新人教A版选修2_32020-2021学年高中数学综合测评

选修2－3综合测评
(时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果一个多位数的各个数位上的数字从左到右按由小到大的顺序排列，则称此数为“上升”的，那么所有“上升”的正整数的个数为( )
A ．530
B ．502
C ．503
D ．505
解析：由题意，得所有“上升”的正整数的个数为C 2
9＋C 3
9＋C 4
9＋…＋C 9
9＝29
－C 0
9－C 1
9＝502，故选B.
答案：B
2．已知回归方程y ^
＝2x －1，则该方程在样本(3,4)处的残差为( ) A ．5 B ．2 C ．1
D ．－1
解析：当x ＝3时，y ^＝2×3－1＝5，∴残差y －y ^
＝4－5＝－1，故选D. 答案：D
3．设袋中有大小相同的4个红球与2个白球，若从中有放回地依次取出一个球，记6次取球中取出红球的次数为ξ，则E (9ξ－1)＝( )
A ．4
B ．35
C ．5
D ．36
解析：由题意得ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫6，23， ∴E (9ξ－1)＝9E (ξ)－1＝35. 答案：B
4．已知ξ的分布列为
设η＝2ξ－5，则E (ηA.12 B.13 C.23
D.32
解析：依题意，知m ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16＋13＝1
3，则E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，所
以E (η)＝E (2ξ－5)＝2E (ξ)－5＝2×176－5＝2
3
，故选C.
答案：C
5．已知x ，y 的取值如下表所示：
从散点图分析，y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 的值为( ) A ．0.95 B ．2 C ．4.5
D ．2.6
解析：计算x －＝2，y －＝4.5；代入y ^＝0.95x ＋a ^得a ^
＝2.6. 答案：D
6．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是( ) A ．720 B ．648 C ．103
D ．310
解析：可组成9A 2
9＝648个没有重复数字的三位数，故选B. 答案：B
7．已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (X ＞k )＝P (X ＜k －4)，则k 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
解析：∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7，故选B.
答案：B
8．(2019·广州毕业班综合测试)从某班6名学生(其中男生4人，女生2人)中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望E (ξ)＝( )
A.4
5 B ．1 C.75
D ．2
解析：由题意知所选3人中女生人数ξ＝0,1,2，则P (ξ＝0)＝C 0
2×C 3
4C 36＝420＝1
5，P (ξ＝
1)＝C 1
2×C 2
4C 36＝1220＝35，P (ξ＝2)＝C 2
2×C 1
4C 36＝420＝15，所以数学期望E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×1
5＝
1，选B.
答案：B
9．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴广交会的四个不同地方服务，不同的分配方案有( )
A.C 26C 2
4A 22·C 12C 1
1
A 22 B.C 26C 24A 22·C 12C 1
1A 22·A 4
4 C ．C 26C 2
4·C 12C 1
1·A 4
4
D ．C 26C 24C 12C 1
1
解析：先将6位志愿者按要求分成四组，不同的分法有C 2
6·C 2
4A 22·C 12C 1
1
A 22
种，再将4组分到四
个不同的地方，有A 4
4种不同的分法，按照分步乘法计数原理，不同的分配方案有C 26C 2
4A 22·C 12C 1
1A 22
·A 4
4，故选B. 答案：B
10．(2019·浙江卷)设0<a <1.随机变量X 的分布列是
则当a 在(0,1)内增大时，A ．D (X )增大 B ．D (X )减小 C ．D (X )先增大后减小 D ．D (X )先减小后增大
解析：由题意可得，E (X )＝13(a ＋1)，所以D (X )＝(a ＋1)227＋(1－2a )227＋(a －2)227＝
6a 2
－6a ＋6
27＝29⎣⎢⎡⎦⎥⎤
⎝
⎛⎭⎪⎫a －122＋34，所以当a 在(0,1)内增大时，D (X )先减小后增大．故选D.
答案：D
11．在二项式⎝
⎛⎭⎪⎫3x －2x 15
的展开式中，有理项的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
解析：展开式的通项为T r ＋1＝(－1)r C r
15(3
x )
15－r
·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2x r ＝(－1)r 2r C r 15x 30－5r 6，设T r ＋1
项为有理项，则30－5r 6＝5－5
6r 为整数，∴r 为6的倍数，又∵0≤r ≤15，∴r 可取0,6,12
三个数，故共有3个有理项．
答案：B
12．已知具有线性相关关系的五个样本点A 1(0,0)，A 2(2,2)，A 3(3,2)，A 4(4,2)，A 5(6,4)，用最小二乘法得到回归直线方程l 1：y ^＝b ^x ＋a ^
，过点A 1，A 2的直线方程l 2：y ＝mx ＋n ，那么下列4个命题中：
①m >b ^，a ^
>n ； ②直线l 1过点A 3；
③∑i ＝1
5
(y i －b ^x i －a ^)2≥∑i ＝1
5
(y i －mx i －n )2
；
④∑i ＝1
5|y i －b ^x i －a ^
|≥∑i ＝1
5
|y i －mx i －n |.
参考公式b ^
＝
∑i ＝1
n x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2
i －n x
2
＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y
)
∑i ＝1
n
(x i －x
)
2
，a ^＝y －b ^x
正确命题的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
解析：依题意，
x ＝15(0＋2＋3＋4＋6)＝3， y ＝15
(0＋2＋2＋2＋4)＝2，
则b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x 2
＝0.6，
a ^
＝y －b ^
x ＝0.2，
∴线性回归方程l 1：y ^
＝0.6x ＋0.2，直线l 2的方程为y ＝x ， ∴b ^＝0.6，a ^
＝0.2，m ＝1，n ＝0，∴①正确； ∵3×0.6＋0.2＝2，∴直线l 1过A 3，∴②正确； ∵∑i ＝1
5
(y i －b ^x i －a ^)2＝0.8，∑i ＝1
5
(y i －mx i －n )2
＝9，
∴③错误；
∵∑i ＝1
5
|y i －b ^x i －a ^
|＝1.6，∑i ＝1
5
|y i －mx i －n |＝5，
∴④错误．
综上所述，正确命题的个数为2，故选B. 答案：B
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．已知ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝3，D (2ξ＋1)＝9，则p 的值是________． 解析：∵ξ～B (n ，p )，E (ξ)＝3＝np ，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝9， ∴D (ξ)＝94＝np (1－p )，∴n ＝12，p ＝1
4.
答案：1
4
14．若⎝
⎛⎭
⎪⎫ax 2
＋b x
6
的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2
的最小值为________．
解析：T r ＋1＝C r 6(ax 2)
6－r
⎝ ⎛⎭
⎪⎫b x r ＝C r 6a 6－r b r x 12－3r ，令12－3r ＝3，得r ＝3，故C 36a 3b 3＝20，所以ab ＝1，a 2＋b 2≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1时，等号成立．
答案：2
15．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分．若甲、乙两人射击的命中率分别为3
5和p ，且甲、乙两人各射击一
次得分之和为2的概率为9
20
.假设甲、乙两人射击互不影响，则p 的值为________．
解析：设“甲射击一次，击中目标”为事件A ，“乙射击一次，击中目标”为事件B ，“甲射击一次，未击中目标”为事件A ，“乙射击一次，未击中目标”为事件B ，则P (A )＝35，P (A )＝25，P (B )＝p ，P (B )＝1－p .根据题意得35(1－p )＋25p ＝920，解得p ＝34
. 答案：34
16．已知f (x )＝sin πx
3，集合A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，现从集合A 中任取两个不同的
元素，分别记为m ，n ，则f (m )·f (n )＝0的概率是________．
解析：从集合A 中任取两个不同的元素，分别记为m ，n ，有A 2
8种不同的取法．因为只有f (3)＝f (6)＝0，所以要使f (m )f (n )≠0，则应使f (m )≠0且f (n )≠0，这样的取法共有
A 26
种，因此所求的概率P ＝1－A 2
6A 28＝13
28
.
答案：1328
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(10分)设⎝
⎛⎭⎪
⎪⎫
32＋133n 的展开式的第7项与倒数第7项的比是1∶6，求展开式中的
第7项．
解：T 7＝C 6
n (3
2)n －6
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1336
，
T n －7＋2＝T n －5＝C n －6n
(3
2)6
⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
133n －6.
由C 6
n (3
2)n －6
⎝ ⎛⎭⎪
⎪
⎫
1336
C n －6n (32)6⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫
13
3n －6＝16，化简得6n 3－4＝6－1
，
所以n
3－4＝－1，所以n ＝9.所以T 7＝C 69
×(3
2)9－6
×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1336＝C 3
9×2×19＝563.
18．(12分)(2019·广州综合测试)为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算某居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要从这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； (3)以表中抽到的10户作为样本估计全市居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．
解：(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)设取到第二阶梯电量的户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0,1,2,3，
P (ξ＝0)＝C 3
7C 310＝7
24，
P (ξ＝1)＝C 27C 13C 310＝21
40，
P (ξ＝2)＝C 17C 23C 310＝7
40，
P (ξ＝3)＝C 33C 310＝1
120，
故ξ的分布列为
∴E (ξ)＝0×724＋1×40＋2×40＋3×120＝10
.
(3)设从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯的有X 户，则X ～B ⎝
⎛⎭⎪⎫10，35，
可知P (X ＝k )＝C k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2510－k
(k ＝0,1,2,3，…，10)，
⎩⎪⎨⎪⎧
C k 10
⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪⎫21010－k ≥C k ＋110⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ＋1⎝ ⎛⎭
⎪⎫259－k ，
C
k 10⎝ ⎛⎭⎪⎫35k ⎝ ⎛⎭⎪
⎫2510－k ≥C k －110⎝ ⎛⎭⎪⎫35k －1⎝ ⎛⎭
⎪⎫2511－k
，
解得285≤k ≤335
，k ∈N *
，
∴当k ＝6时用电量为第一阶梯的可能性最大， ∴k ＝6.
19．(12分)某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X (小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y (百斤)与使用某种液体肥料x (千克)之间对应数据为如图所示的折线图．
(1)依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请计算相关系数r 并加以说明(精确到0.01)．(若|r |>0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)
(2)蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X 限制，并有如下关系：
周光照量X (单位：小时) 30<X <50
50≤X ≤70
X >70
光照控制仪 最多可运行台数
3 2 1
运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周总利润的平均值．
附：相关系数公式r ＝
∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y
)
∑i ＝1
n
(x i －x
)
2
∑i ＝1
n
(y i －y )2
，
参数数据0.3≈0.55，0.9≈0.95. 解：(1)由已知数据可得
x ＝2＋4＋5＋6＋8
5＝5，
y ＝
3＋4＋4＋4＋5
5
＝4.
因为∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y )＝(－3)×(－1)＋0＋0＋0＋3×1＝6，
∑i ＝15
(x i －x
)2＝(－3)2＋(－1)2＋02＋12＋32
＝25，
∑i ＝1
5
(y i －y
)2＝(－1)2＋02＋02＋02＋12
＝ 2.
所以相关系数
r＝∑i＝1
n
(x i－x)(y i－y)
∑
i＝1
n
(x i－x)2∑
i＝1
n
(y i－y)2
＝
6
25·2
＝
9
10
≈0.95.
因为r>0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
(2)记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去50周里：
当X>70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，
周总利润Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000元；
当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，
周总利润Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000元；
当X<50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，
周总利润Y＝3×3 000＝9 000元．
所以过去50周总利润的平均值
Y＝
1 000×10＋5 000×35＋9 000×5
50
＝4 600元，
所以商家在过去50周总利润的平均值为4 600元．
20．(12分)(2019·山西省八校高三联考)“2018弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于2018年11月26日在深圳举行，会议同期举行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式．从2019年1月起到12月，深圳市文化和健康发展促进会将连续举办52场中华优秀传统文化公益讲堂，邀请多位名家名师现场开讲．某学校文学社为响应这次活动，举办了中华古诗词背诵比赛，统计的成绩(单位：分)的数据如频率分布直方图所示，已知成绩在[80,90)内的有50人．
(1)求a的值及参加比赛的总人数；
(2)分别从[80,90)，[90,100]分数段中选取1人和2人组成“优胜”队，与另一学校的“必胜”队的3人进行友谊赛，两队的选手每人均比赛1局，共比赛3局，胜1局得1分，
输1局得0分，没有平局．已知“优胜”队中成绩在[80,90)内的选手获胜的概率为2
5，在
[90,100]内的2名选手获胜的概率分别为23，3
7，记“优胜”队的得分为随机变量X ，求X 的
分布列，并用统计学的知识说明哪个队的实力较强．
解：(1)由题意得(0.01＋a ＋0.02＋0.03)×10＝1，得a ＝0.04.
∵成绩在[80,90)内的有50人，且成绩在[80,90)内的频率为0.02×10＝0.2. ∴参加比赛的总人数为50
0.2＝250.
(2)X 的所有可能取值为3,2,1,0，
P (X ＝3)＝23×25×37＝435
，
P (X ＝2)＝23×25
×47＋13×25×37
＋23×35×37＝821
， P (X ＝1)＝23×35
×47＋13×35×37
＋13×25×47＝41
105
，
P (X ＝0)＝13×35
×47＝435.
∴X 的分布列为
E (X )＝0×435
＋1×
105＋2×21＋3×35＝105
. 设“必胜”队的得分为随机变量Y ， ∵X ＋Y ＝3，∴Y ＝3－X ， ∴E (Y )＝E (3－X )＝3－E (X )＝158
105.
∴E (Y )>E (X )，
∴“必胜”队的实力较强．
21．(12分)某商场五一进行抽奖促销活动，当日在该商场消费的顾客即可参加抽奖活动，抽奖情况如下：消费金额每满500元，可获得一次抽奖机会，即设消费金额x 元，x ∈[500,1 000)可抽奖1次，x ∈[1 000,1 500)可抽奖2次，x ∈[1 500,2 000)可抽奖3次，以此类推．
抽奖箱中有9个大小形状完全相同的小球，其中4个红球、3个白球、2个黑球(每次只能抽取一个，且不放回抽取)．第一种抽奖方式：若抽到红球，获奖金10元；若抽到白球，获奖金20元；若抽到黑球，获奖金40元．第二种抽奖方式：抽到红球获奖金0元；抽到白
球，获奖金50元；若抽到黑球，获奖金100元．
(1)若某顾客在该商场当日消费金额为2 000元，用第一种抽奖方式进行抽奖，求获奖金为70元的概率．
(2)若某顾客在该商场当日消费金额为1 200元，请同学们告诉这位顾客哪种抽奖方式对他更有利．
解：(1)X ＝2 000可抽奖4次，得奖金70元，共有两种情形；抽到3红1黑；抽到1红3白，因此所求事件的概率为P ＝C 34C 1
2＋C 14C 3
3C 4
9＝2
21
. (2)X ＝1 200可抽奖2次，
用第一种抽奖方式，获得奖金ξ可能为20,30,40,50,60,80.
P (ξ＝20)＝C 2
4C 29＝16，P (ξ＝30)＝C 14C 1
3C 29＝13，P (ξ＝40)＝C 2
3C 29＝112，P (ξ＝50)＝C 14C 1
2C 29＝2
9，
P (ξ＝60)＝C 13C 1
2C 29＝16，P (ξ＝80)＝C 2
2C 29＝1
36
.
随机变量ξ的分布列为
期望E (ξ)＝206＋3＋12＋9＋6＋36
＝40.
用第二种抽奖方式，获得奖金η可能为0,50,100,150,200； P (η＝0)＝C 2
4C 29＝16，P (η＝50)＝C 14C 1
3C 29＝1
3
，
P (η＝100)＝C 2
3＋C 14C 1
2C 2
9＝1136，P (η＝150)＝C 13C 1
2C 29＝1
6， P (η＝200)＝C 22C 29＝1
36.
随机变量η的分布列为
期望E (η)＝0＋503＋36＋6＋36＝9.
明显第二种抽奖方式更有利．
22．(12分)某校在本校任选了一个班级，对全班50名学生进行了作业量的调查，根据调查结果统计后，得到如下的2×2列联表，已知在这50人中随机抽取2人，这2人都“认
为作业量大”的概率为12
49
.
(1)请完成上面的2×2列联表；
(2)根据列联表的数据，能否有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关？ (3)若视频率为概率，在全校随机抽取4人，其中“认为作业量大”的人数记为X ，
求X 的分布列及数学期望．
附表：
附：K 2
＝(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
解：(1)设认为作业量大的共有x 个人，
则
C 2
x C 250＝
x (x －1)
2×150×492×1
＝1249
，化简为x 2
－x －50×12＝0， 解得x ＝25或x ＝－24(舍去)；
(2)K 2
＝50×(18×17－7×8)2
25×25×24×26
≈8.013>6.635.
因此有99%的把握认为“认为作业量大”与“性别”有关． (3)X 的可能取值为0,1,2,3,4.
由(1)可知，在全校随机抽取1人，“认为作业量大”的概率为1
2
.
由题意可知X ～B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫4，12.
所以P (X ＝k )＝C k 4⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－124－k (k ＝0,1,2，3,4)．
所以X 的分布列为
E (X )＝0×116
＋1×14
＋2×8
＋3×4
＋4×16
＝2或E (X )＝np ＝4×12
＝2.。