苏家屯区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

苏家屯区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）
A ．
B ． C. D ．
2． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ ） A ．y=x ﹣1
B ．y=lnx
C ．y=x 3
D ．y=|x|
3． 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）．经过2个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ）
A ．512个
B ．256个
C ．128个
D ．64个
4． 设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则=（ ）
A ．2
B ．4
C ．
D ．
5． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A ．3，6，9，12，15，18 B ．4，8，12，16，20，24 C ．2，7，12，17，22，27 D ．6，10，14，18，22，26
6． 已知，则f{f[f （﹣2）]}的值为（ ） A ．0 B ．2
C ．4
D ．8
7． （﹣6≤a ≤3）的最大值为（ ）
A ．9
B ．
C ．3
D ．
8． 在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则
等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9． 设{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6 10．如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2），且P（﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，则P（ξ≥1）等于（）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
11．已知函数f（x）=若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根，则实数k的取值范
围是（）
A．（0，1） B．（1，+∞）C．（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1）
12．命题“∀x∈R，2x2+1＞0”的否定是（）
A．∀x∈R，2x2+1≤0 B．
C．D．
二、填空题
13．在极坐标系中，O是极点，设点A，B的极坐标分别是（2，），（3，），则O点到直线AB 的距离是．
14．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0=．
15．设幂函数()
f x kxα
=的图象经过点()
4,2，则kα
+= ▲．
16．若函数f（x）=x2﹣2x（x∈[2，4]），则f（x）的最小值是．
17．已知等差数列{a n}中，a3=，则cos（a1+a2+a6）=．
18．给出下列命题：
①存在实数α，使
②函数是偶函数
③是函数的一条对称轴方程
④若α、β是第一象限的角，且α＜β，则sinα＜sinβ
其中正确命题的序号是．
三、解答题
19．一艘客轮在航海中遇险，发出求救信号.在遇险地点A南偏西45方向10海里的B处有一艘海
难搜救艇收到求救信号后立即侦查，发现遇险客轮的航行方向为南偏东75，正以每小时9海里的速度向
一小岛靠近.已知海难搜救艇的最大速度为每小时21海里.
（1）为了在最短的时间内追上客轮，求海难搜救艇追上客轮所需的时间； （2）若最短时间内两船在C 处相遇，如图，在ABC ∆中，求角B 的正弦值.
20．某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位;h ）的变化近似满足函数关系；
(1) 求实验室这一天的最大温差； (2) 若要求实验室温度不高于
，则在哪段时间实验室需要降温？
21．【无锡市2018届高三上期中基础性检测】在一块杂草地上有一条小路AB,现在小路的一边围出一个三角形（如图）区域，在三角形ABC 内种植花卉.已知AB 长为1千米，设角,C θ=AC 边长为BC 边长的()1a a >倍，三角形ABC 的面积为S （千米2）. 试用θ和a 表示S ；
（2）若恰好当60θ=时，S 取得最大值，求a 的值.
22．已知函数()2
ln f x x bx a x =+-.
（1）当函数()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*
0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；
（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且12
02
x x x +=，求证：()00f x '>．
23．某同学在研究性学习中，了解到淘宝网站一批发店铺在今年的前五个月的销售量（单位：百件）的数据如
（Ⅰ）该同学为了求出y 关于x 的回归方程=x+，根据表中数据已经正确算出=0.6，试求出的值，并估计该店铺6月份的产品销售量；（单位：百件）
（Ⅱ）一零售商现存有从该淘宝批发店铺2月份进货的4件和3月份进货的5件产品，顾客甲现从该零售商处随机购买了3件，后经了解，该淘宝批发店铺今年2月份的产品都有质量问题，而3月份的产品都没有质量问题．记顾客甲所购买的3件产品中存在质量问题的件数为X，求X的分布列和数学期望．
24．已知集合A={x|x＜﹣1，或x＞2}，B={x|2p﹣1≤x≤p+3}．
（1）若p=，求A∩B；
（2）若A∩B=B，求实数p的取值范围．
苏家屯区三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】
试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 2． 【答案】D
【解析】解：选项A ：y=
在（0，+∞）上单调递减，不正确；
选项B ：定义域为（0，+∞），不关于原点对称，故y=lnx 为非奇非偶函数，不正确；
选项C ：记f （x ）=x 3，∵f （﹣x ）=（﹣x ）3=﹣x 3，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）是奇函数，又∵y=x 3
区间
（0，+∞）上单调递增，符合条件，正确；
选项D ：记f （x ）=|x|，∵f （﹣x ）=|﹣x|=|x|，∴f （x ）≠﹣f （x ），故y=|x|不是奇函数，不正确． 故选D
3． 【答案】D
【解析】解：经过2个小时，总共分裂了=6次， 则经过2小时，这种细菌能由1个繁殖到26
=64个．
故选：D ．
【点评】本题考查数列的应用，考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．
4． 【答案】C
【解析】解：由于q=2，
∴
∴
；
故选：C ．
5． 【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C 中编号间隔为5，
故选：C ．
6． 【答案】C 【解析】解：∵﹣2＜0 ∴f （﹣2）=0
∴f （f （﹣2））=f （0） ∵0=0
∴f （0）=2即f （f （﹣2））=f （0）=2 ∵2＞0
∴f （2）=22
=4
即f{f[（﹣2）]}=f （f （0））=f （2）=4 故选C ．
7． 【答案】B
【解析】解：令f （a ）=（3﹣a ）（a+6）=﹣+
，而且﹣6≤a ≤3，由此可得函数f
（a ）的最大值为，
故（﹣6≤a ≤3）的最大值为
=
，
故选B ．
【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．
8． 【答案】D
【解析】
设的公比为，则
，
，
因为也是等比数列，所以
，
即
，所以 因为，所以，即
，所以
，故选D
答案：D
9． 【答案】B 【解析】
试题分析：设{}n a 的前三项为123,,a a a ，则由等差数列的性质，可得1322a a a +=，所以12323a a a a ++=，
解得24a =，由题意得1313
812a a a a +=⎧⎨=⎩，解得1326a a =⎧⎨=⎩或136
2a a =⎧⎨=⎩，因为{}n a 是递增的等差数列，所以
132,6a a ==，故选B ．
考点：等差数列的性质． 10．【答案】A
【解析】解：如果随机变量ξ～N （﹣1，σ2
），且P （﹣3≤ξ≤﹣1）=0.4，
∵P （﹣3≤ξ≤﹣1）
=
∴
∴P （ξ≥1）
=
．
【点评】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位．
11．【答案】A
【解析】解：函数f （x ）
=
的图象如下图所示：
由图可得：当k ∈（0，1）时，y=f （x ）与y=k 的图象有两个交点， 即方程f （x ）=k 有两个不同的实根， 故选：A
12．【答案】C
【解析】解：∵命题∀x ∈R ，2x 2
+1＞0是全称命题，
∴根据全称命题的否定是特称命题得命题的否定是：
“
”，．
故选：C ． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，要求掌握特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称
命题，比较基础．
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：根据点A ，B 的极坐标分别是（2，
），（3，
），可得A 、B 的直角坐标分别是（3，
）、（﹣，），
故AB 的斜率为﹣
，故直线AB 的方程为 y ﹣
=﹣
（x ﹣3），即x+3
y ﹣12=0，
所以O 点到直线AB 的距离是=
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
14．【答案】 ．
【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：
【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．
15．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义 16．【答案】 0 ．
【解析】解：f （x ））=x 2
﹣2x=（x ﹣1）2﹣1，
其图象开口向上，对称抽为：x=1， 所以函数f （x ）在[2，4]上单调递增， 所以f （x ）的最小值为：f （2）=22
﹣2×2=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查二次函数在闭区间上的最值问题，一般运用数形结合思想进行处理．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，
∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=
，
∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =
．
故答案是：
．
18．【答案】 ②③ ．
【解析】解：①∵sin αcos α=sin2α∈[，]，∵
＞，∴存在实数α，使
错误，故①
错误，
②函数=cosx 是偶函数，故②正确，
③当
时，
=cos （2×
+
）=cos π=﹣1是函数的最小值，则
是函数
的一条对称轴方程，故③正确，
④当α=
，β=
，满足α、β是第一象限的角，且α＜β，但sin α=sin β，即sin α＜sin β不成立，故④错误，
故答案为：②③．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的图象和性质，考查学生的运算和推理能力．
三、解答题
19．【答案】（1）23小时；（2 【解析】
试
题解析：（1）设搜救艇追上客轮所需时间为小时，两船在C 处相遇. 在ABC ∆中，4575120BAC ∠=+=，10AB =，9AC t =，21BC t =. 由余弦定理得：222
2cos BC AB AC AB AC BAC =+-∠， 所以2
2
2
1(21)10(9)2109()2
t t t =+-⨯⨯⨯-，
化简得2
369100t t --=，解得23t =
或512t =-（舍去）. 所以，海难搜救艇追上客轮所需时间为2
3
小时.
（2）由2963AC =⨯=，2
21143
BC =⨯=.
在ABC ∆
中，由正弦定理得6sin 6sin120
2sin 14
14AC BAC B BC ⨯
∠===
=. 所以角B . 考点：三角形的实际应用．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形的实际应用，其中解答中涉及到正弦定理、余弦定理的灵活应用，注重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，可先根据题意，画出图形，由搜救艇和渔船的速度，那么可设时间，并用时间表示,AC BC ，再根据正弦定理和余弦定理，即可求解此类问题，其中正确画出图形是解答的关键． 20．【答案】
【解析】（1）∵f （t ）=10﹣=10﹣2sin （
t+
），t ∈[0，24），
∴≤t+＜
，故当
t+
=
时，函数取得最大值为10+2=12，
当
t+
=
时，函数取得最小值为10﹣2=8，
故实验室这一天的最大温差为12﹣8=4℃。

（2）由题意可得，当f （t ）＞11时，需要降温，由（Ⅰ）可得f （t ）=10﹣2sin （
t+
），
由10﹣2sin （t+）＞11，求得sin （t+）＜﹣，即 ≤t+＜，
解得10＜t ＜18，即在
10时到18时，需要降温。

21．【答案】（1）21sin 212cos a S a a θθ
=
⋅+- （2）2a =【解析】试题
解析：
（1）设边BC x =，则AC ax =， 在三角形ABC 中，由余弦定理得：
22212cos x ax ax θ=+-，
所以2
2112cos x a a θ=+-，
所以2
11sin 2212cos a S ax x sin a a θ
θθ
=⋅⋅=⋅+-， （2）因为()
()
2
2
2cos 12cos 2sin sin 1
212cos a a a a a S a a θθθθθ
+--⋅=+-'⋅， ()
()
22
2
2cos 121212cos a a a
a a θθ
+-=⋅+-， 令0S '=，得02
2cos ,1a
a
θ=
+ 且当0θθ<时，02
2cos 1a
a θ>+，0S '>， 当0θθ>时，02
2cos 1a
a
θ<+，
0S '<， 所以当0θθ=时，面积S 最大，此时00
60θ=，所以221
12
a a =+， 解得2a = 因为1a >，则2a =点睛：解三角形的实际应用，首先转化为几何思想，将图形对应到三角形，找到已知条件，本题中对应知道一个角，一条边，及其余两边的比例关系，利用余弦定理得到函数方程；面积最值的处理过程中，若函数比较复
杂，则借助导数去求解最值。

22．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】
试
题解析： （1）()2a
f'x x b x =+-
，所以(1)251(1)106
f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；
（2）22
626
()6ln '()21x x f x x x x f x x x x
--=--⇒=--=，
因为函数()f x 的定义域为0x >，
令(23)(2)3
'()02
x x f x x x +-=
=⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，
当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，
（3）当1a =时，函数2
()ln f x x bx x =+-，
21111()ln 0f x x bx x =+-=，2
2222()ln 0f x x bx x =+-=，
两式相减可得22
121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=
-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001
'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，
所以12120121212
ln ln 2
'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+-
-+ 212121221221122112211
1
21ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤
⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
设21
1x
t x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，
∴22
222
14(1)4(1)'()0(1)(1)(1)
t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，
∴()0h t >，又
21
1
0x x >-，所以0'()0f x >．
考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.
【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 23．【答案】
【解析】解：（1）， =5…
且
，代入回归直线方程可得
∴=0.6x+3.2，
x=6时， =6.8，…
（2）X 的取值有0，1，2，3，则
，
，
，
…
【点评】本题考查线性回归方程、离散型随机变量的分布列及其数学期望，考查学生分析解决问题的能力．
24．【答案】
【解析】解：（1）当p=时，B={x|0≤x ≤}，
∴A ∩B={x|2＜x ≤}； （2）当A ∩B=B 时，B ⊆A ；
令2p ﹣1＞p+3，解得p ＞4，此时B=∅，满足题意；
当p ≤4时，应满足，
解得p 不存在；
综上，实数p 的取值范围p ＞4．。