小学奥数长方体正方体染色问题、三视图知识点+例题+练习(分类全面)

教学内容长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图
教学目标掌握长方体正方体染色问题、沉浸问题、三视图
重点染色问题、沉浸问题、三视图
难点染色问题、沉浸问题、三视图
教学过程
、染色问题
一个棱长 1 分米的正方体木块，表面涂满了红色，把它切成棱长 1 厘米的小正方体。

在这些小正方体中：
1）三个面涂有红色的有多少个？
2）两个面涂有红色的有多少个？
3）一个面涂有红色的有多少个？
4）六个面都没有涂色的有多少个？
面我们结合图示，分别来看看这几个问题
1）三个面涂有红色的小正方体在大正方体的顶点处，正方体有8 个顶点，所以三个面涂有红色的有8 个
2)
两个面涂有红色的小正方体在大正方体的棱上，每条棱上有
8 个，正方体有 12 条棱，
(4) 六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法： 算法 1： 1000 －8－96－384=512(个)； 算法 2： 8 ×8×8=512(个)。

公式：( 1)正方体有 8个顶点、 12 条棱、 6个面 假设把棱 n 等分( n ≥ 3)，那么 : N 的三次方个小立方体组成的立方体的表面图涂上颜色 则未被涂色的小立方体有 (n-2) 3 个 .
一面被涂色的小立方体为 (n-2) 2*6 个.
两面被涂色的小立方体有 (n-2)*12 个 .
所以两个面涂有红色的有 8× 12=96个 3) 一个面涂有红色的小正方体在大正方体的面上，每个面上有 8× 8=64个，正方体有 6 个 个面，所以一个面涂有红色的有 8×8×6=384 个。

(4) 六个面都没有涂色的在大正方体的中间，有两种算法：
三面被涂色的有8 个.
( 2)长方体, 有a*b*c 个立方体组成的长方体表面涂上颜色. 则未被涂色的小立方体有(a-2)*(b-2)*(c-2) 个
一面被涂色的小立方体有(a-2)* (b-2)*2+(b-2)* (c-2)*2+(c-2)* (a-2)*2
两面被涂色的小立方体有(a-2)*4+(b-2)*4+(c-2)*4 三面被涂色的有8 个
例1】下图是 3 3 3 正方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？
0 面：1；1 面：6；两面：2；面：8
【巩固】下图是 4 5 6 长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、两面、三面被涂成红色的小正方体及未被涂色的小正方体各有多少块？
例2】将一个正方体平均分成若干份 1 厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未被涂成红色有64 块，则 2 面涂色的有多少块？
棱长：6
4×12=48
【巩固】将一个长方体平均分成若干份 1 厘米的小正方体，如果将其表面涂成红色，其中未
被涂成红色有 6 块，则2面涂色的有多少块？
6=1 ×1×6 长方体=3×3×8
2 面：1 ×4+1×4+6× 4=32个
或6=1 ×2×3 长方体=3×4×5
2 面： 1 ×4+2×4+3× 4=24个
【例3】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 6 刀，沿着宽边等距离切 3 刀，沿着高边等距离切_次后，能使各面上均没有红色的小方块为20 块．
6 刀是
7 层 3
巩固】一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 4 刀，沿着高边等距离切次后，能使各面上均没有红色的小方块为24 块．
3
【例4】已知一个正方体木块能分割成若干个棱长是 1 厘米的小正方体木块，又知在这个大的正方体木块的 5 个面上涂上红色后，把它分割成若干个棱长 1 厘米的小正方体木块中，有两面涂上红色的共108 块。

那么，只有一面涂上红色的共块。

5 面涂色，棱长为x （x-2 ）× 8+4=108,x=15
13 ×13× 5+13×4=897
【巩固】把若干个相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂上颜色的有36 个，那么这些小正方体一共有多少个？
125
例5】有30 个边长为 1 分米的正方体，在地面上摆成右图的形式，然后把露出的表面涂成
红色，被涂成红色的表面积是（）平方分米。

【巩固】右图是 3 层没有缝隙的小立方块组成的，如果它的外表面（包括底面）全都被涂成红色，那么把它们再分开成一个个小立方块时，有多少个小立方块恰有三面是红色的？
4+12=16
【巩固】如图，这是一个用若干块体积相同的小正方体粘成的模型。

把这个横弄的表面（包括底面）都涂上红色，那么，把这个模型拆开以后，有三面涂上红色的小正方体比有二面涂上红色的小正方体多块。

12
3 面：4+4+20=28
2 面：4+12=26
二、三视图
例1、小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体。

从上体上面看这个立方体，看到的图形
是图①～③中的 。

（填序号） 3
巩固】小华用相同的若干个小正方体摆成一个立体。

从右侧面看这个立方体，看到的图形 是图
巩固】用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从上面和正面看到的图
例 3、用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图 a ，从正面
看这个立体，如下图 b ，则这个形体最多由 个小正方体构成。

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例 2、用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到 的图形。

c
C D
图b（从正面看）
【巩固】用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上向下看这个立体，如下图a，从正面看这个立体，如下图b，则这个形体最少由 _____ 个小正方体构成。

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图 b （从正面看）
例4、小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看
巩固】小明在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块，摆完后从正面看如左下图，从侧面看如右下图，那么他最少用____ 块木块。

9
例5、小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图1 所示，从上面看如图2，那么这个几何体至少用了块木块．23
如右下图，那么他最多用了 ______ 块木块.从上往下看
图1 【巩固】小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 所示，从上面看如图 3所示，那么这个几何体至少用了 块木块． 26
课堂作业：
1． 一个长方体，六个面均涂有红色，沿着长边等距离切 5 刀，沿着宽边等距离切 3 刀，沿
着高边等距离切 次后，要使各面上均没有红色的小方块为 40 块．
2. 将 8 个相同的小正方体拼成一个体积为 8 立方厘米的长方体，表面涂上漆，然后分开，
则 3 个面涂漆的小正方体最多有 ________ 个，最少有 ______ 个。

3. 用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的
图形。

4. 用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图 ，则这个
形体最多由 ______ 个小正方体构成。

21
图
2
家庭作业
1．右图是 6 10 12块小长方体堆叠而成，如果将其表面涂成红色，那么其中一面、二面、面被涂成红色的小长
方体各有多少块？
2. 一个长方体的长是12 厘米，宽8厘米，高也是整厘米数，在它的表面涂满颜色后，截成
棱长是 1 厘米的小正方体，其中一面有色的小正方体有280 个．求原来长方体的体积。

3. 将长为6，宽为5，高为 1 的长方体木块的表面涂上漆，再切成15 块棱长为 1 的小正方
体。

则三个面涂漆的小正方体有_______ 块。

4. 用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体如下图，请画出从正面、上面和右面看到的
图形
5. 用一些棱长是 1 的小正方体码放成一个立体，从上、从右看这个立体都如下图，则这个
形体最少由______ 个小正方体构成，
6. 小明用若干个大小相同的正方体木块堆成一个几何体，这个几何体从正面看如图 2 所
示，从上面看如图 3 所示，那么这个几何体至少用了块木块．。