例谈构造解析几何模型解代数式或三角题重点

例谈构造解析几何模型解代数式或三角题
四川省高中数学省级骨干三班学员
四川省大竹中学徐天顺有些代数或三角问题，有几何背景，我们可以构造解析几何模型，化数为形，利用几何的直观性，简捷获解。

1. 构造“直线模型”
例1. 已知，求与的值。

解：因为点A、B在单位圆上，所以直线AB的斜率
设直线AB的方程为：
代入，得：
由韦达定理，得：
同理，得：
所以，
2. 构造“点到直线距离模型”
例2. 设，求证：
证明：所证不等式变形为
这可认为是点到直线的距离。

但因
故点A在圆上。

如图所示，AD⊥BC，半径，即有
所以，
3. 构造“直线与圆相切模型”
例3. 已知，求证：
证明：由已知，得点A在单位圆上
又点B也在单位圆上
过点B的切线方程为L：
把点A的坐标代入切线L的方程中，显然满足，由此知，从而A点亦为切点，由切点的唯一性知：
即：，且
所以，
4. 构造“直线与圆相交模型”
例4. 若，求满足等式的的值。

解：原等式化为
令，得方程组
直线<1>和单位圆<2>有公共点的充要条件是
即
同理得：
所以，
5. 构造“椭圆模型”
例5. 解方程：
解：将原方程配方，得：
令，即有
根据椭圆定义，它表示以（-2，0）、（4，0）为焦点，长、短半轴分别为5、4的椭圆
将代入椭圆方程中，解得
经检验，均是原方程的解。

6. 构造“双曲线模型”
例6. 已知，求证：
证明：由已知点
都在双曲线上，过点B的切线方程为，而点A也在此切点上，由切点的唯一性知，点A与点B重合。

所以
，且
所以，。