(解析版)黑龙江省2018届高三高考仿真模拟(六)考试数学

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（六）
文科数学
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案
【详解】阴影部分表示的集合为，
故选
【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题
2. 已知复数的共轭复数，则复数的虚部是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用复数乘除运算化简，求得后得到答案
【详解】
则
则复数的虚部是
故选
【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算以及复数的基本概念，属于基础题。

3. 设为等比数列的前项和，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设等比数列的公比为，利用可以求出，再根据等比数列的前项和公式可得到结果
【详解】设等比数列的公比为
，解得
则
故选
【点睛】这是一道关于等比数列的题目，解答此题的关键是熟知等比数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题
4. 已知，表示两个不同平面，，表示两条不同直线.对于下列两个命题：
①若，，则“”是“”的充分不必要条件；
②若，，则“”是“且”的充要条件.
判断正确的是（）
A. ①，②都是真命题
B. ①是真命题，②是假命题
C. ①是假命题，②是真命题
D. ①，②都是假命题
【答案】B
【解析】
解：由α，β表示两个不同平面，a，b表示两条不同直线，知：
①若b⊂α，a⊄α，则“a∥b”⇒“a∥α”，
反之，“a∥α”推不出“a∥b”，
∴“a∥b”是“a∥α”的充分不必要条件，故①是真命题．
②若a⊂α，b⊂α，则“α∥β”⇒“α∥β且b∥β”，
反之，“α∥β且b∥β”，推不出“α∥β”，
∴“α∥β”是“α∥β且b∥β”的充分不必要条件，故②是假命题．
故选：B．
5. “吸烟有害健康，吸烟会对身体造成伤害”，哈尔滨市于年月日规定室内场所禁止吸烟.美国癌症协会研究表明，开始吸烟年龄（）分别为岁、岁、岁和岁，其得肺癌的相对危险度（）依次为、、、、；每天吸烟（）支、支、支者，其得肺癌的相对危险度（）分别为、和.用表示变量与之间的线性相关系数，用
表示变量与之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意知，相关系数是负相关，相关系数是正相关，由此得出结论.
【详解】根据题意，开始吸烟年龄（）岁与其得肺癌的相对危险度（）是负相关关系，所以；
每天吸烟（）支与其得肺癌的相对危险度（）是正相关关系，所以.
.
故选：D.
【点睛】本题考查了判断线性相关系数的应用问题，是基础题. 判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图，根据散点图很容易看出两个变量之间是否具有相关性，是不是存在线性相关关系，是正相关还是负相关，相关关系是强还是弱．
6. 执行如图所示的算法框图，输出的值为（）
........................
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
第1次判断后S=1，k=1，
第2次判断后S=2，k=2，
第3次判断后S=8，k=3，
第4次判断后3<3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8.
故选C.
7. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体是（）
A. 三棱锥
B. 三棱柱
C. 四棱锥
D. 四棱柱
【答案】A
【解析】
【分析】
作出几何体的直观图进行判断
【详解】
由于三视图均为三角形，作出几何体的直观图如图所示，故几何体为三棱锥
故选
【点睛】本题是一道基础图，主要考查了简单空间图形的三视图，作出几何体的直观图即可得到答案
8. 已知，，，则，，的大小关系是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
,,,所以,选D.
9. 已知实数，满足，若的最小值为，则实数的值为（）
A. B. 或 C. 或 D.
【答案】D
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，分类讨论求得最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数即可得到答案
【详解】由作出可行域如图：
联立，解得
联立，解得
化为
由图可知，当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即
当时，直线过时在轴上的截距最大，有最小值为，即
综上所述，实数的值为
故选
【点睛】本题主要考查的是简单线性规划，本题有两个易错点，一是可行域错误；二是不能正确的对进行分类讨论，根据不同情况确定最优解，利用最小值求解的值，并确定是否符合题意，线性规划题目中含有参数的问题是常考题
10. 设函数，给出下列四个命题：
①当时，是奇函数；
②当，时，方程只有一个实数根；
③函数可能是上的偶函数；
④方程最多有两个实根.
其中正确的命题是（）
A. ①②
B. ①③
C. ②③④
D. ①②④
【答案】A
【分析】
利用函数的解析式结合奇偶性，单调性的定义逐一考查所给函数的性质即可求得结果
【详解】①当时，函数
，则函数是奇函数，故正确
②当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确
③若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误
④当，时，方程有三个实根：，
因此，方程最多有两个实根错误
综上所述，正确的命题有①②
故选
【点睛】对于函数的奇偶性和单调性的判断，利用定义法来证明，对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可以利用函数的值域或者最值，结合函数的单调性，草图确定其中参数的范围。

11. 已知抛物线：，焦点为，直线：，点，线段与抛物线的交点为，若，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设，，且，由，确定出，的坐标，即可求得结果
【详解】由抛物线：，可得
设，，且
，
，解得
，
故选
【点睛】本题主要考查的是抛物线的标准方程，几何性质以及向量的坐标运算，属于中档题12. 已知是函数的导数，满足，且，设函数的一个零点为，则以下正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出的表达式，得到的表达式，求出和的值，从而求出的范围
【详解】设
则满足
，
则，
，
即在上存在零点
故选
【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性以及函数零点的判定定理，构造出
的函数尤为重要，最后运用零点的存在定理进行判定
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上）
13. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则
的最小正值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求出平移后的解析式，根据余弦函数的对称轴公式列出方程解出
【详解】
将向右平移个单位长度后得到
函数
的图象关于直线对称
解得
当时，取得最小正值为
故答案为
【点睛】本题主要考查的是函数的图像变换以及三角函数的应用，易错点有两个方面：一是三角函数图象平移法则应用错误；二是不会利用对称轴进行转化，纠错方法是正确理解三角函数“左加右减，上加下减”的平移法则，熟记正弦函数，余弦函数的对称轴求解方法，并通过训练提高应用能力
14. 抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，，那么直线的斜率的概率是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数，再求出满足直线的斜率的基本事件个数，由此得到答案
【详解】抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为，，
基本事件总数
直线的斜率
满足直线的斜率的基本事件有：
，共个
直线的斜率的概率
故答案为
【点睛】本题主要考查的是事件与概率和古典概型，应用列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属于基础题。

15. 、分别为双曲线左、右支上的点，设是平行于轴的单位向量，则的最小值为__________．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据向量数量积的定义结合双曲线的性质进行求解即可
【详解】
由向量数量积的定义可知即向量在向量上的投影模长的乘积，故求的最小值，即求在轴上的投影的绝对值的最小值，
由双曲线的图象可知的最小值为
故答案为
【点睛】本题有两个易错点：一是不理解向量投影的概念，导致无法求解；二是不能结合双曲线图象求解，突破方法是强化数形结合在解题中的应用。

16. 已知数列中，对任意的若满足（为常数），则称该数列为阶等和数列，其中为阶公和；若满足（为常数），则称该数列为阶等积数列，其中为阶公积.已知数列为首项为的阶等和数列，且满足；数列为公积为的阶等积数列，且，设为数列的前项和，则__________．
【答案】
【解析】
试题分析：由题意可知，，，，，，，，，，
，，，，……，又∵是4阶等和数列，因此该数列将会照此规律循环下去，同理，，，，，，，，，，
，，，，……，又∵是3阶等积数列，因此该数列将会照此
规律循环下去，由此可知对于数列，每12项的和循环一次，易求出
，因此中有168组循环结构，故，故填：．
考点：1．新定义问题；2．数列求和．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知向量，，.
（1）求的最大值，并求此时的值；
（2）在中，内角，，的对边分别是，，，满足，，，求
的值.
【答案】(1) ，时，的最大值为 (2)
【解析】
【分析】
⑴利用向量数量积的坐标结合降幂公式及辅助角公式化简求得，进一步求得函数的最大值，并求得使函数取得最大值的的值
⑵由⑴中的解析式结合求得，再由余弦定理求得，最后由正弦定理求得答案
【详解】（1），
当，，即，时，
的最大值为.
（2）∵，
∴，
∵，∴，∴，
∴，在中，由余弦定理得，
，∴，在中，由正弦定理得，
，∴.
【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算以及正弦定理和余弦定理，在化简过程中注意辅助角公式的运用和求最值时的方法
18. 如图，在四棱柱中，，，，，，，侧棱底面，是上一点，且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，利用得出，又，故而，于是
平面；
（2）过作于，连接，则可证明平面，于是是直线与平面所成的角，求出和即可求出线面角的正弦值.
【详解】（1）证明：连接，
在底面中，由题可知，且相似比为，
所以.
又因为，所以.
又因为面，面，
所以平面.
（2）过作于G，则四边形是矩形，
，，
过作于F，连接BF，
平面,平面，
，
又,、平面，
平面，
是直线与平面所成的角，
，
,
,
.
【点睛】本题考查了线面平行的判定，线面角的计算，作
出线面角是解题关键.
19. 某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考生中随机抽取名考生，统计他们的数学成绩，部分数据如下：
（1）补充完成上述表格的数据；
（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有考生中随机抽取名，求至少有名成绩为等的概率.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
【分析】
（1）根据频率，即可求出相应数据；
（2）用分层抽样可得A、B分别抽取到的人数为4人、3人，列举可得总的基本事件共21个，由概率公式可得.
【详解】（1）
（2）成绩为等的考生应抽名，分别记为，，，，
成绩为等的考生应抽名，分别记为，，，
从这名中抽取名，有如下种抽法：
，，，，，；，，，，；，，，
；，，，，；.
其中至少有名成绩为等的有如下种抽法：
，，，，，；，，，，，，，，
；，，.
∴至少有名成绩为等的概率为.
【点睛】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，属基础题.
20. 已知椭圆：经过点，且离心率为，，是椭圆的左，右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点，是椭圆上关于轴对称两点（，不是长轴的端点），点是椭圆上异于，的一点，且直线，分别交轴于点，，求证：直线与直线的交点在定圆上.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
⑴将椭圆经过的点代入椭圆方程中，利用椭圆离心率得到，的关系，求得椭圆的方程
⑵将，，三点的坐标表示出来，然后表示出直线，的方程，得到，两点的坐标，
，所以，题目得证
【详解】（1）由条件得，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，，则，
直线的方程为，
令，得，
故，同理可得，
，
，
所以，
，
所以，，所以直线与直线交于点在以为直径的圆上.
【点睛】本题主要考查的是圆锥曲线点在定圆上，其方法是设而不求，给出点坐标，用含点
坐标表示出直线方程，为证明点在定圆上则做出向量的点乘证明垂直，通过几何意义得出圆，本题有一定的计算量。

21. 设，.
（1）如果存在使得成立，求满足上述条件的最大整数；
（2）如果对于任意的，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）存在使得成立转化等价于；（2）对于任意的，都有成立，等价于，进一步利用分类参数法，即可求解实数的取值范围．
试题解析：（1）存在使得成立，等价于
由，得，
故在单调递减，在单调递增，所以，
故，则满足条件的最大整数
（2）依题有，在上函数
由（1）可知，在上，
在上，恒成立等价于恒成立．
设可知，在上是减函数，又，
所以当时，，当时，
即函数在上单调递增，在上单调递减，所以，
即实数的取值范围为
考点：利用导数研究函数的最值；函数的恒成立问题的求解．
【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、函数的恒成立问题的求解，解答中把存在使得成立转化等价于
和
对于任意的，都有成立，等价于是解答本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力、转化与化归思想的应用，属于中档试题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，.
（1）求的直角坐标方程；
（2）曲线的参数方程为（为参数），求与的公共点的极坐标.
【答案】(1) (2)
【解析】
试题分析：（1）利用公式化简极坐标方程得到；（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为的直线，将代入，解得：，故公共点的极坐标为.
试题解析：
（1）将代入得：.
（2）由题设可知，是过坐标原点，倾斜角为的直线，
因此的极坐标方程为划，
将代入，解得：，
将代入得，不合题意，故公共点的极坐标为．
考点：坐标系与参数方程.
23. 选修4-5：不等式选讲
设，，均为实数.
（1）证明：，.
（2）若.证明：.
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
试题分析：（1）根据两角和余弦公式和绝对值的性质及即可证明；（2）由（1）得，由
即可证明．
试题解析：（1）；
（2）由（1）知，，
而，故
考点：1.绝对值不等式；2.两角和的余弦公式．。