(完整word版)双曲线的复习 精华版

双曲线 1．范围、对称性
由标准方程122
22=-b y a x ,从横的方向来看，直线x=-a ，x=a 之间没有图象,从纵的方向来看，随着x 的增
大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展,不像椭圆那样是封闭曲线 双曲线不封闭，但
仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点 顶点:()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21
实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长
虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长
2。

双曲线的标准方程：
12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）. 122
22=-b
x a y （a ＞0，b ＞0）. c 2＝a 2＋b 2
焦点在x 轴上，焦点是F 1(－
c ， 0）、F 2(c ， 0）. 焦点在y 轴上,焦点是F 1（0, －c ）、F
2(0， c ）.
双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．．渐近线
经过A 2、A 1作y 轴的平行线 x ＝±a ，经过B 2、B 1作x 轴的平行线y ＝±b ,四条直线围成一个矩形 （如
图）．
两条直线x a b y ±
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=±0b y a x 叫做双曲线122
22=-b
y a x 的渐近线.
12
2
22=-b x a y (a ＞0, b ＞0）的渐近线为 y a b x ±=.0⎪⎭
⎫ ⎝⎛=±b x a y
a ＝b
4．等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2)渐近线互相垂直;（3)离心率=e
等轴双曲线可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上
5．共渐近线的双曲线系
如果已知一双曲线的渐近线方程为x a b y ±
=)0(>±=k x ka
kb
，那么此双曲线方程就一定是：)0(1)
()(2
2
22>±=-k kb y ka x 或写成λ=-2222b y a x 6．补充性质：
焦半径：双曲线上任意一点与焦点所连的线段叫做双曲线的焦半径。

(利用双曲线的第二定义，我们可以很容易地推导出双曲线的焦半径公式。

)
7．离心率
概念：双曲线的焦距与实轴长的比a
c
a c e ==
22，叫做双曲线的离心率 范围：1>e 双曲线形状与e 的关系:112
2
222-=-=-==e a
c a a c a b k , 因此e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔.由此可知，双曲
线的离心率越大，它的开口就越阔
（1)双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置（倾斜)情况又受到其斜率制约
8．共轭双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴,这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线如
191622=-y x 与116
92
2=-x y 注意的区别：三量a ，b ，c 中a,b 不同（互换）c 相同
通过分析曲线发现二者其具有相同的渐近线 此即为共轭之意1） 性质:共用一对渐近线 双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上 2） 确定双曲线的共轭双曲线的方法:将1变为-1
3） 共用同一对渐近线kx y ±=的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为
)0(122
2≠=-λλk
y x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上
三、讲解范例：
一、求双曲线的标准方程
求双曲线的标准方程12222=-b y a x 或122
22=-b
x a y (a 、b>0），通常是利用双曲线的有关概念及性质再 结
合其它知识直接求出a 、b 或利用待定系数法。

例1 求与双曲线2222=-y x 有公共渐近线，且过点)2,2(-M 的双曲线的共轭双曲线方程。

解 令与双曲线122
2=-y x 有公共渐近线的双曲线系方程为k y x =-222
，将点)2,2(-M 代入,得0
1ex a MF +=
2)2(222
2-=--=k ，∴双曲线方程为12422=+-y x ，由共轭双曲线的定义,可得此双曲线的共轭双曲线方
程为12
42
2=-y x . 评 此例是“求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程”类型的题。

一般地,与双曲线122
22=-b
y a x 有公共
渐近线的双曲线的方程可设为k b
y a x =-22
22（k R ，且k ≠0);有公共焦点的双曲线方程可设为
1222
22=--a
k y a x ,本题用的是待定系数法。

二 、1、第一定义的应用
双曲线的第一定义：已知F 1、F 2是平面内两个定点,P 是动点，当且仅当它们满足条件|PF 1｜－|PF 2｜=±2a ，正常数2a 〈|F 1F 2|时，P 的轨迹是双曲线.
例1 设F 1、F 2为双曲线14
22=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上,且满足∠F 1PF 2=900
，求ΔF 1PF 2的面积。

解 由双曲线的第一定义知，421±=-PF PF ，两边平方，得162212
221=-+PF PF PF PF . ∵∠F 1PF 2=900
，∴202
212
2
21==+F F PF PF ， ∴22
16
2
2
121=-+=⋅PF PF PF PF ，
∴12
1
2121==
∆PF PF S PF F 。

2、第二定义的应用
双曲线的第二定义：设F 为定点，l 是定直线，P 是动点，P 、F 及l 共面，当且仅当它们满足条件
距离到是是常数e P d e e e d
PF ,)1(|
|>=时，P 的轨迹是双曲线. 【例1】 已知双曲线22
22b
y a x -=1的离心率e >1+2，左、右焦点分别为F 1、F 2,左准线为l ，能否在双曲线
的左支上找一点P ，使得|PF 1｜是P 到l 的距离d 与｜PF 2|的等比中项？
【解前点津】 从假设存在这样的P 点入手，推出某种结果，然后“检验”这种结果。

【规范解答】
设在左支上存在P 点，使|PF 1｜2
=|PF 2|·d ，由双曲线第二定义得：
,|
||
|||121e PF PF d PF ==即|PF 2|=e ·｜PF 1｜ ① 又由双曲线的第一定义得：｜PF 2|－｜PF 1|=2a ②
从①②中解得：|PF 1｜=12-e a ，|PF 2｜=1
2-e ae
，因△PF 1F 2中有｜PF 1|+｜PF 2｜≥2c ，
∴1212-+
-e ae e a ≥2c ③ 而e =a c ，故由③得:e 2
－2e －1≤0解之：1－2≤e ≤1+2，
∵e 〉1，∴1<e ≤1+2这与e >1+2相矛盾，∴符合条件的P 不存在。

【解后归纳】 对于一般的探索命题，常从假设存在入手,利用定理和题设条件加以推理，若推出矛盾，则假设不成立，否则，假设的命题成立.
例2：如果双曲线22
16436
x y -
=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8，求点P 到右焦点F 的距离|PF ｜。

:648,6,10
||||10
,,||1088
a b c PF c PF PF d a ====∴===∴=∴=解 即点P 到右焦点F 的距离｜PF ｜为10。

如上题如何求P 到左焦点F ′的距离|PF ′|？
解：||PF ′｜－｜PF|｜=2a, ∴｜｜PF ′|－10=16， ∴｜PF ′｜=26
例3：已知点A （5,3
），F （2,0），在双曲线2
2
13
y x -
=上求一点P ，使1||||2PA PF +的值最小。

解:∵a=1，c=2,e=
2c
a
=， 设点P 到与焦点(2，0）相应的准线的距离为d ，则
||1
2,||2
PF PF d d =∴= 即在双曲线上求点P ，使P 到定点A 的距离与到准线的距离和最小，显然直线垂直于准线时合题意，且在双曲线的右支上，此时P 点纵坐标为3,∴所求的点为P （2，3）。

三、双曲线性质的应用
例1 设双曲线122
22=-b y a x （b a <<0）的半焦距为c ，
直线l 过（a ，0）、（0，b ）两点，已知原点到l 的距离为c 4
3
, 求双曲线的离心率。

解析 这里求双曲线的离心率即求a
c
，是个几何问题，怎么把 题目中的条件与之联系起来呢?
∵a OA =,b OB =，c AB =，由面积法知ab =24
343c c c =⋅，考虑到222c b a =+， 知4222163)(c a c a =
-即4
216
31e e =-，亦即01616324=+-e e ，注意到a 〈b 的条件,可求得2=e 。

四、与双曲线有关的轨迹问题
例1 以动点P 为圆心的圆与⊙A ：49)5(22=++y x 及⊙B ：1)5(22=+-y x 都外切，求点P 的轨迹方程。

解 设动点P （x ，y ），动圆半径为r ,由题意知 ,r PA +=7，r PB +=1. ∴6=-PB PA .∴)0,5(-A ，)0,5(B ，据 双曲线的定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的右支，
方程为 :
)0(116
92
2>=-x y x . 例 2 如图2，从双曲线122=-y x 上任一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.
解析 因点P 随Q 的运动而运动,而点Q 在已知双曲线上,
故可从寻求 Q 点的坐标与P 点的坐标之间的关系入手，用转移法达到目的。

设动点P 的坐标为),(y x ，点Q 的坐标为),(11y x , 则 N 点的坐标为)2,2(11y y x x --。

∵点 N 在直线2=+y x 上,∴22211=-+-y y x x ……① 又∵PQ 垂直于直线2=+y x ,∴11
1
=--x x y y ，
即 011=-+-x y y x ……②
联立 ①、②解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-+=-+=12
3
2112
1
2
311y x y y x x 。

又∵点N ),(11y x 在双曲线122=-y x 上，
∴12
121=-y x ,
即1)123
21()12123(22=-+--+y x y x ，化简，得点P 的轨迹方程为：01222222=-+--y x y x 。

五、与双曲线有关的综合题
【例1】 是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由. (1)渐近线方程为x ±2y =0；
(2）点A (5,0）到双曲线上动点P 的距离的最小值为6。

【解前点津】 讨论焦点所在位置，从而确定双曲线方程形式，对条件(2），转化为求函数最值问题。

【规范解答】 假设存在同时满足题中两条件的双曲线.
(1)若双曲线焦点在x 轴上，可设双曲线方程为122
22=-b y a x ，因渐近线为
y =±x a b x ±=21，∴a b
=21，双曲线方程可化为:22224b
y b x -=1。

设动点P 的坐标为（x ，y )，则 |AP ｜=22225)4(4
5
)5(b x y x -+-=
+-(x ≥2b 或x ≤－2b )。

由条件②，若2b ≤4即b ≤2，则当x =4时,|AP ｜m i n =16522-=⇒=-b b ，这是不可能的. 若2b >4即b >2时，则当x =2b 时，｜AP |m i n =｜2b －5｜=6，解之
b =
265+（其中2
6
5-〈2应舍去）. Q 2=+y x
P
N 图2
此时存在双曲线方程为：
1265)
65(2
22
2=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-
+y x
(2)若双曲线焦点在y 轴上，可设双曲线方程为22
224b
x b y -=1(x ∈R ），
∴|AP ｜=
5)4(4
5
22++-b x ，∵x ∈R ，∴当x =4时，｜AP ｜m i n =652=+b , ∴b 2
=1，此时存在双曲线方程为 y 2
－4
2
x =1。

【解后归纳】 给出双曲线的渐近线,并不能确定焦点的方位，故要讨论双曲线的两种形式。

【例2】 已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点（4，－10).(1）求双曲线方程；
(2)若点M (3，m ）在双曲线上，求证:MF 1⊥MF 2； （3)求△F 1MF 2的面积.
【解前点津】 因e =2，所以c 2
=2a 2
=a 2
+b 2
⇒a 2
=b 2
,故双曲线方程为等轴双曲线，因焦点位置没有确定,故可设双曲线方程为x 2
－y 2
=λ（λ≠0）。

【规范解答】 (1）∵e =2，∴c 2
=2a 2
=a 2
+b 2
⇒ a 2
=b 2
，∴双曲线方程可设为：x 2
－y 2
=λ，∵点（4,－10)在双曲线上，∴16－10=λ,即λ=6,故双曲线方程为:x 2
－y 2
=6.
(2）由（1）知：F 1(－23，0），F 2（23，0）， ∴3
129,3
23,3
232
22
121m m k k m k m k MF MF MF MF -
=-=•-=
+=
， ∵点（3，m ）在双曲线上,∴9－m 2
=6，m 2
=3，故21MF MF k k •=－1,∴MF 1⊥MF 2. (3）△F 1MF 2的底｜F 1F 2｜=43，F 1F 2的高h =｜m |=3，∴S 21MF F ∆=6。

【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线方程的统一形式可设为m ·x 2
+n ·y 2
=1(mn 〈0）.
(六)点差法的运用
AB P B A y x 是线段且两点相交于的直线与双曲线、过点例,,44)1,8(P 122=-
的中点，求直线AB 的方程。

解 ,44,44),(),,(,2
22221212211=-=-y x y x y x y x B A 则的坐标分别为设
由方程组
,
44,4422
2
2
2121=-=-y x y x 推得,0))((4))((21212121=-+--+y y y y x x x x
.2,16,)1,8(2121=+=+∴y y x x AB P 的中点是段
,2)
(4212
12121=++=--∴
y y x x x x y y 故直线AB 的斜率为2，)8(21-=-x y 其方程为
.0152=--y x 即
例2．对于双曲线2
2
12
y x -=,过(1,1)B 能否作直线m ， 使m 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是PQ 的中点.
解:假设存在直线m ，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则
22112
2221212
22(1)22(2)
2
(3)2(4)x y x y x x y y ⎧-=⎪⎪-=⎨
+=⎪⎪+=⎩ （1）－（2）得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=
∴12124()2()0x x y y ---=
∴12
12
2y y k x x -==-
∴m 的方程为：12(1)y x -=-即21y x =- 由22
2122
y x x y =-⎧⎨-=⎩得2
2430x x -+= 2(4)42380∆=--⨯⨯=-<
∴m 与已知双曲线无交点，即假设不成立， ∴m 不存在.。