基于GIS的空间插值方法研究

收稿日期:2004-01-05
作者简介:朱求安(1979-),男,硕士研究生,主要从事遥感与地理信息系统及其应用等方面的研究.文章编号:1000-5862(2004)02-0183-06
基于GIS 的空间插值方法研究
朱求安, 张万昌, 余钧辉
(南京大学国际地球系统科学研究所,江苏南京 210093)
摘要:对地理信息系统空间数据分析中的空间数据插值方法从广义的角度分为点的插值和面的插值进
行了论述,讨论了点与面的各种插值方法的理论基础、算法以及应用方式,并对空间插值的应用与推广及
相关的问题进行了阐述.指出在运用空间插值方法时,要得到理想的空间插值效果,必须针对不同研究区
的实际情况,对实测数据样本点进行充分分析,反复试验比较,以选择最佳的方法,并在运用一般插值方
法的基础上,依据自身需要及学科的特点,对插值方法进行改进,进而提出适合各学科研究的更优的空间
插值方法.
关键词:空间插值;插值;分类;算法
中图分类号:P 392 文献标识码:A
随着GI S 和计算机技术的不断发展,以及人们在研究工作中对空间高质量数据的要求,空间数据插值应用越来越广,受到人们的高度重视.空间数据的插值即对一组已知空间数据,可以是离散点的形式,也可以是分区数据的形式,要从这些数据中找到一个函数关系式,使该关系式最好地逼近已知的空间数据,并能根据该函数关系式推求出区域范围内其它任意点或任意分区的值[1].
空间位置上越靠近的点,越可能具有相似的特征值;而距离越远的点,其特征值相似的可能性越小,这是空间插值技术最基本的理论假设,在此基础上形成了各种各样的插值方法.一般的,以下情况会用到空间插值[2]:(1)现有的离散曲面的分辨率,像元大小或方向与所要求的不符,需要重新插值.(2)现有的连续曲面的数据模型与所需的数据模型不符,需要重新插值.如将一个连续的曲面从一种空间切分方式变为另一种空间切分方式,从TIN 到栅格、栅格到TI N 或矢量多边形到栅格.(3)现有的数据不能完全覆盖所要求的区域范围,需要插值.如将离散的采样点数据内插为连续的数据表面.
空间插值方法的主要目标[3]:(1)对不足或缺失数据的估计.由于观测台站分布的密度及分布位置的原因,不可能任何空间地点的数据都能实测得到,需要用到插值,以了解区域内观测变量的完整空间分布;(2)数据的网格化.规则格网能够更好地反映连续分布的空间现象,并对他们的变化作出模拟.对已知观测台站的观测数据进行空间内插,便可得到格网化数据;(3)内插等值线.以等值线的形式直观地显示数据的空间分布;(4)对不同分区未知数据的推求.进行空间插值时,一般包括以下过程:(1)空间插值数据源的获取;(2)对数据进行分析,找出源数据的分布特性、统计特性,便于选择最恰当的插值方法;(3)插值方法的选择并进行插值计算;(4)对插值结果的评价;(5)运用多种插值方法进行计算,对各种方法的插值结果进行比较、分析并选择最佳的插值方法.
1 空间插值方法的分类
空间插值方法依据不同的标准,有多种不同的分类方法.黄杏元[1]等依据已知点和已知分区数据的不同,可将空间数据插值分为点的内插和区域的内插,邬伦等[2]
则对应分为空间内插和外推两种:空间内插算法是一种通过已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法;空间外推算法则是通过已知区域的
第28卷第2期
2004年3月 江西师范大学学报(自然科学版)JOURNAL OF JIANGXI NORMAL UNIVERSI TY(NATURAL SCIE NCE)Vol.28No.2 Mar.2003
数据,推求其它区域数据的方法.李新[3]等依据空间插值的基本假设和数学本质将空间内插分类为:几何方法、统计方法、空间统计方法、函数方法、随机模拟方法、物理模型模拟方法和综合方法.Nigel.M.Waters在他的文章中对各种分类方法进行了概括,包括[4,5]:(1)点的插值和面的插值;(2)全局性插值与局部性插值;(3)精确插值和近似插值;(4)统计性插值和确定性插值;(5)渐变插值和突变插值.并指出,对于点的插值包括:最近距离法插值,如泰森多边形法,B样条插值,Kriging插值,在经验知识基础上的手工目视插值,趋势面分析法,傅立叶变换及移动距离权重平均法等.对于面的插值(区域插值)计算,根据在插值过程中是否采用辅助数据将其分为两类:无辅助数据的面插值法和有辅助数据的面插值法.
2空间插值算法
本文将空间插值方法分为点的插值和面的插值进行论述.
2.1点的插值
点的插值是研究具有连续变化特征现象的数值内插方法[1],指依据空间已知点的数据推求同一区域其它未知点数据的计算方法,可分为局部插值和整体插值.
2.1.1局部插值法(1)泰森(Thiessen)多边形方法泰森多边形法是荷兰气象学家A.H.Thiessen提出的一种根据离散分布的气象站的降水来计算平均降水的方法[7],用泰森多边形内所包含的一个唯一气象站的降水来表示这个多边形区域内的降水.泰森多边形按数据点位置将区域分割成子区域,每个子区域包含一个数据点,各子区域到其内数据点的距离小于任何到其它数据点的距离,并用其内数据点进行赋值.泰森多边形法的一个隐含的假设是任何地点的气象数据均使用距它最近的气象站的数据.用泰森多边形插值方法得到的结果图变化只发生在边界上,在边界内都是均质的和无变化的.在泰森多边形法的基础上发展了一种加入权重因子的泰森多边形法,基本原理[8]:是由加权产生未知点的最佳插值,即由邻近点的各泰森多边形属性值与它们对应未知点泰森多边形的权值(如面积百分比)的加权平均得到.
(2)反距离加权法反距离加权法是以插值点与样本点之间的距离为权重的插值方法,插值点越近的样本点赋予的权重越大,其权重贡献与距离成反比.可表示为
Z=6n i=11(D i)p Z i/6n i=11(D i)p.
其中Z是插值点估计值,Z i(i=1+n)是实测样本值,n为参与计算的实测样本数,D i为插值点与第i 个站点间的距离,p是距离的幂,它显著影响内插的结果,它的选择标准是最小平均绝对误差.当取p=2时,即称作反距离平方加权法.
(3)移动拟合法移动拟合法通常取待定点作为平面坐标的原点,以待定点为圆心或中心作一个圆或矩形窗口,对每一个待定点取用一个多项式曲面拟合该点附近(窗口内)的地表面,也可以在局部范围内(窗口内)计算多个数据点的平均值[1,8].其中窗口的大小对内插结果有着决定性的影响,小窗口将增强近距离数据的影响,大窗口将增强远距离数据的影响,减小近距离数据的影响[8].
依据空间位置上越靠近的点,越可能具有相似的特征值;而距离越远的点,其特征值相似的可能性越小的原则,在作移动拟合法插值时,以数据点到点的距离给予适当的权重,权的值应与距离成反比,间距越近,对待求点测定值的影响应越大,常用的权重形式有:
W i=1
d i
,W i=
R-d2i
d i
,W i=e-d2i/R2.
其中d i为待定点到数据点i间的水平距离,R为定义函数待定参数时所求的圆半径.
(4)线性内插利用最为靠近待定点的3个数据点进行插值计算.线性内插的多项式函数为Z=a0+ a1x+a2y,只要将内插点周围的3个数据点的数据值代入多项式,即可得到系数.
(5)双线性多项式插值利用最为靠近待定点的四个数据点进行插值计算.双线性内插的多项式函数为Z=a0+a1x+a2y+a3xy,只要将内插点周围的4个数据点的数据值代入多项式,即可得到系数.双线性内插方法的优点是数据重采样后的结果较为平滑,没有阶跃效应,同时具有较高的精度.缺点是网格被平均184江西师范大学学报(自然科学版)2004年
化,具有低频滤波的效果;边缘被平滑,有些极值丢失了[3].
(6)样条函数 样条函数是数学上与灵活曲线规对等的一个数学等式,是一个分段函数,进行一次拟合只有少数点拟合,同时保证曲线段连接处连续.这就意味着样条函数可以修改少数数据点配准而不必重新计算整条曲线.线性和曲面样条函数都在视觉上上得到了令人满意的结果.样条函数的一些缺点是:样条内插的误差不能直接估算,同时在实践中要解决的问题是样条块的定义以及如何在三维空间中将这些/块0拼成复杂曲面,又不引入原始曲面中所没有的异常现象等问题[2].
样条函数的种类很多,最常用的有B 样条、张力样条和薄盘样条等.
(7)克立格(Kriging )插值法 克立格法由南非地质学家克立格(D.G.Krige)于1951年提出,1962年法国学者马特隆(G.Matheron)引入区域化变量概念,进一步推广和完善了克立格法[9,10].这个方法最初用于矿山勘探,并被广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域,成为GIS 软件地理统计插值的重要组成部分.这种方法充分吸收了地理统计的思想,认为任何在空间连续性变化的属性是非常不规则的,不能用简单的平滑数学函数进行模拟,可以用随机表面给予较恰当的描述.这种连续性变化的空间属性称为/区域性变量0,可以描述象气压、高程及其它连续性变化的描述指标变量.地理统计方法为空间插值提供了一种优化策略,即在插值过程中根据某种优化准则函数动态的决定变量的数值.Kriging 插值方法着重于权重系数的确定,从而使内插函数处于最佳状态,即对给定点上的变量值提供最好的线性无偏估计.
对于普通克立格法,其一般公式为Z(x 0)=
6n i=1K i Z(x i ),其中,Z (x i )(i =1,+,n)为n 个样本点的观测值,Z(x 0)为待定点值,K i 为权重,权重由克立格方程组
6
n i=1K i C (x i ,x j )-L =C (x i ,x 0),
6n i=1
K i =1
,决定,其中,C(x i ,x j )为测站样本点之间的协方差,C(x i ,x 0)为测站样本点与插值点之间的协方差,L 为拉格朗日乘子.插值数据的空间结构特性由半变异函数描述,其表达式为
C (h)=12N (h)6N(h)i=1
(Z (x i )-Z(x i +h))2,其中,N(h)为被距离区段分割的试验数据对数目,根据试验变异函数的特性,选取适当的理论变异函数模型.根据试验半变异函数得到的试验变异函数图,从而确定出合理的变异函数理论模型.基本的变异函数理论模型包括有基台值的理论模型和无基台值的理论模型.有基台值的理论模型包括:纯块金效应模型;球状模型,空间相关随距离的增长逐渐衰减,当距离达到某一值(变程)后,空间相关消失;指数模型,空间相关随距离的增长以指数形式衰减,相关性消失于无穷远;高斯模型,空间相关随距离的增长而衰减,相关性消失于无穷远[3,11]
.线性模型,空间可变性随距离的增长而呈线性地增长,不会在某一距离稳定下来.无基台值的理论模型包括:幂函数模型和对数模型.
除普通Kriging 方法外,还有泛克立格法(Universal Kriging)、指示克立格法(Indicate Kriging)、析取克立格法(Disjunctive Kriging)等.另外,在Kriging 方法基本原理的基础上,发展了协同克立格法(Cokriging),它通过考虑一个以上变量及变量之间的关系而优化估计.
2.1.2 整体插值 (1)趋势面分析.某种地理属性在空间的连续变化,可以用一个平滑的数学平面加以描述,即用已知采样点数据拟合出一个平滑的数学平面方程,再根据该方程计算无测量值的点上的数据.这种只根据采样点的属性数据与地理坐标的关系,进行多元回归分析得到平滑数学平面方程的方法,称为趋势面分析.它适用于:能以空间的视点诠释趋势和残差;观测有限,内插也基于有限的数据.趋势面是个平滑函数,很难正好通过原始数据点,除非是数据点少且趋势面次数高才能是曲面正好通过原始数据点,所以趋势面分析是一个近似插值方法.(2)变换函数插值法.根据一个或多个空间参量的经验方程进行整体空间插值[2],这种经验方程称为变换函数.变换函数插值法属于近似的空间插值.(3)多元回归分析.多元回归在各种统计方法中,使用较多的是回归分析,其特点是不需要分布的先验知识.多元回归在数学形式上与趋势面185第2期朱求安,等:基于GIS 的空间插值方法研究
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很相似,但是它们又有着显著的不同.在多元回归中,存在多重共线性,但它并非内在的,可以通过逐步回归解决.(4)其它.傅里叶级数法,对于周期性的数据序列,如海浪,可以利用傅里叶级数将它们分解为正弦波和余弦波.小波变换方法,小波分析是傅立叶分析发展的重大突破,并已经从傅立叶分析独立出来.傅里叶级数和小波变换方法它们特别是在遥感影象分析方面应用广泛,但它们需要的数据量大.
2.2面的插值(区域插值)
面插值是在一种分区系统中各统计单元的值,求同一研究区内在另一种分区系统下各统计单元的值,在两种分区系统中各统计单元的边界一般是不兼容的.这两种分区系统分别称为源区(Sourcezones)和目标区(Targetzones)[6,11].面插值一般应用于社会经济数据的统计中,如对人口数据的统计等.以下的一些情况常常涉及到面的插值计算[6]:当研究某地区某一统计变量随时间的变化时,由于历史原因在不同历史阶段研究区的单元分区系统发生改变,而在作比较时必须统一到同一个分区系统下进行才有意义;或由于各种统计值由不同的统计部门进行统计而引起,各部门为了不同的目标往往对同一研究区域的统计单元的划分是不同的,例如人口统计值往往是根据不同的行政区域进行统计,而要获得其它分区系统中(如农业区划、流域区划等)各单元的人口时,最好的解决办法是从已有的以行政单元为基础人口统计值采用面域插值方法计算获得;或如果源区某单元是由目标区的某几个单元组成,在只有源区该单元的统计值的情况下,要获得组成该单元的目标区各单元的值也需要用面插值方法.面插值方法主要有:
2.2.1叠置法(1)基于点的面插值法.这种方法是Lam[12]所提出的,它是基于点对多边形的插值.其算法步骤为:计算每一个源区统计单元中的平均研究要素数据密度;为每一个源区统计单元确立一个质点;为每个质点赋予该质点所在统计单元的研究要素数据密度值;使用这些质点内插一个规则网格的研究要素数据密度表面;计算每一个网格的研究要素数据值;将目标区与规则网格叠加;计算目标区各统计单元的研究要素数据.(2)面域比重法.面域比重法是一种统计变量值保持一致的方法,它是基于多边形对多边形的分析方法,即多边形叠加分析[11].其算法步骤为:假定研究要素数据在源区分布是均匀的,计算每个源区单元的研究要素数据密度;将源区与目标区进行叠加,其边界相交形成重叠区域;根据重叠区域面积及计算的源区单元研究要素数据密度来计算目标区单元的研究要素数据.(3)使用控制区的面域比重法.Goodchild等为了克服简单面域插值中的缺陷而提出的一种方法[13],当源区和目标区内的研究要素数据密度都不均匀时,引入了控制区的概念,假设有一个中间单元区称为控制区,它的研究要素数据密度是均质的,可以通过控制区作为中间步骤获得目标区的研究要素数据估计.先将源区与控制区叠加,在已知源区的研究要素数据和叠加的区域面积的情况下,可经求得控制区的研究要素数据密度.将控制区与目标区叠加,便可以求得目标区的研究要素数据.
2.2.2Pycnophylactic插值法Tober[14]于1979年提出了该方法,有的文献中称作比重法[1].这种方法的处理方法是:在面状统计区上叠加一个密度栅格图,格网尺寸的大小应保证具有足够的内插精度;对每个统计单元计算每个栅格的平均研究要素数据;并计算每个栅格周围临近栅格的平均值,用该平均值来代替原来栅格中的值;计算经过平滑后各统计单元的研究要素数据;对比前后两次总研究要素数据,看其是否相等,若不等则调整所有栅格的值以保证每个统计单元的研究要素数据总数保持不变并重复上述步骤,直到对每个单元来说平滑和调整的数值之间没有显著差别.
2.2.3有辅助数据的面插值法有辅助数据的插法即在叠置法的基础上加入辅助变量信息,并参与叠置分析.辅助变量可分成两类:限制变量和相关变量.限制变量严格定义事件的发生与否,相关变量表明事件发生之间的关系.如对人口数据统计而言,水体部分不会有人口分布,在不同的土地利用和覆盖类型下,人口的分布状况也会不同,将土地利用及覆盖类型与所要统计的数据叠加,在加入类似的辅助数据后,再对所研究的数据进行插值统计计算.类似的辅助信息可以从遥感影像上提取等.
面插值问题上还有很多其它的方法,如运用人工神经网络的方法进行面插值等[15].
3空间插值方法的应用与推广
在对自然科学及社会学科的数据处理中,空间插值往往是一个必不可少的工具,尤其在水文、气象气
候、生态、环境、地质等地学学科以及社会、经济等领域得到了广泛的应用.
数字地面模型是地学研究中重要的分析工具之一,它的生成便依赖于空间插值方法;在气象气候学中,气象要素(如降水、温度、太阳辐射等)在空间尺度上连续分布的数据,对各类模型的研究有着重要意义[16]
,因为各种气象要素的观测站分布往往是稀疏而不均匀的,在各个台站观测的点数据基础上,要推算出空间面上气象要素的分布,空间插值方法是有力的工具;在生态学上,空间插值可以用来估算生物种群的分布情况,为病虫害的防治与综合治理等方面提供了理论和实践基础[17];在地质学上,空间插值方法是探矿及矿藏分布情况的有力分析工具,可以对土壤及所含各种元素的分布情况作出估算[18,19],为生产实践提供支持;可以为环境污染情况及扩散的分析提供辅助手段[20,21];除了地学上,空间插值方法在社会、经济等方面也得到了很好的应用,也渗透到了其它的学科,如医学上通过空间插值构建复杂性动态脑地形图,对一些脑疾病患者脑电数据进行分析[22]等.
在空间插方法应用于各种学科领域中的同时,各学科领域依据自身的特点和需要,在基本的插值方法基础上发展了许多适用于各学科自身的插值方法,如:在气象要素插值上发展起来的PRISM 插值方法和GIDS 插值方法.PRISM (Parameter -elevation Regressions on Independent Slopes Model)方法是由美国气象学家Christopher Daly 提出的一种基于地理空间特征和回归统计方法生成气候图的插值模型[23],GIDS(Gradient plus inverse distance squared,GIDS)梯度平方反比法是由Nalder 等1998年提出的,它在距离权重的基础上考虑了气象要素随海拔和经纬向的梯度变化[16,16],两种方法在世界各种地区的气象要素插值中都得到了很好的运用.4 空间插值中问题讨论
(1)样本点的数量.一般地,取样点数量越多,则插值的准确性越高,表面也就越接近模型.但是,对生成任意表面的样品往往有数量的限制.最终,达到一个收益递减的临界点,即使有更多的点也不能充分地改善输出的质量,而在实际上增加了计算时间和数据容量[27].在某些情况下,太多的数据可能会产生无用的结果.因为在数据容易采集区内的数据点群可能产生奇异的表面,从而导致精度的差别.换句话说,有更多的数据点并不一定总是提高准确性.控制点或目标点的数量常常是表面特性的函数.表面越复杂,绘图需要的点就越多.但是对于个别感兴趣的重要要素来说,比如洼地和河谷等,我们必须使用更多的点以保证获得必要的细节.
(2)样本点的位置.取样点的位置在空间插值有着重要的影响.当数据点相关且均匀分布时,能更好地反映研究要素在空间的分布特征,对于源数据的分析和插值方法的选择有很大的帮助;当数据点成群或不均匀分布时,难以很好地反映研究要素在整个空间分布特征,可能会造成插值结果的不合理.取样时,尽量使样本点均匀分布.
5 总结
数字模型及其与地理信息系统的集成将是第四代地理信息系统研究中的最重要的问题之一[28],而空间插值模型是数字模型的主要方面,说明空间插值方法的应用与更进一步的研究有着广阔的前景.对空间插值而言,没有绝对最佳的方法,只有在特定的条件下,对于各种研究区的实际情况的最佳的方法[3].在运用空间插值方法时,要得到理想的空间插值效果,必须针对不同研究区的实际情况,对实测数据样本点进行充分分析,反复试验比较,以选择最佳的方法.最重要的是在运用一般插值方法的基础上,依据自身需要及学科的特点,对插值方法进行改进,进而提出适合各学科研究的更优的空间插值方法.
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The Spatial Interpolations in G IS
ZHU Q-i uan,Z HANG Wan-chang,YU Jun-hui
(International Ins ti tute for Earth System Science,Nanji ng Uni versity,Nanjing210093,China)
Abstract:Spatial interpolation is the procedure of estimating the value of properties at unsampled sites within the area covered by e xisting observations.In a broad sense,spatial interpolation includes point interpolation and areal interpola-tion.Several spatial interpolation methods were discussed in this paper including the base theory and the arithmetic of the methods.There is no absolutely optimal spatial interpolation method.There is only relatively optimal method in special situation.Hence,the best spatial interpolation method should be selected in according with the qualitative analysis of the data,exploratory spatial data analysis and repeated experiments.In addition,the result of spatial interpolation should be strictly e xamined for its validity.How to adapt the basic interpolation methods and create some new methods for special purpose to applied in different studies is the most important thing should be done in the spatial interpolation.
Key words:spatial interpolation;interpolation;classification;arithmetic(责任编辑:刘显亮)。