2020-2021高三数学下期末第一次模拟试题附答案(7)

2020-2021高三数学下期末第一次模拟试题附答案(7)
一、选择题
1．设1i
2i 1i
z -=++，则||z = A ．0 B ．
12
C ．1
D ．2
2．若复数2
1i
z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i
B ．1−i
C ．−1+i
D ．−1−i
3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
4．2
5
32()x x
-展开式中的常数项为（ ） A ．80
B ．-80
C ．40
D ．-40
5．已知F 1，F 2分别是椭圆C :22
221x y a b
+= (a >b >0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，
使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A ．2,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
B ．12,32⎡⎢⎣⎦
C ．1,13⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
D ．10,3
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
6．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+
)2
π
α B ．s(+
)2
co π
α C ．sin()πα+ D ．s()co πα+
7．设R λ∈，则“3λ=-”是“直线2(1)1x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
8．函数y =2x sin2x 的图象可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
9．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4 10．若实数满足约束条件
，则的最大值是（ ）
A ．
B ．1
C ．10
D ．12
11．已知抛物线2
2(0)y px p =>交双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的渐近线于A ，B 两点
（异于坐标原点O ），若双曲线的离心率为5，AOB ∆的面积为32，则抛物线的焦点为（ ） A ．(2,0)
B ．(4,0)
C ．(6,0)
D ．(8,0)
12．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )
A ．
43
π
B ．
83
π C ．
163
π
D ．
203
π
二、填空题
13．设25a b m ==,
且
11
2
a b
+=,则m =______. 14．在ABC V 中，60A =︒，1b =，面积为3，则
sin sin sin a b c
A B C
++=++________．
15．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________． 16．已知复数z=（1+i ）（1+2i ）,其中i 是虚数单位，则z 的模是__________ 17．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为________．
18．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）
19．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
P ABC -的体积为________.
20．已知实数,x y 满足不等式组201030
y x y x y -≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则y
x 的取值范围为__________．
三、解答题
21．
11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束. （1）求P （X =2）；
（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率.
22．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=o .
（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；
（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=o ，求二面角A −PB −C 的余弦值. 23．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.
（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围； （2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围. 24．已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n∈N +）． （1）求数列｛n a ｝的通项公式； （2）求数列｛
1
2n
n a +｝的前n 项和Tn . 25．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量(单位：千克)与销售价格(单
位：元/千克)满足关系式
，其中
，为常数，已知销售价
格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1) 求的值；
(2) 若商品的成品为3元/千克, 试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大
26．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11D C ，11C B 的中点，
AC BD P =I ，11A C EF Q =I .求证：
（1）D B F E ，，，四点共面；
（2）若1A C 交平面DBEF 于R 点，则P Q R ，，三点共线.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，然后求解复数的模.
详解：
()()
()()
1i1i
1i
2i2i 1i1i1i
z
--
-
=+=+ +-+
i2i i
=-+=，
则1
z=，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
2．B
解析：B
【解析】
试题分析：
22(1i)
1i,1i 1i(1i)(1i)
z z
+
===+∴=-
--+
，选B.
【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形．
【详解】
由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧，由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C选项．
故选C．
点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
考点：三视图．
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
【详解】
2532()x x -
展开式的通项公式为:53
251()2()r r
r r T C x x
-+-=，化简得10515(2)r r r r T C x -+=-，令1050r -=，即2r =，故展开式中的常数项为252
30(42)T C ==-.
故选：C. 【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
5．C
解析：C 【解析】 如图所示，
∵线段PF 1的中垂线经过F 2，
∴PF 2＝12F F ＝2c ，即椭圆上存在一点P ，使得PF 2＝2c. ∴a－c≤2c≤a＋c.∴e＝
1
[,1)3
c a ∈.选C. 【点睛】求离心率范围时，常转化为x,y 的范围，焦半径的范围，从而求出离心率的范围。

本题就是通过中垂线上点到两端点距离相等，建立焦半径与,,a b c 的关系，从而由焦半径的范围求出离心率的范围。

6．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】
解：角α的终边在第二象限，sin +
2πα⎛⎫
⎪⎝
⎭
＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛
⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；
()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确
故选D 【点睛】
本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关
键．
7．A
解析：A 【解析】 【分析】
当3λ=-时，两条直线是平行的，但是若两直线平行，则3λ=-或1λ=，从而可得两者之间的关系. 【详解】
当3λ=-时，两条直线的方程分别为：6410x y ++=，3220x y +-=，此时两条直线平行；
若两条直线平行，则()()2161λλλ⨯-=--，所以3λ=-或1λ=，经检验，两者均符合，
综上，“3λ=-”是“直线()211x y λλ+-=与直线()614x y λ+-=平行” 的充分不必要条件，故选A. 【点睛】
充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则
p 是q 的既不充分也不必要条件.
8．D
解析：D 【解析】
分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π
(,π)2上的符号，即可判断选择.
详解：令()2sin 2x
f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以()2sin 2x
f x x =为奇函
数，排除选项A,B;
因为π(,π)2
x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D.
点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．
9．A
解析：A 【解析】
余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=
解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查. 【详解】
在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数
经过平面区域的点
时，
取最大值
.
【点睛】
解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.
11．B
解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得
2b
a
=，设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性列出方程组确定p 的值即可确定焦点坐标. 【详解】
2222
2
222
15c a b b e a a a
+===+=，∴2b a =， 设点A 位于第一象限，且(),A m n ，结合图形的对称性可得：
22322n m mn n pm ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，解得：8p =，∴抛物线的焦点为()4,0，故选B . 【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的对称性，双曲线的渐近线，抛物线焦点坐标的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式． 【详解】
由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC ⊥底面ABC ，高为
3SO =；
其中1OA OB OC ===，SO ⊥平面ABC ，
其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM x =，根据SM=MB 得到：在三角形MOB 中，21SM 3x x +=，213x x +=， 解得3x =
∴外接球的半径为3233R ==；
∴三棱锥外接球的表面积为223164(33
S ππ=⨯=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同
样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11
log 102m a b
+==，得到答案. 【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c 进而利用余弦定理可求a 的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在
解析：
3
【解析】 【分析】
由已知利用三角形面积公式可求c ，进而利用余弦定理可求a 的值，根据正弦定理即可计算求解. 【详解】
60A =︒Q ，1b =
11
sin 122bc A c ==⨯⨯, 解得4c =，
由余弦定理可得：
a ===，
所以13239sin sin sin sin 33
2
a b c a A B C A ++===++, 故答案为：
239 【点睛】
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 15．【解析】【详解】因为所以①因为所以②①②得即解得故本题正确答案为
解析：12
- 【解析】
【详解】
因为
， 所以
，① 因为
， 所以
，② ①②得
， 即
， 解得
， 故本题正确答案为
16．【解析】【分析】利用复数的运算法则模的计算公式即可得出【详解】解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i∴|z|故答案为【点睛】对于复数的四则运算要切实掌握其运算技巧和常规思路如其
10
【解析】
【分析】
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【详解】
解：复数z ＝（1+i ）（1+2i ）＝1﹣2+3i ＝﹣1+3i ，
∴|z |22(1)310=-+=
10．
【点睛】
对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如
()()a bi c di ++=()()(,,,)ac bd ad bc i a b c d R -++∈．其次要熟悉复数相关概念，如复
数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b (,)a b 、共轭复数为a bi -．
17．8【解析】分析：先判断是否成立若成立再计算若不成立结束循环输出结果详解：由伪代码可得因为所以结束循环输出点睛：本题考查伪代码考查考生的读图能力难度较小
解析：8
【解析】
分析：先判断6I <是否成立，若成立，再计算I S ，，若不成立，结束循环，输出结果.详解：由伪代码可得3,2;5,4;7,8I S I S I S ======，因为76>，所以结束循环，输出8.S =
点睛：本题考查伪代码，考查考生的读图能力，难度较小.
18．【解析】【分析】首先想到所选的人中没有女生有多少种选法再者需要确定从人中任选人的选法种数之后应用减法运算求得结果【详解】根据题意没有女生入选有种选法从名学生中任意选人有种选法故至少有位女生入选则不同 解析：16
【解析】
【分析】
首先想到所选的人中没有女生，有多少种选法，再者需要确定从6人中任选3人的选法种数，之后应用减法运算，求得结果.
【详解】
根据题意，没有女生入选有344C =种选法，从6名学生中任意选3人有3620C =种选法，
故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416-=种，故答案是16.
【点睛】
该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解.
19．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径
【解析】
【分析】
做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.
【详解】
正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到2
1642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60
= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393 【点睛】
这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 20．【解析】【分析】作出可行域表示与（00）连线的斜率结合图形求出斜率的最小值最大值即可求解【详解】如图不等式组表示的平面区域（包括边界）所以表示与（00）连线的斜率因为所以故【点睛】本题主要考查了简单 解析：1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
【分析】 作出可行域，y x
表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，结合图形求出斜率的最小值，最大值
即可求解.
【详解】
如图，不等式组201030y x y x y -⎧⎪--⎨⎪+-⎩
………表示的平面区域ABC V （包括边界），所以y x 表示(),x y 与（0，0）连线的斜率，因为()()1,22,1A B ，，所以122
OA OB k k ==
，，故1,22y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划问题，涉及斜率的几何意义，数形结合的思想，属于中档题. 三、解答题
21．（1）0.5；（2）0.1
【解析】
【分析】
(1)本题首先可以通过题意推导出()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出()4P X =所包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，()2P X =所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以()20.50.40.50.60.5P X ==??
(2)由题意可知，()
4P X =包含的事件为“前两球甲乙各得1分，后两球均为甲得分” 所以()40.50.60.50.4+0.50.40.50.40.1P X ==创
创创= 【点睛】
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出()2P X =以及()
4P X =所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档
题．
22．（1）见解析；（2）3
-. 【解析】
【详解】
（1）由已知90BAP CDP ∠=∠=︒，得AB ⊥AP ，CD ⊥PD ．
由于AB//CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD ．
又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD ．
（2）在平面PAD 内作PF AD ⊥，垂足为F ， 由（1）可知，AB ⊥平面PAD ，故AB PF ⊥，可得PF ⊥平面ABCD . 以F 为坐标原点，FA u u u v 的方向为x 轴正方向，AB u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -.
由（1）及已知可得2A ⎫⎪⎪⎝⎭，2P ⎛ ⎝⎭，2B ⎫⎪⎪⎝⎭，2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以22PC ⎛= ⎝⎭u u u v ，)
2,0,0CB =u u u v ，22PA =⎝⎭u u u v ，()0,1,0AB =u u u v . 设(),,n x y z =r 是平面PCB 的法向量，则 0,0,n PC n CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即220,20,x y x ⎧+-=⎪⎨⎪=⎩
可取(0,1,2n =--r . 设(),,m x y z r
=是平面PAB 的法向量，则 0,0,m PA m AB ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r 即220,220.x z y -=⎨⎪=⎩
可取()1,0,1m =r .
则cos ,n m n m n m ⋅==r r r r r r ， 所以二面角A PB C --
的余弦值为 【名师点睛】
高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：
①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；
②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；
③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
23．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2-
【解析】
【分析】
（1）利用绝对值不等式公式进行求解；
（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.
【详解】
解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，
当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，
故函数()21f x x x =++-的最小值为3，
且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.
（2）因为(){}
10x f x ax R +-=，
所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩
.
令()1g x ax =-+，
其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.
如图，()2,3A ，()1,3B -.
则直线PA 的斜率131120k -=
=-， 直线PB 的斜率231210
k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，
所以a 的范围为()1,2-.
【点睛】
本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用.
24．（1）26()n a n n N +=-∈；（2）112n n n T -=--
【解析】
【分析】
（1）运用数列的递推式：11,1,1n n n S n a S S n -=⎧=⎨
->⎩，计算可得数列｛n a ｝的通项公式；（2）结合（1）求得
1322n n n a n +-=，运用错位相减法,结合等比数列的求和公式，即可得到数列｛12
n n a +｝的前n 项和n T . 【详解】
（1）因为11,1,1
n n n S n a S S n -=⎧=⎨->⎩，()25n S n n n N +=-∈ 所以114a S ==-, 1n >时,()()2
2 515126n a n n n n n =---+-=- 1n =也适合，所以()+26N n a n n =-∈
（2）因为
1322n n n a n +-=， 所以12121432222
n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++ 2311214322222
n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++
两式作差得：1211211322222n n n n T +--=
++⋅⋅⋅+- 化简得1111222n n n T +-=-
-， 所以112n n
n T -=--
. 【点睛】 本题考查数列的通项公式的求法，等比数列的求和公式，考查数列的错位相减法，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
25．(1)因为时，所以；
(2)由(1)知该商品每日的销售量
，所以商场每日销售该商品所获得的利润：222()(3)[10(6)]210(3)(6),363
f x x x x x x x =-+-=+--<<-； /2()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+-----，令/()0f x =得4x =函数在(3,4)上递增，在(4,6)上递减，
所以当
时函数取得最大值 答：当销售价格时,商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42.
【解析】
(1)利用销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．把x=5,y=11代入
,解关于a 的方程即可求a..
(2)在（1）的基础上，列出利润关于x 的函数关系式，
利润=销售量⨯（销售单价－成品单价），然后利用导数求其最值即可.
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由中位线定理可知//EF BD ，故四点共面（2）PQ 是平面11AAC C 与平面DBFE 的交线，可证R 是两平面公共点，故PQ 过R ，得证.
【详解】
证明：（1）EF Q 是111D B C ∆的中位线， 11//EF B D ∴.
在正方体1AC 中，11//B D BD ，
//EF BD ∴.
,EF BD ∴确定一个平面，即D B F E ，，，四点共面. （2）正方体1AC 中，设11A ACC 确定的平面为α， 又设平面BDEF 为β.
11,Q AC Q α∈∴∈Q .
又Q EF ∈，Q β∴∈，
则Q 是α与β的公共点，
a PQ β∴⋂=.
又11,AC R R AC β⋂=∴∈.
R a ∴∈，且R β∈，
则R PQ ∈，故P Q R ，，三点共线.
【点睛】
本题主要考查了多点共面及多点共线问题，主要利用平面的基本性质解决，属于中档题.。