2023届二轮复习解答题专题练 函数模型的综合应用(含解析)

2023届二轮复习解答题专题练函数模型的综合应用
一、解答题（共12小题）
1. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶80元，不加收附
加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元要征税R元（叫做税率R%），则每年的产销量将减少10R万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税不少于128万元，问R应怎样确定?
2. 用分期付款的方式购买价格为1150元的电冰箱．购买时先付150元，以后每月付50元及欠款
的利息，余额20次付完．如果一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么第10个月该付多少元?购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款多少元?
3. 一个水池有若十个流量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么24小时可以注满水
池．如果开始时水龙头全部开放，以后每隔相等的时间关闭1个水龙头，到最后1个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后1个水龙头放水的时间恰好是第1个水龙头放水时间的5倍，最后关闭的这个水龙头放水多少时间?
4. 市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快．已知每投放a（1≤a≤4，且a∈R）个
单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化
的函数关系式近似为y=af(x)，其中f(x)={16
8−x
−1,0≤x≤4
5−1
2x,4<x≤10
．若多次投放，则某一时刻
水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和．根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用．
（1）若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟?
（2）若第一次投放2个单位的洗衣液，6分钟后再投放a个单位的洗衣液，要使接下来的4分钟能够持续有效去污，试求a的最小值．
5. 为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地铁实行新的计费标准，其分段计费规则如下：0
至6千米（含6千米）票价3元；6至16千米（含16千米）票价4元；16千米以上每6千米票价递增1元，但总票价不超过8元．
（1）试作出票价y（单位：元）关于路程x（单位：千米）的函数的大致图象；
（2）某人买了5元的车票，他乘车的路程不能超过多少?
6. 某商品销售价格和销售量与销售天数有关，第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售价格p=50−x
（元/百斤），第x天（1≤x≤20，x∈N）的销售量q=40+∣x−8∣（百斤）（销售收入=销售价格×销售量）
（1）求第10天销售该商品的销售收入是多少?
（2）这20天中，哪一天的销售收入最大?最大值为多少?
7. 有一种树栽植5年后可成材．在栽植后5年内，该种树的产量年增长率为20%，如果不砍伐，从
第6年到第10年，该种树的产量年增长率为10%，现有两种砍伐方案：
甲方案：栽植5年后不砍伐，等到10年后砍伐．
乙方案：栽植5年后砍伐重栽，然后过5年再砍伐一次．
请计算后回答：10 年内哪一个方案可以得到较多的木材?
8. 科学家发现某种特别物质的温度 y （单位：摄氏度）随时间 x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：y =m ⋅2x +21−x (0≤x ≤4,m >0)．
（1）若 m =2，求经过多少分钟，该物质的温度为 5 摄氏度； （2）如果该物质温度总不低于 2 摄氏度，求 m 的取值范围．
9. 中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是 θ1，环境温度是 θ0，则经过时间 t （单位：分）后物体温度 θ 将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt ，其中 k 为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到 200 ml 初始温度为 98∘C 的水在 19∘C 室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：
从98∘C 到90∘C 所用时间1分58秒从98∘C 到85∘C 所用时间3分24秒从98∘C 到80∘C 所用时间4分57秒
（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025） （1）请依照牛顿冷却模型写出冷却时间 t （单位：分）关于冷却后水温 θ（单位：
∘
C ）的函数
关系，并选取一组数据求出相应的 k 值．（精确到 0.01）
（2）“碧螺春”用 75∘C 左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200 ml
水煮沸后在 19∘C 室温下为获得最佳口感大约冷却 分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由． A ．5 B ．7
C ．10
10. 在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密
度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度．现定义交通流量为 v =q
x ，x 为道路密度，q 为车辆密度．已知 v =f (x )={100−135⋅(13)x
,0<x <40
−k (x −40)+85,40≤x ≤80．
（1）若交通流量 v >95，求道路密度 x 的取值范围；
（2）已知道路密度 x =80，交通流量 v =50，求车辆密度 q 的最大值．
11. 如图，已知底角为 45∘ 的等腰梯形 ABCD ，底边 BC 长为 7 cm ，腰长为 2√2 cm ，当一条垂直于
底边 BC 垂足为 F 的直线 l 由 B 从左至右向 C 移动（与梯形 ABCD 有公共点）时，直线 l 把梯形分成两部分，令 BF =x （x ≠0），记左边部分的面积为 y ．
（1）试求x=1，x=3时的y值；
（2）写出y关于x的函数关系式．
12. 土豆学名马铃薯，与稻、麦、玉米、高梁一起被称为全球五大农作物．云南人爱吃土豆，在云
南土豆也称洋芋，昆明人常说“吃洋芋，长子弟”．2018年3月，在全国两会的代表通道里，云南农业大学名誉校长朱有勇院士，举着一个两公斤的土豆，向全国的媒体展示，为来自家乡的“山货”代言，他自豪地说：“北京人吃的醋溜土豆丝，5盘里有4盘是我们澜沧种的！”
（1）在菜市上，听到小王叫卖：“洋芋便宜卖了，两元一斤，三元两斤，四元三斤，五元四斤，六元五斤，快来买啊！”结果一群人都在买六元五斤的．由此得到如下结论：一次购买的斤数越多，单价越低．请建立一个函数模型，来说明以上结论．
（2）小王卖洋芋赚到了钱，想进行某个项目的投资，约定如下：
①投资金额固定；
②投资年数可自由选择，但最短3年，最长不超过10年；
③投资年数x(x∈N∗)与总回报y的关系，可选择下述三种方案中的一种：
方案一：当x=3时，y=6，以后x每增加1时，y增加2；
x2；
方案二：y=1
3
3)x．
方案三：y=(√3
请你根据以上材料，结合你的分析，为小王提供一个最佳投资方案．
答案
1. 由题意 0.8R (100−10R )≥128⇒R 2−10R +16≤0⇒2≤R ≤8， 所以税率应确定在 2%∼8% 之间．
2. 第 10 个月付款 50+1000×1%−(10−1)×50×1%=55.5 元． 购买冰箱的所有款项全部付清后，实际付款为 150+20×60−
(0+19)20
2
×50×1%=1255（元）．
3. 设注满水池的任务为 1，最后关闭的水龙头的放水时间为 t ，
依题意可知，水池共有 5 个水龙头，从而每个水龙头的工作效率为 1
24×5， 则有
1
24×5(1
5
+2
5+3
5+4
5+5
5)t =1，得 t =40（时）． 4. （1） 因为 a =4，
所以 y ={648−x −4,0≤x ≤4
20−2x,4<x ≤10
，
则当 0≤x ≤4 时，由 64
8−x −4≥4，解得 x ≥0， 所以此时 0≤x ≤4；
当 4<x ≤10 时，由 20−2x ≥4，解得 x ≤8， 所以此时 4<x ≤8， 综合，得 0≤x ≤8，
若一次投放 4 个单位的洗衣液，则有效去污时间可达 8 分钟． （2） 当 6≤x ≤10 时， y
=2(5−1
2x)+2[168−(x−6)−1]
=(14−x )+32
14−x
−6,
因为 14−x ∈[4,8]，
故当且仅当 14−x =32
14−x ，即 x =14−4√2 时，y 有最小值为 8√2−6≈5.2>4， 所以能使接下来的 4 分钟中持续去污． 5. （1） 图略；
（2） 不能超过 22 km ．
6. （1） 由已知得第 10 天的销售价格 p =40（元/百斤），销售量 q =42（百斤）， 所以第 10 天的销售收入 W 10=40×42=1680（元）． 答：第 10 天的销售收入为 1680 元．
（2） 设第 x 天的销售收入为 W x ，则 W x ={(50−x )(48−x ),1≤x ≤8
(50−x )(32+x ),9≤x ≤20
，x ∈N ． 当 1≤x ≤8 时，W x =(50−x )(48−x )=x 2−98x +2400=(x −49)2−1，
当 x =1 时取最大值 W 1=2303，
当 9≤x ≤20 时，W x =(50−x )(32+x )=50×32+18x −x 2=−(x −9)2+1681，
当 x =9 时取最大值 W 9=1681， 由于 W 1>W 9，
答：第 1 天该商品的销售收入最大，最大值为 2303 元．
7. 设该种树的最初栽植量为 a ，甲方案在 10 年后的木材产量为 y 1=a (1+20%)5(1+10%)5=a (1.2×1.1)5≈4.01a ．
乙方案在 10 年后的木材产量为 y 2=2a (1+20%)5=2a ⋅1.25≈4.98a ． 因为 a >0，所以 4.98a >4.01a ，即 y 2>y 1， 所以乙方案能获得更多的木材．
8. （1） 由题意，当 m =2，令 y =2⋅2x +21−x =2⋅2x +2
2x =5，
因为 0≤x ≤4 时，解得 x =1，因此，经过 1 分钟时间，该物质的温度为 5 摄氏度． （2） 由题意得 m ⋅2x +21−x ≥2 对一切 0≤x ≤4 恒成立，
则由 m ⋅2x +21−x ≥2，得出 m ≥2
2x −2
22x ，令 t =2−x ，则 116≤t ≤1，且 m ≥2t −2t 2， 构造函数 f (t )=2t −2t 2=−2(t −12)2
+1
2，
所以当 t =1
2
时，函数 y =f (t ) 取得最大值，则 m ≥1
2
．
因此，实数 m 的取值范围是 [1
2,+∞)． 9. （1） 由 θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e −kt 得 e −kt =θ−θ0θ1−θ0
，
即 −kt =ln
θ−θ0θ1−θ0
，t =1
k
ln
θ1−θ0θ−θ0
，
在环境温度为 θ0=19∘C ，选取从 θ=98∘C 下降到 θ=90∘C 所用时间约为 2 分钟这组数据有 2=
1k
ln 7971
，即 k =
ln79−ln71
2
≈0.05；
选取从 θ=98∘C 降到 θ=85∘C 期时间的为 3.4 分钟这组数据有 3.4=1
k
ln 7966
， 即 k =
ln79−ln66
3.4
≈0.05；
选取从们 θ=98∘C 得到 θ=80∘C 所期时的为 5 分钟这组数据有 5=1
k ln 79
61， 即 k =
ln79−ln61
5
≈0.05；
故 k ≈0.05． （2） B
200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ． 理由如下： 由（1）得 t =20ln
79θ−79
，
当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．
所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳． 10. （1） 因为 v =q
x ， 所以 v 越大，x 越小，
所以 v =f (x ) 是严格减函数，k >0． 当 40≤x ≤80 时，v 最大为 85，
于是只需令 100−135⋅(13)x
>95，解得 x >3， 故道路密度 x 的取值范围是 (3,40)．
（2） 把 x =80，v =50 代入 v =f (x )=−k (x −40)+85，得 50=−k ⋅40+85，解得 k =7
8
，
所以 q =vx ={100x −135⋅(13
)x
⋅x,0<x <40
−78(x −40)x +85x,40≤x ≤80．
①当 0<x <40 时，q 是严格增函数， 所以 q <100×40−135×(13)
40
×40≈4000；
②当 40≤x ≤80 时，q 是关于 x 的二次函数，开口向下，对称轴 x =4807
，此时 q 有最大值，为
−7
8×(
4807
)2+120×
4807
=
288007
>4000．
综上所述，车辆密度 q 的最大值为 288007
．
11. （1） 当 x =1 时，y =1
2；
当 x =3 时，y =4．
（2） 过点 A ，D 分别作 AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是 G ，H ． 因为 ABCD 是等腰梯形，底角为 π
4， AB =2√2 cm ，
所以 BG =AG =DH =HC =2， 又 BC =7 cm ， 所以 AD =GH =3． ①当点 F 在 BG 上时， 即 x ∈(0,2] 时，y =1
2x 2，
②当点 F 在 GH 上时，
即 x ∈(2,5] 时，y =2+(x −2)×2=2x −2， ③当点 F 在 HC 上时，即 x ∈(5,7] 时，
y =S 五边形ABFED =S 梯形ABCD −S Rt△CEF =−1
2
(x −7)2+10．
所以，函数的解析式为 y ={12
x 2,x ∈(0,2]
2x −2,x ∈(2,5]−1
2(x −7)2+10,x ∈(5,7]
．
12. （1） 设顾客一次购买 x 斤土豆，每斤土豆的单价为 f (x ) 元，由题意知： f (x )=
x+1x
(1≤x ≤5,x ∈N ∗)，因为 f (x )=
x+1x
=1+1
x
，所以 y =f (x ) 在 [1,5] 为单调递减函数．说
明一次购买的斤数越多，单价越低．
（2） 根据题意，按照年数的不同取值范围，选出总回报最高的方案． 由题意可知方案一对应的解析式为：y =6+(x −3)×2=2x ．
解法一：列表得出三种方案所有年数的总回报，可以精确得出任意年数三种方案对应总回报的大小关系，为选择最佳方案提供数据支持． 参考列表：
所以，当投资年数为3−5年时，选择方案一最佳；
当投资年数为6年时，选择方案一或方案二最佳；
当投资年数为7年或8年时，选择方案二最佳；
当投资年数为9年时，选择方案二或方案三最佳；
当投资年数为10年时，选择方案三最佳．
解法二：列表，得出三种方案部分年数总回报（或所有年数总回报）；作出函数图象（散点图），并用虚线连接，对比三个函数图象可以更直观看到三种方案的总回报随年数变化趋势的特征，以及三个图象相互间的位置关系，从而为选择最佳方案提供图象支持．。