u u u r u u u r ．
（2）)(x f 2sin(2)26
x π
=+
+．
因为x R ∈，所以()f x 的最小值为0，)(x f 的最大值为4,
)(x f 的最小正周期为T =π.
考点：1、利用向量的数量积；2、辅助角公式；3、根据正弦函数的图象与性质就可求得正解. 20。

解：（1）如图，作Rt △ABD 斜边BD 上的高AE ，连结CE ．
因为BA BC =，90BAD BCD ∠=∠=︒，所以Rt △ABD ≌Rt △BCD ．可得CE BD ⊥．所以BD ⊥平面AEC ，
于是BD AC ⊥．
…………（6分）
（2）在Rt △ABD 中，因为2BA =，60ABD ∠=︒，所以4BD =，3AE =，3CE =，△AEC 的面积
3sin 2
S AEC =∠．因为BD ⊥平面AEC ，四面体ABCD 的体积2，所以13
sin 4232AEC ⋅⋅∠⋅=，sin 1AEC ∠=，
90AEC ∠=︒，所以AE ⊥平面BCD ．
z
x
y
A
B
C
D E
…………（8分）
以EB u u u r ，EC u u u r ，ED u u u r
为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．则，(1,0,0)B ，(3,0,0)D -，
设111(,,)x y z =m 是平面BAC 的法向量，则0
0AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m u u u r
u u u r
，即
设222(,,)x y z =n 是平面DAC 的法向量，则0
0AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r
u u u r ，即
，二面角B AC D --的平面角为钝角，所以二面角B AC D --
的余弦值为
21．（1）1)(2
+-=x x x f ；（2）最大值1
（3）1-<m
【解析】
试题分析：（1）求函数解析式采用待定系数法，首先设出二次函数解析式c bx ax x f ++=2
)(，代入已知条件得到关于参数,,a b c 的方程，解方程求得参数，从而得到函数解析式；（2）由解析式求得对称轴，结合函数图像确定单调性，从而求得最值；（3）将图像的上下方位置关系转化为函数值的大小关系，问题转化为不等式恒成立求参数范围问题，通过分离参数求得二次函数的最值，从而得到参数范围 试题解析：（1）由题设c bx ax x f ++=2
)()0(≠a ∵1)0(=f ∴1=c 又x x f x f 2)()1(=-+ ∴x c bx ax c x b x a 2)()1()1(22
=++-++++ ∴x b a ax 22=++∴⎩⎨⎧=+=022b a a ∴⎩⎨⎧-==1
1
b a
∴1)(2+-=x x x f
（2）当]1,1[-∈x 时，1)(2
+-==x x x f y 的最大值为1111)
1(2
=+-=f （3）当]1,1[-∈x 时，1)(2
+-==x x x f y 的图象恒在m x y +=2图象上方
∴]1,1[-∈x 时m x x x +>+-212恒成立，即0132>-+-m x x 恒成立 令m x x x g -+-=13)(2
]1,1[-∈x 时，m g x g -+⨯-==1131)1()(2min 1-=m -
故只要1-<m 即可，实数m 的范围1-<m
考点：1．二次函数解析式；2．函数最值；3．不等式与函数的转化 22．（1）2
min
ln 35)2()(-==∴f x f （2）20≤≤a
【解析】
试题分析：解：（1）2
=a 得
1
3
2min
ln 35)2()(-==∴f x f
7
（2 7
若0)(']2,1[,0<∈=x f x a 时
递减在]2,1[)(x f ∴
9
若是单调函数在且，由]1,2[)(,0)1('0x f f a <>
恒成立对]1,2[0)('∈≤∴x x f
10
即时，]1,2[03)(2
∈≤--=x a x ax x g 对恒成立时，]1,2[03)(2∈≤--=x a x ax x g
200)2(0)1(0≤<⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤>∴a g g a 即 12
综上得20≤≤a
13
18.解：（1
在ABC △中，
（21）解：（Ⅰ）当a e =-时 ()()x
f x x e e '=-，……………1分
令()0f x '=得01x =或，0x <，()0f x '>，()f x 为增函数,01x <<，()0f x '<1x >，()0f x '>，()f x 为增函数……………3分
∴()(0)1f x f ==-极大值，分 （Ⅱ）()()x
f x x e a '=+
01当0a =时，()(1)x
f x x e =-，只有个零点1x =;……………5分 0
2当0a >时，0x
e a +>
(,0)x ∈-∞，()0f x '<，()f x 为减函数,(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数 ()(0)1f x f ==-极小值而，∴当0x >，0(0,1)x ∃∈，使0()0f x =,当0x <时，∴1x e < ∴(1)1x
x e x ->-，∴，∴1()()0f x f x >=1()(0)0f x f ⋅<,∴函数有2个零点…………7分
03当0a <时，()()x f x x e a '=+,令()0f x '=得0x =，ln()x a =-
①ln()0a ->，即1a <-时,当x 变化时 ()f x ，()f x '变化情况是
∴()(0)1f x f ==-极大值,∴函数()f x 至多有一个零点，不符合题意; ……………8分
②1a =-时，ln()0a -=，()f x 在(,)-∞+∞单调递增,∴()f x 至多有一个零点，不合题意…………9分 ③当ln()0a -<时，即以(1,0)a ∈-时,当x 变化时()f x ，()f x '的变化情况是
∴0x <，0a <时∴函数()f x 至多有个零点……………11分 综上：a
的取值范围是(0,)+∞.……………12分 22.解：（1
∴圆C 的直角坐标系方程为：
l 的直角坐标系方程为：
（2）圆心到直线l
的距离为
17.解：（1 ，又()π,0∈A ，
∴
3
2π=
A ----------------------------------------------6分
（2）
3sin 21
==
∆A bc S ABC 错误!未找到引用源。

，4=∴bc ,
又由余弦定理得：bc c b A bc c b a ++=⋅-+=2
2
2
2
2
cos 2,
()162
=+∴c b ，故4=+c b ---------------------------12分
18.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 73112
1
+=+，d a a d d a a 12
12121796+=++∴，
0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分
由数列
{}n
a 的前10项和为45，得454510110
=+=d a S
，
即454590=+d d ，故3
,31
1==a d ，--------------------------------5分
故数列
{}n
a 的通项公式为
38
+=
n a n ；----------------------------------6分
()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==
+9181
998911n n n n a a b n n n -------------------8分
⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101
919n n T n Λ
999191919+=+-
=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 解：（1）()x
x x x x f 2cos 232sin 2123cos 3sin 2+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=π
⎪
⎭⎫ ⎝⎛
+=32sin πx ----------------3分 由
π
π
π
ππ
k x k 22
3
222
+≤
+
≤+-
，得Z
k k x k ∈+≤≤+-
,12125ππ
ππ
()
x f 的单调增区间为Z k k k ∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡++-,12125ππππ， -------------------5分
(2)
233sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛πA A f Θ，()π,0∈A ，3π=∴A ---------6分 ABC ∆能覆盖住的最大圆为ABC ∆的内切圆，设其半径为r ，
则有ππ=2
r ，1=r ， ----------------------------7分
由
()r c b a S ABC ⋅++=
∆21，及A
bc S ABC sin 21
=∆，得()c b a bc ++=2143，
由余弦定理，A bc c b a cos 22
2
2
-+=，得bc c b a -+=
22------------9分
bc bc bc bc c b c b bc 3223
22=+≥-+++=∴
（当且仅当c b =时等号成立）
即12≥bc --------------------------------------11分
[)1
6,,
2AB AC bc ⋅=∈+∞u u u r u u u r 当且仅当c b =时，AB AC ⋅u u u r u u u r 的最小值为6. ---------12分
20.解：(1)()a x x x f 2'2
++-=， -------------------1分
由题意得，()0'>x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛∞+，
3
2上能成立，只要()0'max >x f 即0
32'>⎪⎭⎫
⎝⎛f ，即29＋2a ＞0，得a ＞－1
9
， -------------------------5分
所以，当a ＞－19
时，()x f 在⎪⎭⎫
⎝⎛∞+，32上存在单调递增区间. ---------6分 (2)已知0＜a ＜2，()x f 在[1，4]上取到最小值－163，而()a x x x f 2'2++-=的图象开口向下，且对称轴x ＝12
，∵f ′(1)
＝－1＋1＋2a ＝2a ＞0，f′(4)＝－16＋4＋2a ＝2a －12＜0，则必有一点x0∈[1，4]，使得f′(x0)＝0，此时函数f(x)在[1，
x0]上单调递增，在[x0，4]上单调递减， --------------9分 ∵f(1)＝－13＋12＋2a ＝1
6＋2a ＞0，
∴
()=
min x f f(4)＝－13×64＋12×16＋8a ＝－403＋8a ＝－16
3
⇒a ＝1. ----------10分
此时，由
()0
2'020=++-=x x x f ⇒
2
0=x 或－1(舍去)，
所以函数f(x)max ＝f(2)＝10
3
. ------------------------------------12分
21.解：（1）
()(1)a
f x a x b
x '=
+--，由题设知 (1)0f '=,解得b 1 ------------3分
(2) f (x)的定义域为(0,),由(Ⅰ)知,
2
1()ln 2a f x a x x x -=+
-，
()()()()()[]x a x a x x a x x a x a x a x f ---=
+--=--+=11111'2
令()0'=x f ，得11=x ，
a a
x -=
12， ------------6分 当11a a ≤-时，即
1
2a ≤
，故当x (1,)时, f '(x) 0 , f (x)在(1,)上单调递增.
所以,存在0
x 1, 使得 0()1a f x a ≤
-能成立，只要(1)1a f a ≤-，即1121a a
a --<
-
所以
2
1
a
2
1; ------------8分
当11a a >-时，即112a <<，故当x (1, 1a a -)时, f '(x) <0 , x (,1a a +∞
-)时,()0f x '>,
f (x)在(1, 1a a -)上单调递减，f (x)在⎪⎭⎫
⎝⎛+∞-,1a
a 单调递增.所以存在0x 1,
使得
0()1a f x a ≤
-能成立，只要()11a a
f a a ≤
--，
而
()2
()ln 112111a a a a a f a a a a a a
=++>-----，所以不合题意. ------------10分
(ⅲ) 当1a >时，由
11(1)1221a a a
f a ---=-=<
-，成立. 综上，a 的取值范围为
()
()
21,211,-
--⋃+∞ -------------------12分
22.解：（1）由()0cos 2sin 2>+=a a θθρ，得
()0cos 2sin 22
>+=a a θρθρρ， 所以曲线C 的直角坐标方程为ax y y x 222
2+=+，
即
()()112
22+=-+-a y a x ，…………………………………………………………3分 直线l 的普通方程为2+=x y . …………………………………………………………5分
将直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=+-=t
y t x 22,22
2代入
ax y y x 2222+=+并化简、整理， 得()
0442232
=++⋅+-a t a t .……………………………………………………6分
因为直线l 与曲线C 交于M ，N 两点。

所以()
()0444223Δ2
>+-+=a a ，解得1≠a .
由根与系数的关系，得a t t 22321+=+，4421+=a t t . ………………………8分
因为点P 的直角坐标为()0,2-，在直线l 上。

所以
2
522321=+=+=+a t t PN PM ，
解得2=a ，此时满足0>a .且1≠a ，
故2=a .…………………………………………………………………………………10分 17、解：5(1)2,23
OC a b DC a b =-=-u u u r r r u u u r r r
…………6’
3
(2)4k =…………12’
18、解：
()2sin(2)1
6
f x x π
=++
2(1),[,],63
T k k k Z π
π
πππ=++∈…………6’
min max
(2),()0;,()32
6
x f x x f x π
π
=
==
=…………………12’
20、解：（1）n m //Θ0cos 32
cos 2
sin 2=-∴A A A
()π<<=∴A A 0,3tan 3π
=
∴A …………………6’
(2)由（1）32π
=
+C B 且3
22sin 32
a R A
=== ()⎪⎭⎫ ⎝⎛
+=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+=+∴6sin 3232sin sin 2sin sin 2ππB B B C B R c b
又320π<<B Θ 则6
56
6
π
π
π
<
+
<B
而周长l的取值范围为。