系统函数与系统特性

例：试判断离散因果LTI系统
H(z)
(1

0.5z
1
1 )(1

1.5z
1
)
稳定性。
解：(1) 从收敛域角度分析
该离散LTI系统的收敛域为|z|>1.5 收敛域不包含单位圆，故系统不稳定。
(2) 从极点分布分析
该因果LTI系统的极点为z1=0.5, z2=1.5 极点z2=1.5在单位圆外，故系统不稳定。
主讲人：陈后金
电子信息工程学院
系统函数与系统特性
系统函数与系统时域特性 系统函数与系统频域特性 系统函数与系统的稳定性
1. 系统函数与系统时域特性
※ 系统函数H(z)的零极点分布：
H (z) N (z) K (z z1)(z z2)(z zm) D(z) (z p1)(z p2 )(z pn )
例：某离散因果LTI系统如图所示，求系统函数H(z)，并判断
系统稳定时β的取值范围。 x[k]
g[k ] y[k ]
z1 3 4
解：引入中间变量g[k]，
G(z) z1( / 3)G(z) X (z)
G(
z
)

1

X
(
(z) / 3)
z
1
将G(z)代入并整理： Yzs (z) G(z) ( / 4)z1G(z)
H (e jW ) H ( z) zejΩ
H (ejW ) | H (ejW ) | ej(W )
幅度响应
相位响应
2. 系统函数与系统频率响应
离散LTI系统的频率响应H(ejW)
m
(z zj)
对于零极增益表示的系统函数 H (z) K
j 1 n
(z pi )
i 1
m
(z p1)(z p2 )(z pn ) i1 z pi
n
h[k] Z 1{H (z)} ki ( pi )k u[k]
i1
（这里假设系统函数的极点都为单极点）
离散LTI系统的时域特性主要取决于系统函数的极点分布。
1. 系统函数与系统时域特性
H(z)零极点分布与系统时域特性
系统函数：H
(z)

Yzs (z) X (z)

1 1
( (
/ /
4) z 1 3) z 1
例：某离散因果LTI系统如图所示，求系统函数H(z)，并判断
系统稳定时β的取值范围。 x[k]
g[k ] y[k ]
z1 3 4
解：由系统函数：H (z)

Yzs (z) X (z)
冲响应h[k]和系统频率响应H(ejΩ) 。
解：由因果离散LTI系统差分方程 y[k] y[k 1] x[k]
系统函数： H (z) z ，收敛域|z|>||
z
为使系统稳定，要求收敛域包含单位圆，
所以参数||<1。
h[k] 1
单位脉冲响应：h[k] ()k u[k]
k
0 123
例：描述因果离散LTI系统的差分方程为y[k] y[k1]=x[k], 试分析使得系统稳定的参数 取值范围，并求解系统单位脉
冲响应h[k]和系统频率响应H(ejΩ) 。
系统频率响应：
H (ejW
)

e jW
ejW

1
(1 cosW )

j sin W
幅度响应
H (ejW )

1 ( 1 (
/ /
4) z 1 3) z 1

z z
( (
/ 4) / 3)
极点： p 3
离散因果LTI系统稳定的条件是H(z)的极点位于单位圆内， 因此，β的取值范围： 3
例：描述因果离散LTI系统的差分方程为y[k] y[k1]=x[k], 试分析使得系统稳定的参数 取值范围，并求解系统单位脉
(e jW pi )
i 1
(ejW zj) N jej j 用z平面pi和zj点指向单
(ejW pi) Dieji 位圆上ejW点的向量表示
H (e ) K N N N e jW
12
m j [(1 2 m )(1 2 n )]
D1D2 Dn
1
1 2 2 cosW
1 1
(ejW)|
(W )
相位响应
1 1


W

(W
)


arctan

1

cos
可得H(z)的零极点分布图。
0.5j (2)
1
0 0.5 1
0.5j
j
Re(z)
1. 系统函数与系统时域特性
根据系统函数H(z)零极点分布，将H(z)展开成部分分式， 取z反变换可得描述离散系统时域特性的h[k]：
H (z) K (z z1)(z z2 )(z zm ) n ki z
(e jW z j )
当系统稳定时，令z=ejW ，则得
H (e jW ) K
j 1 n
(e jW pi )
i 1
系统函数H(z)在z平面单位圆z=ejW上的取值对应系统的频率响应。
2. 系统函数与系统频域特性
m
(ejW z j )
H (e jW ) K
j 1 n
零极点增益形式
z1, z2 ,, zm 是系统函数的零点，在z平面用表示。
p1, p2 ,, pn是系统函数的极点，在z平面用表示。
Im(z)
例：离散时间LTI系统的系统函数
j
H
(z)

(z
1)2
z(z 1 (z 0.5
j)(z 1 j0.5)(z
j) 0.5

j0.5)
1. 系统函数与系统时域特性
H(z)零极点分布与系统时域特性
1. 系统函数与系统时域特性
H(z)零极点分布与系统时域特性
k
k
1
k
k Im(z)
k
j




1 Re(z)



j k
k
k
k
2. 系统函数与系统频率响应
离散LTI系统的频率响应H(ejW) 对于稳定系统，令系统函数H(z)中z=ejW 得到系统频率响应
Hale Waihona Puke W )H (e jW )Im(z)
单位圆
D1
1
p1
D2
p2
ejW
1
N1z1
N2 Re(z)
2
z2
3. 系统函数与系统的稳定性
时域：离散LTI系统稳定的充要条件是

h[k]
k
由系统函数H(z)判断离散LTI系统的稳定性：
※若系统函数H(z)的收敛域包含z平面单位圆，则系统稳定。 ※对于因果系统，若H(z)的极点都在单位圆内，则系统稳定。