2022-2023学年湖北省宜昌市五峰土家族自治县九年级数学第一学期期末预测试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(每小题3分,共30分)
1．反比例函数
的图象位于平面直角坐标系的（ ） A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、二象限 D ．第三、四象限
2．如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）的对称轴是直线x=1，与x 轴交于A 、B （-1,0），与y 轴交于C ．下列结论错误的是（ ）
A ．二次函数的最大值为a+b+c
B ．4a-2b+c ﹤0
C ．当y ＞0时，-1﹤x ﹤3
D ．方程ax 2+bx+c=-2解的情况可能是无实数解，或一个解，或二个解.
3．已知y 是x 的反比例函数，下表给出了x 与y 的一些值，表中“▲”处的数为（ ） x 1-
1 3 y 3
3-
▲ A ．3 B ．9- C ．1 D ．1- 4．点(1,)-P k 在反比例函数y ＝
3x -的图象上，则k 的值是（ ） A ．1 B ．3 C ．﹣1 D ．﹣3
5．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝4cm ，D 为BC 的中点，若动点E 以1cm /s 的速度从A 点出发，沿着A →B →A 的方向运动，设E 点的运动时间为t 秒（0≤t ＜12），连接DE ，当△BDE 是直角三角形时，t 的值为（ ）
A ．4或5
B ．4或7
C ．4或5或7
D ．4或7或9
6．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．48（1﹣x ）2=36
B ．48（1+x ）2=36
C ．36（1﹣x ）2=48
D ．36（1+x ）2=48
7．如图，点P 是ABC ∆的边AB 上的一点，若添加一个条件，使ABC ∆与CBP ∆相似，则下列所添加的条件错误的是（ ）
A ．BPC AC
B ∠=∠ B ．A BCP ∠=∠
C ．::AB BC BC PB =
D ．::AC CP AB BC = 8．已知关于x 的一元二次方程()22110x m x m +++-=的两个根分别是1x ，2x ，且满足22123x x +=，则m 的值是
（ ）
A ．0
B ．2-
C ．0或12-
D ．2-或0
9．若点A （﹣2，y 1），B （﹣1，y 2），C （4，y 3）都在二次函数()21y x k =-++的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A ．123y y y >>
B ．321y y y >>
C ．312y y y >>
D ．213y y y >>
10．一元二次方程20ax bx c ++=中至少有一个根是零的条件是( )
A ．0c 且0b ≠
B ．0b =
C ．0c 且0b =
D ．0c
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，△ABC 中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D 在边BC 上，BD=2CD ．把△ABC 绕着点D 逆时针旋转m （0＜m ＜180）度后，如果点B 恰好落在初始Rt △ABC 的边上，那么m=_____
12．如图，是一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞的上沿是抛物线形状，当水面的宽度为10m 时，桥洞与水面的最大距离是5m ．因为上游水库泄洪，水面宽度变为6m ，则水面上涨的高度为_____m ．
13．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x +1＜2的概率是_____．
14．若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为______．
15．如图，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝34
，将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，点F 是DE 上一动点，以点F 为圆心，FD 为半径作⊙F ，当FD ＝_____时，⊙F 与Rt △ABC 的边相切．
16．P 是等边△ABC 内部一点，∠APB 、∠BPC 、∠CPA 的大小之比是5：6：7，将△ABP 逆时针旋转，使得AB 与AC 重合，则以PA 、PB 、PC 的长为边的三角形的三个角∠PCQ ：∠QPC ：∠PQC=________．
17．将抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移动到点P （﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是_____．
18．现有6张正面分别标有数字1,0,1,2,3,4-的不透明卡片，这些卡片除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗均匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使得关于x 的一元二次方程2220x x a -+-=有实数根的概率为____．
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，//AG BD ，:1:2AF FB =，:2:1BC CD =求CE ED 的值．
20．（6分）已知：在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于点D ，分别过点A 和点C 作BC 、AD 边的平行线交于点E ．
（1）求证：四边形ADCE 是矩形；
（2）连结BE ，若1cos 2
ABD ∠=，AD =23，求BE 的长． 21．（6分）已知如图所示，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOB=120°，C 是AB 的中点，试判断四边形OACB 形状，并说明理由．
22．（8分）如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4m 处跳起投篮，球运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足解析式2
y ax x c =++，当球运行的水平距离为1．5m 时，球离地面高度为2．2m ，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为2．35m ．
（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？
（2）若该运动员身高1．8m ，这次跳投时，球在他头顶上方3．25m 处出手，问球出手时，他跳离地面多高？
23．（8分）在直角三角形ABC 中，90C ∠=︒，点O 为AB 上的一点，以点O 为圆心，OA 为半径的圆弧与BC 相切于点D ，交AC 于点E ，连接AD .
（1）求证:AD 平分BAC ∠；
（2）若2,3AE CD ==，求圆弧的半径；
（3）在()2的情况下，若30B ∠=︒，求阴影部分的面积(结果保留π和根号)
24．（8分）如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，DE∥BC，DF∥AC，DE 、DF 分别交边AC 、BC 于点E 、F ，且
32AE EC =． （1）求BF FC
的值； （2）联结EF ，设BC =a ，AC =b ，用含a 、b 的式子表示EF ．
25．（10分）如图，已知△ABC 中，点D 在AC 上且∠ABD=∠C ，求证：AB 2=AD•AC ．
26．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，1），B （4，0），C （4，4）． （1）按下列要求作图：
①将△ABC 向左平移4个单位，得到△A 1B 1C 1；
②将△A 1B 1C 1绕点B 1逆时针旋转90°，得到△A 1B 1C 1．
（1）求点C 1在旋转过程中所经过的路径长．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、A
【解析】试题分析：∵k=2＞0，∴反比例函数
的图象在第一，三象限内，故选A ．
考点：反比例函数的性质．
2、D
【分析】A. 根据对称轴为1x =时，求得顶点对应的y 的值即可判断；
B. 根据当2x =-时，函数值小于0即可判断；
C. 根据抛物线与x 轴的交点坐标即可判断．
D. 根据抛物线与直线2y =-的交点情况即可判断.
【详解】A.∵当1x =时，y a b c =++，根据图象可知，0a b c ++=，正确．不符合题意；
B.∵当2x =-时，42y a b c =-+，根据图象可知，420a b c -+<，正确．不符合题意；
C.∵抛物线是轴对称图形，对称轴是直线1x =，点()1
0B -，，所以与x 轴的另一个交点A 的坐标为()30，，根据图象可知：当0y >时，13x ，正确．不符合题意；
D. 根据图象可知：抛物线与直线2y =-有两个交点，∴关于x 的方程22ax bx c ++=-有两个不相等的实数根，本选项错误，符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数与系数的关系、根的判别式、抛物线与x 轴的交点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
3、D
【分析】设出反比例函数解析式，把1
3x y =-=，代入可求得反比例函数的比例系数，当3x =时计算求得表格中未知的值.
【详解】y 是x 的反比例函数，
k y x
∴=， 1x =-，3y =，
133k xy ∴==-⨯=-，
∴当3x =时，
313
y -==-， 故选：D.
【点睛】
本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式；点在反比例函数图象上，点的横纵坐标适合函数解析式，在同一函数图象上的点的横纵坐标的积相等．
4、B
【解析】把P （﹣1，k ）代入函数解析式即可求k 的值．
【详解】把点P （﹣1，k ）代入y ＝
3x -得到：k ＝31
--＝1． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式是解题的关键．
5、D
【解析】由条件可求得AB=8，可知E 点的运动路线为从A 到B ，再从B 到AB 的中点，当△BDE 为直角三角形时，只有∠EDB=90°或∠DEB=90°，再结合△BDE 和△ABC 相似，可求得BE 的长，则可求得t 的值．
【详解】在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=4cm ，
∴AB=2BC=8cm，
∵D为BC中点，
∴BD=2cm，
∵0≤t＜12，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到AB的中点，按运动时间分为0≤t≤8和8＜t＜12两种情况，
①当0≤t≤8时，AE=tcm，BE=BC-AE=（8-t）cm，
当∠EDB=90°时，则有AC∥ED，
∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
此时AE=4cm，可得t=4；
当∠DEB=90°时，
∵∠DEB=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴BE BD
BC AB
=，即
82
48
t-
=，
解得t=7；
②当8＜t＜12时，则此时E点又经过t=7秒时的位置，此时t=8+1=9；
综上可知t的值为4或7或9，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，用t表示出线段的长，化动为静，再根据相似三角形的对应边成比例找到关于t的方程是解决这类问题的基本思路．
6、D
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，然后根据已知条件可得出方程．
【详解】∵某超市一月份的营业额为36万元，每月的平均增长率为x，
∴二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2.
∴根据三月份的营业额为48万元，可列方程为36（1+x）2=48.
故选D.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题
的一般规律.
7、D
【分析】在ABC ∆与CBP ∆中，已知有一对公共角∠B ，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误．
【详解】A ．已知∠B=∠B, 若BPC ACB ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
B ．已知∠B=∠B, 若A BCP ∠=∠，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
C ．已知∠B=∠B, 若::AB BC BC PB =，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意；
D ．若::AC CP AB BC =，但夹的角不是公共等角∠B ，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意，
故选：D ．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键．
8、C
【分析】首先根据一元二次方程根与系数关系得到两根之和和两根之积，然后把x 12+x 22转换为（x 1+x 2）2-2x 1x 2，然后利用前面的等式即可得到关于m 的方程，解方程即可求出结果．
【详解】解：∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-mx+2m-1=0的两个实数根，
∴x 1+x 2=-（2m+1），x 1x 2=m-1，
∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2-2x 1x 2=3，
∴[-（2m+1）]2-2（m-1）=3，
解得：m 1=0，m 2=12
-， 又∵方程x 2-mx+2m-1=0有两个实数根，
∴△=（2m+1）2-4（m-1）≥0，
∴当m=0时，△=5>0，当m=12-
时，△=6>0 ∴m 1=0，m 2=12-
都符合题意. 故选：C.
【点睛】
本题考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题关键是熟练掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=-
b a ，x 1•x 2=
c a
. 9、D
【分析】先利用顶点式得到抛物线对称轴为直线x =-1，再比较点A 、B 、C 到直线x =-1的距离，然后根据二次函数的性质判断函数值的大小．
【详解】解：二次函数()21y x k =-++的图象的对称轴为直线x =-1，
a =-1<0，所以该函数开口向下，且到对称轴距离越远的点对应的函数值越小， A （﹣2，y 1）距离直线x =-1的距离为1，B （﹣1，y 2）距离直线x =-1的距离为0，C （4，y 3）距离距离直线x =-1的距离为5.
B 点距离对称轴最近，
C 点距离对称轴最远，
所以213y y y >>，
故选：D.
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征.熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键． 10、D
【分析】代入0x = ，求得一元二次方程需满足的条件．
【详解】由题意得，一元二次方程存在一个根0x =
代入0x =到20ax bx c ++=中
解得0c
故答案为：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、70°或120°
【分析】①当点B 落在AB 边上时，根据DB=DB 1，即可解决问题，②当点B 落在AC 上时，在RT △DCB 2中，根据∠C=90°，DB 2=DB=2CD 可以判定∠CB 2D=30°，由此即可解决问题． 【详解】
①当点B 落在AB 边上时，
∵1DB DB =，
∴
155
B DB B
∠=∠=︒，
∴
118025570
m BDB
=∠=︒-⨯︒=︒，②当点B落在AC上时，
在2
RT DCB中,
∵∠C=90°,
22
DB DB CD
==，
∴
230
CB D
∠=︒，
∴
2120
m C CB D
=∠+∠=︒，
故答案为70°或120°.
【点睛】
本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.
12、16 5
.
【分析】先建立适当的平面直角坐标系，然后根据题意确定函数解析式，最后求解即可. 【详解】解：如图：
以水面为x轴、桥洞的顶点所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意，得A（5，0），C（0，5），
设抛物线解析式为：y＝ax2+5，
把A（5，0）代入，得a＝﹣1
5
，
所以抛物线解析式为：y＝﹣1
5
x2+5，
当x＝3时，y＝16
5
，
所以当水面宽度变为6m，则水面上涨的高度为16
5
m．
故答案为16
5
．
【点睛】
本题考查了二次函数的应用，建立适当的平面直角坐标系是解决本题的关键.
13、1 3
【分析】首先解不等式得x＜1，然后找出这六个数中符合条件的个数，再利用概率公式求解. 【详解】解：∵x+1＜2
∴x＜1
∴在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个，
∴满足不等式x+1＜2的概率是21 63 ，
故答案为：1
3
．
【点睛】
本题考查求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．
14、30°或150°
【解析】
与半径相等的弦与两条半径可构成等边三角形，所以这条弦所对的圆心角为60，而弦所对的圆周角两个，根据圆内接四边形对角互补可知，这两个圆周角互补，其中一个圆周角的度数为，所以另一个圆周角的度数为15 0.
故答案为30°或150°.
15、20
9
或
14
5
【分析】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，连接FH，则HF⊥AC，解直角三角形得到AC＝4，
AB＝5，根据旋转的性质得到∠DCE＝∠ACB＝90°，DE＝AB＝5，CD＝AC＝4，根据相似三角形的性质得到DF＝20
9
；
如图2，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，延长DE交AB于H，推出点H为切点，DH为⊙F的直径，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】如图1，当⊙F与Rt△ABC的边AC相切时，切点为H，
连接FH，则HF⊥AC，
∴DF ＝HF ，
∵Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，tan A ＝BC AC ＝34， ∴AC ＝4，AB ＝5，
将Rt △ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△DEC ，
∴∠DCE ＝∠ACB ＝90°，DE ＝AB ＝5，CD ＝AC ＝4，
∵FH ⊥AC ，CD ⊥AC ，
∴FH ∥CD ，
∴△EFH ∽△EDC ， ∴
FH CD ＝EF DE
， ∴4DF ＝55
DF ， 解得：DF ＝209； 如图2，当⊙F 与Rt △ABC 的边AC 相切时，延长DE 交AB 于H ，
∵∠A ＝∠D ，∠AEH ＝∠DEC
∴∠AHE ＝90°，
∴点H 为切点，DH 为⊙F 的直径，
∴△DEC ∽△DBH ，
∴DE BD ＝CD DH
，
∴5
7
＝
4
DH
，
∴DH＝28
5
，
∴DF＝14
5
，
综上所述，当FD＝20
9
或
14
5
时，⊙F与Rt△ABC的边相切，
故答案为：20
9
或
14
5
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．16、3：4：2
【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60o得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ ，可得△AQP是等边三角形，△QCP的三边长分别为PA,PB,PC ，由∠APB+∠BPC+∠CPA=360o,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7，可得∠APB=100o,∠BPC=120o,∠CPA=140o，可得答案.
【详解】解:如图,
将△APB绕A点逆时针旋转60o得△AQC,显然有△AQC≌△APB,连PQ,
∴AQ=AP,∠QAP=60o,
∴△AQP是等边三角形,
∴PQ=AP,
QC=PB,∴△QCP的三边长分别为PA,PB,PC,
∠APB+∠BPC+∠CPA=360o,∠APB:∠BPC:∠CPA=5:6:7,
∴∠APB=100o,∠BPC=120o,∠CPA=140o，
∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100o-60o=40o，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140o-60o=80o,
∠PCQ=180o-(40o+80o)=60o,
∴∠PCQ:∠QPC:∠PQC=3:4:2,
故答案为:3:4:2.
【点睛】
本题主要考查旋转的性质及等边三角形的性质，综合性大，注意运算的准确性.
17、y＝2（x+3）2+1
【解析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．
【详解】抛物线y ＝2x 2平移，使顶点移到点P （﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为y ＝2（x+3）2+1． 故答案为：y ＝2（x+3）2+1
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
18、56
【分析】先由一元二次方程x 2-2x+a-2=0有实数根，得出a 的取值范围，最后根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程x 2-2x+a-2=0有实数根，
∴4-4（a-2）≥0，
∴a≤1，
∴a=-1，0，1，2，1．
∴使得关于x 的一元二次方程x 2-2x+a-2=0有实数根概率为：
56. 【点睛】
考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程x 2-2x+a-2=0有实数根情况数是解决本题的关键．
三、解答题(共66分)
19、32
【分析】证明△AFG ∽△BFD ，可得
12AG AF BD FB ==，由AG ∥BD ，可得△AEG ∽△CED ，则结论得出． 【详解】解：∵//AG BD ，
∴AFG BFD △∽△， ∴12
AG AF BD FB ==． ∵2BC CD =，∴13CD BD =，∴32
AG CD =． ∵//AG BD ，∴AEG CED △∽△，∴
32GE AG ED CD ==． 【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．
20、（1）见解析；（2）27
【分析】（1）先根据已知条件证四边形ADCE是平行四边形，再加上∠ADC=90°，证平行四边形ADCE是矩形；
（2）根据
1
cos
2
ABD
∠=，得到BD与AB的关系，通过解直角三角形，求AD长，则可求EC的值，在Rt△BDE中，
利用勾股定理得BE.
【详解】（1）证明：∵AE // BC，CE // AD ∴四边形ADCE是平行四边形
∵AD ⊥BC，AB=AC
∴∠ADC=90°，
∴平行四边形ADCE是矩形
（2）解：连接DE,如图：
在Rt△ABD中，∠ADB =90°
∵
1 cos
2
ABD
∠=
∴
1
2 BD AB
=
∴设BD=x，AB=2x
∴3x
∵AD=3
∴x=2
∴BD=2
∵AB=AC，AD⊥BC
∴BC=2BD=4
∵矩形ADCE中，EC=AD=3
∴在Rt △BDE 中，利用勾股定理得BE=22BC EC +=()22423
+=27
【点睛】 本题考查了平行四边形、矩形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理、等腰三角形性质的应用，熟练掌握相关性质和定理是解决问题的关键．
21、AOBC 是菱形，理由见解析.
【分析】连接OC ，根据等边三角形的判定及圆周角定理进行分析即可．
【详解】AOBC 是菱形，理由如下：
连接OC ，
∵C 是AB 的中点
∴∠AOC=∠BOC=12
×120°=60°， ∵CO=BO （⊙O 的半径），
∴△OBC 是等边三角形，
∴OB=BC ，
同理△OCA 是等边三角形，
∴OA=AC ，
又∵OA=OB ，
∴OA=AC=BC=BO ，
∴AOBC 是菱形．
【点睛】
本题利用了等边三角形的判定和性质，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
22、（1）当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；（2）球出手时，他跳离地面3.2m ．
【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；
（2）令0x =时，则 2.25y =，进而即可求出答案．
【详解】（1）依题意得：抛物线2
y ax x c =++经过点(1.5,3.3)和(4,3.05)，
∴221.5 1.5 3.344 3.05a c a c ⎧⨯++=⎨⨯++=⎩
，解得：0.22.25a c =-⎧⎨=⎩， ∴220.2 2.250.2( 2.5) 3.5y x x x =-++=--+，
∴当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度为3.5m ；
（2）∵0x =时， 2.25y =，
∴2.250.25 1.80.2--=m ，
即球出手时，他跳离地面3.2m ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
23、（1）证明见解析；（2）2；（3）2233
π-. 【分析】（1）连接OD ，由BC 是圆的切线得到//OD AC ，利用内错角相等，半径相等，证得CAD OAD ∠=∠； （2）过点O 作OH AE ⊥，根据垂径定理得到AH=1，由3OH CD ==，利用勾股定理得到半径OA 的长； （3）根据勾股定理求出BD 的长，再分别求出△BOD 、扇形POD 的面积，即可得到阴影部分的面积.
【详解】证明：（1）连接OD ，
OA 为半径的圆弧与BC 相切于点D ，
OD BC ∴⊥，
90ODB C ∴∠=∠=︒
//OD AC ∴，
ODA CAD ∴∠=∠
又OA OD =，
ODA OAD ∴∠=∠，
CAD OAD ∴∠=∠，
AD ∴平分BAC ∠
（2）过点O 作OH AE ⊥，垂足为H ，
112
AH HE AE ∴===， 在四边形OHCD 中，90ODC C OHC ∠=∠=∠=︒ ，
∴四边形OHCD 是矩形，
OH CD ∴==，
在Rt AOH 中，2OA == ；
（3）在Rt BOD 中，30,2B OD ∠=︒=，
4OB ∴=
，BD ==
∴122
BOD S =⨯=60BOD ∠=︒，
260223603POD
S ππ⨯∴==扇形， 2
3
=BO P D D O S S S
π∴-=扇形阴影. 【点睛】
此题考查切线的性质，垂径定理，扇形面积公式，已知圆的切线即可得到垂直的关系，圆的半径，弦长，弦心距，根据勾股定理与垂径定理即可求得三个量中的一个. 24、 (1)见解析；（2）EF =
25b ﹣35a ． 【解析】（1）由32
AE EC = 得25EC AC =，由DE//BC 得25BD EC AB AC ==，再由DF//AC 即可得； （2）根据已知可得35CF a =- ，25
EC b = ，从而即可得. 【详解】（1）∵32
AE EC = ， ∴25EC AC =， ∵DE//BC ，∴25
BD EC AB AC ==， 又∵DF//AC ，∴25
BF BD BC AB == ； （2）∵25
BF BC =，∴35FC BC =， ∵BC a =，CF 与BC 方向相反 ， ∴35
CF a =- ， 同理：25
EC b = ， 又∵EF EC CF =+，∴2355EF b a =-.
25、证明见解析.
【解析】试题分析：利用两个角对应相等的两个三角形相似，证得△ABD∽△ACB，进一步得出，整理得出答案即可．
试题解析：∵∠ABD=∠C，∠A是公共角，
∴△ABD∽△ACB，
∴AB AD AC AB
=，
∴AB2=AD•AC．
考点：相似三角形的判定与性质．
26、（1）①见解析；②见解析；（1）1π．
【分析】（1）①利用点平移的坐标规律，分别画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点可得△A1B1C1；
②利用网格特点和旋转的性质，分别画出点A1、B1、C1的对应点A1、B1、C1即可；
（1）根据弧长公式计算．
【详解】（1）①如图，△A1B1C1为所作；
②如图，△A1B1C1为所作；
（1）点C1在旋转过程中所经过的路径长＝904
2 180
π
π
⨯
=
【点睛】
本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移的性质．。