离散数学半群与群

运算.
（6）<R*,◦>为半群，其中R*为非零实数集合，◦运算定
义如下：
∀ x,y∈R*, x◦y=y
二、半群与独异点的性质
1．半群<S,◦>中的幂
可以定义元素的幂，对任意x∈S，规定：
x1=x
xn+1=xn◦x,
n∈Z+
用数学归纳法不难证明x 的幂遵从以下运算规则：
xn◦xm=xn+m
(xn)m= xnm
|b−1ab| = |a|. （2）设 |ab| = r，|ba| = t，则有 (ab)t+1 = a(ba)t b = ab
由消去律得 (ab) t = e，从而可知，r|t. 同理可证 t|r. 因此 |ab| = |ba|.
第三节 子群
一、子群的定义
定义11.8 设G是群，H是G的非空子集，如果H关于G中 的运算构成群，则称H是G 的子群, 记作H≤G.若H是G的子 群，且H⊂ G，则称H是G的真子群，记作H<G. 例 nZ（n 是自然数）是整数加群〈Z,+〉的子群. 当 n≠1 时,nZ 是 Z 的真子群.对任何群 G 都存在子群. G 和{e}都 是 G 的子群，称为 G 的平凡子群.
<e>={e}, <a>={e,a}, <b>={e,b}, <c>={e,c}.
2．群G 的中心C：设G为群,令C={a| a∈G∧∀ x∈ G(ax=xa)}，则C是G的子群，称为G 的中心.
证明：e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明ab−1与G中所有的元素都可交换. ∀ x∈G，有 (ab−1)x = ab−1x = ab−1(x− )1 −1 = a(x−1b)−1 = a(bx−1)−1
ak = amr = (ar)m = em = e. 必要性. 根据除法，存在整数m 和i 使得
k = mr+i, 0≤i≤r− 1 从而有 e = ak = amr+i = (ar)mai = eai = ai
因为|a| = r，必有i = 0. 这就证明了r | k. （2）由(a− )1 r = (ar)−1 = e−1 = e，可知 a−1 的阶存在. 令 |a−1| = t，根据上面的证明有 t|r.a 又是 a−1 的逆元，所 以 r|t. 从而证明了 r = t，即|a−1| = |a|.
a(b−1) −1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知 H 是 G 的子群.
定理11.7 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且
仅当∀ a,b∈H 有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明a∈H有a−1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a−1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则S⊆ H. 由于H 是有穷集，必有ai = aj（i<j）.根据G 中的消
+是普通加法. 这些半群中除<Z+,+>外都是独异点.
（2）设n 是大于1 的正整数，<Mn(R),+>和<Mn(R),·>
都是半群，也都是独异点，其中+和·分别表示矩阵加法
和矩阵乘法.
（3）<P(B),⊕>为半群，也是独异点，其中⊕为集合的
对称差运算.
（4）<Zn, ⊕>为半群，也是独异点，其中
Zn={0,1,…,n−1}，⊕为模n加法. （5）<AA, ◦>为半群，也是独异点，其中◦为函数的复合
n 0, n m
群中元素可以定义负整数次幂.
在<Z3,⊕>中有 2−3 = (2−1)3 = 13 = 1⊕1⊕1 = 0
在<Z,+>中有 (− 2)−3 = 23 = 2+2+2 = 6
定义11.7 设G是群，a∈G，使得等式ak=e成立的最小正 整数k称为a的阶，记作|a|=k，称a为k阶元.若不存在这样 的正整数k，则称a为无限阶元.
第二节 群的定义与性质
一、群的定义、实例与术语
1．群的定义 定义11.4 设<G,◦>是代数系统，◦为二元运算. 如果◦ 运算是可结合的，存在单位元e∈G，并且对G 中的任何元 素x 都有x−1∈G，则称G 为群. 2．群的实例 例 （1）<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是群；<Z+,+>和<N,+>不是 群. （2）<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群. （3）<P(B),⊕>是群，⊕为对称差运算. （4）<Zn,⊕>，也是群. Zn={0,1,…,n−1}，⊕为模 n 加.
2．实例 例 设半群V1=<S,·>，独异点V2=<S,·,e>. 其中·为 矩阵乘法，e 为2 阶 单位矩阵,
a S c
T
a 0
b
d
|
a,
b,
c,
d
R 0 0|Fra bibliotekaR
则
T⊆ S，且
T
是
V1=<S,·>的子半群.
1 0
0 0
是
T
的单位
元，T 构成独异点，但不是 S 的子独异点，因为 S 的单 位元是 e.
在<Z6,⊕>中，2 和4 是3 阶元，3 是2 阶元，1 和5 是 6 阶元，0 是1 阶元. 在<Z,+>中，0 是 1 阶元，其它整数的阶都不存在.
二、群的性质
1．群的幂运算规则 定理11.1 设G 为群，则G 中的幂运算满足：
（1）∀ a∈G，(a− )1 −1=a. （2）∀ a,b∈G，(ab)−1=b−1a−1. （3）∀ a∈G，anam=an+m，n,m∈Z. （4）∀ a∈G，(an)m=anm，n,m∈Z. （5）若G 为交换群，则(ab)n=anbn. 证（1）(a− )1 −1 是a−1 的逆元，a 也是a−1 的逆元. 根 据逆元的唯一性，等式得证. （ 2 ） (b−1a−1)(ab)= b−1(a−1a)b = b−1b = e, 同 理 (ab)( b− a1 −1)=e，故 b a −1 −1 是 ab 的逆元. 根据逆元的唯 一性等式得证.
aiG = G. 证 由群中运算的封闭性有aiG ⊆ G. 假设aiG ⊂ G，即 | aiG | < n.必有aj,ak∈G 使得
aiaj = aiak （j ≠ k） 由消去律得 aj = ak,与 |G| = n 矛盾.
4．群中元素的阶的性质 定理11.4 G为群，a∈G且|a| = r.设k 是整数，则 （1）ak = e 当且仅当r|k， （2）|a−1| = |a| 证（1）充分性. 由于r|k，必存在整数m 使得k = mr， 所以有
例 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明 （1）|b−1ab| = |a| （2）|ab| = |ba|
证（1）设 |a| = r，|b−1ab| = t，则有 (b−1ab)r = b−1arb = b−1b = e
从而有t|r. 另一方面，由a = (b−1) −1 (b−1ab)b−1 可知 r|t. 从而有
ϕ (x◦y)= ϕ (x)∗ ϕ (y) 且 ϕ (e1)= e2, 则称 ϕ 为独异点 V1 到 V2 的同态映射，简称同态.
2．实例 设半群V1=<S,·>，独异点V2=<S,·,e>. 其中·为矩阵 乘法，e为2 阶单位矩阵,
S
a 0
0 d
|
a,
d
R
令
(a0
0
d
)
a 0
0 0
，
ϕ 是半群 V1 的自同态，ϕ 不是独异点 V2 的自同态，因为它 没有将 V2 的单位元映到 V2 的单位元.
2．群方程存在惟一解 定理11.2 G为群，∀ a,b∈G，方程ax=b 和ya=b在G中 有解且仅有惟一解. 证 a−1b代入方程左边的x 得
a(a−1b) = (aa−1)b = eb = b 所以a−1b是该方程的解. 下面证明惟一性.
假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有 c = ec = (a−1a)c = a−1 (ac) = a−1b
例：<Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,⊕>是有限群，也是n 阶 群.Klein 四元群是4 阶群.<{0},+>是平凡群. n 阶(n≥2) 实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.
定义11.6 设G是群，a∈G，n∈Z，则a的n次幂.
e
an
an1 a
(a 1 ) m
n 0, n0
例 设G={a,b,c,e}，G 上的运算由下表给出 ，称为 Klein 四元群
3．有关群的术语 定义11.5 （1）若群G 是有穷集，则称G 是有限群，否则称为无限群. 群G 的基数称为群G 的阶，有限群G 的阶记作|G|. （2）只含单位元的群称为平凡群. （3）若群G 中的二元运算是可交换的，则称G 为交换群或 阿贝尔 (Abel) 群.
五、半群与独异点的同态映射
1．定义
定义11.3 （1）设V1=<S1,◦>, V2=<S2,∗>是半群，ϕ：S1→S2. 若对任意x,y∈S1 有
ϕ (x◦y)= ϕ (x)∗ ϕ (y) 则称ϕ为半群V1到V2的同态映射，简称同态.
（2） 设V1=<S1,◦,e1>,V2=<S2,∗,e2>是独异点，ϕ: S1→S2. 若对任意x, y∈S1有
同理可证b a−1是方程ya=b的惟一解. 例 设群G=<P({a,b}),⊕>，其中⊕为对称差. 解下列
群方程： {a}⊕X=∅，Y⊕{a,b}={b}
解 X={a}−1 ⊕ ∅ ={a} ⊕ ∅ ={a} ， Y={b} ⊕ {a,b}−1={b} ⊕ {a,b}={a}
3. 消去律 定理11.3 G为群，则G中适合消去律，即对任意 a,b,c∈G有 （1）若ab = ac，则b = c. （2）若ba = ca，则b = c. 证明略 例 设G = {a1,a2,…,an}是n 阶群，令 aiG = {aiaj | j=1,2,…,n} 证明
m,n∈Z+
2．独异点<S,◦,e>中的幂
对于任意的x∈S，可以定义x 的零次幂，即
x0=e
xn+1=xn◦x
n∈N
独异点的幂运算也遵从半群的幂运算规则，其中m 和n
是自然数.
三、子半群与子独异点
1. 定义与判别方法 半群的子代数叫做子半群，独异点的子代数叫做子独 异点. 子半群的判别方法： V=<S,◦>是半群，T⊆ S，T 非空，如果T 对V 中的运算 ◦封闭，则<T,◦>是V 的子半群. 子独异点的判别方法： V=<S,◦,e>是独异点，T⊆ S，T 非空，如果 T 对 V 中的运 算◦封闭，而且 e∈T，那么<T,◦,e>构成 V 的子独异点.
二．子群的判定定理
定理11.5 （判定定理一） （1）∀ a,b∈H 有ab∈H. （2）∀ a∈H 有a−1∈H.
证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明e∈H. 因为 H 非空，存在 a∈H. 由条件（2）知 a−1∈H，根据 条件（1）a a−1∈H，即 e∈H.
定理11.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G 的子群当且仅当∀ a,b∈H 有ab−1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H.根据给定条件得aa−1∈H，即e ∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea−1∈H，即a−1∈H. 任取a,b∈H，知b−1∈H. 再利用给定条件得
证明：首先由a∈<a>知道<a>≠∅. 任取am,al∈<a>，则 am(al)−1 = ama−l = am−l∈<a>
根据判定定理二可知<a>≤G. 例:整数加群，由2生成的子群是<2>={2k | k∈Z}=2Z 群<Z6,⊕ >中，由2生成的子群<2>={0,2,4} Klein 四元群G = {e,a,b,c}的所有生成子群是：
去律得 aj−i = e，由a ≠ e 可知j− i>1，由此得 a a j−i−1 = e 和 aaj−i−1 = e
从而证明了 a−1 = aj−i−1∈H.
三、典型子群的实例：生成子群、群的中心等
1． 生成子群：设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H 是G的子群，称为由a生成的子群，记作<a>.
其中为矩阵乘法e为2阶单位矩阵????????????rdadas00令????????????00000ada??是半群v1的自同态?不是独异点v2的自同态因为它没有将v2的单位元映到v2的单位元
离散数学半群与群
2．实例
例：（1）<Z+,+>,<N,+>,<Z,+>,<Q,+>,<R,+>都是半群，
四、半群与独异点的直积
定义11.2 设V1=<S1,◦ >，V2=<S2,∗>是半群(或独异点)， 令S=S1×S2，定义S 上的·运算如下：∀ <a,b>,<c,d>∈S,
<a,b> · <c,d> = <a◦c,b∗d> 称<S,·>为V1 和V2 的直积，记作V1×V2. 不难证明 V1×V2 是半群.若 V1 和 V2 是独异点，其单位元分 别为 e1 和 e2，则<e1,e2>是 V1×V2 中的单位元，因此 V1×V2 也是独异点.