2020届高考数学(理)复习课件：第十五单元§15.7离散型随机变量的均值与方差
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则其方差D(X)=( C ). A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
【解析】由0.5+m+0.2=1,得m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D(X)=(12.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
答案 解析
答案 解析
X
0
12Βιβλιοθήκη P361 191
400 200 400
题型三 均值与方差在决策中的应用
解析
X
1
2
3
P 131 555
点拨： 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水 平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和 全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重 要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
方法突破
方法一 公式法求解二项分布的期望与方差
二项分布以古典概型的求解为基础,求解试验中某事件发生次数的分布列,其中求二 项分布的期望、方差可直接应用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,从而减少计算量. 【突破训练1】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则 如下: 1.抽奖方案有以下两种,方案a:从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2 个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中.方案b: 从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金 15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中. 2.抽奖条件:顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽 奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽 奖一次或方案a,b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元. (1)若顾客A只选择方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望. (2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖?
若随机变量满足e14d14则下列说法正确的是ae4d4be4d4ce3d3de3d4例1网约车的兴起丰富了民众出行的选择为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题据某著名网约车公司滴滴打车官网显示截至目前该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次梁某即为此类网约车司机据梁某自己统计某一天出车一次的总路程单位
方法突破
方法一 概型法求解超几何分布的期望
超几何分布描述的是不放回抽样问题,对应事件的概率需要利用古典概型求解,因为 超几何分布类似抽样中分层抽样,故超几何分布中离散型随机变量的数学期望等于按照 分层抽样得到的样本中某类元素的个数. 【突破训练2】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取100名市民,按年 龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下: (1)求频率分布表中x,y的值,并补全频率分布直方图; (2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调 查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人 数为X,求X的分布列及数学期望. 分组(岁) 频数
(2)由已知设梁某一天出车一次的收入为Y元, 则Y=3(X-3)+5=3X-4(X>3,X∈N),
∴E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3×25-4=71(元),
D(Y)=D(3X-4)=32D(X)=95.4.
点拨：求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义, 写出X的全部可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布 列;(4)由均值的定义求E(X);(5)由方差的定义求D(X).
-3,D(ξ)=4.
答案 解析
关键能力
题型归纳
题型一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】网约车的兴起丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很 多劳动力的就业问题,据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示,截至目前,该公司已经 累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次,梁某即为此类网约车司机,据 梁某自己统计某一天出车一次的总路程(单位:km)数可能的取值是20,22,24,26,28,30,它 们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1,t,2t. (1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列,并求X的均值和方差. (2)网约车计费细则如下:起步价为5元,若行驶路程不超过3 km时,则租车费为5元;若行驶 路程超过3 km,则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.依据以上条件,计 算梁某一天中出车一次收入的均值和方差.
[25,30) x
[30,35) y
[35,40) 35
[40,45) 30
[45,50] 10
合计 100
X
0
1
2
P 78 91 21 190 190 190
谢 谢观 赏
4.若随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,则下列说法正确的是( D ). A.E(ξ)=-4,D(ξ)=4 B.E(ξ)=-4,D(ξ)=-4 C.E(ξ)=-3,D(ξ)=3 D.E(ξ)=-3,D(ξ)=4
【解析】∵随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,∴1-E(ξ)=4,(-1)2D(ξ)=4.据此可得E(ξ)=
【追踪训练2】某市需对某环城快速车道进行限速,为了调研该道路车速情况,于 某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图: 经计算样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过 慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正 速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1辆,求该车辆需矫正速度的概率; (2)从样本中任取2辆车,求这2辆车均需矫正速度的概率; (3)从该快速车道上所有车辆中任取2辆,记其中需矫正速度的辆数为ξ,求ξ的分布 列和数学期望.
【解析】(1)由概率分布的性质得0.1+0.2+0.3+0.1+t+2t=1,解得t=0.1.
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴E(X)=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1+28×0.1+30×0.2=25(km), D(X)=52×0.1+32×0.2+12×0.3+12×0.1+32×0.1+52×0.2=10.6.
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
必备知识 知识清单
一、离散型随机变量的均值与方差
X
x1 x2 … xi … xn
P
p1 p2 … pi … pn
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 平均水平
数学期望
标准差
平均偏离程度
答案
二、均值与方差的性质 1.E(aX+b)= aE(X)+b (a,b为常数). 2.D(aX+b)= a2D(X) (a,b为常数).
三、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若X服从两点分布,则E(X)=
p
,D(X)= p(1-p) .
2.若X~B(n,p),则E(X)= np ,D(X)= np(1-p) .
答案
基础训练
X -1 0 1
P 111 236
A
答案 解析
2.已知离散型随机变量X的分布列为 X1 3 5 P 0.5 m 0.2
解析
X023457
P 1 8 2 16 16 32 75 75 75 75 75 75
题型二 与二项分布有关的均值与方差
解析
X012345
P
32 80 80 40 10 1 243 243 243 243 243 243
点拨：有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线 性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同样还可求出 D(aX+b).
【解析】由0.5+m+0.2=1,得m=0.3,∴E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4,∴D(X)=(12.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44.
答案 解析
答案 解析
X
0
12Βιβλιοθήκη P361 191
400 200 400
题型三 均值与方差在决策中的应用
解析
X
1
2
3
P 131 555
点拨： 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水 平,方差反映了随机变量稳定于均值的程度,它们从整体和 全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重 要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.
方法突破
方法一 公式法求解二项分布的期望与方差
二项分布以古典概型的求解为基础,求解试验中某事件发生次数的分布列,其中求二 项分布的期望、方差可直接应用公式E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p)求解,从而减少计算量. 【突破训练1】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则 如下: 1.抽奖方案有以下两种,方案a:从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2 个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中.方案b: 从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金 15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中. 2.抽奖条件:顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽 奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽 奖一次或方案a,b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元. (1)若顾客A只选择方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望. (2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖?
若随机变量满足e14d14则下列说法正确的是ae4d4be4d4ce3d3de3d4例1网约车的兴起丰富了民众出行的选择为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题据某著名网约车公司滴滴打车官网显示截至目前该公司已经累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次梁某即为此类网约车司机据梁某自己统计某一天出车一次的总路程单位
方法突破
方法一 概型法求解超几何分布的期望
超几何分布描述的是不放回抽样问题,对应事件的概率需要利用古典概型求解,因为 超几何分布类似抽样中分层抽样,故超几何分布中离散型随机变量的数学期望等于按照 分层抽样得到的样本中某类元素的个数. 【突破训练2】某手机卖场对市民进行国产手机认可度的调查,随机抽取100名市民,按年 龄(单位:岁)进行统计的频数分布表和频率分布直方图如下: (1)求频率分布表中x,y的值,并补全频率分布直方图; (2)在抽取的这100名市民中,按年龄进行分层抽样,抽取20人参加国产手机用户体验问卷调 查,现从这20人中随机选取2人各赠送精美礼品一份,设这2名市民中年龄在[35,40)内的人 数为X,求X的分布列及数学期望. 分组(岁) 频数
(2)由已知设梁某一天出车一次的收入为Y元, 则Y=3(X-3)+5=3X-4(X>3,X∈N),
∴E(Y)=E(3X-4)=3E(X)-4=3×25-4=71(元),
D(Y)=D(3X-4)=32D(X)=95.4.
点拨：求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义, 写出X的全部可能取值;(2)求X取每个值的概率;(3)写出X的分布 列;(4)由均值的定义求E(X);(5)由方差的定义求D(X).
-3,D(ξ)=4.
答案 解析
关键能力
题型归纳
题型一 离散型随机变量的均值与方差
【例1】网约车的兴起丰富了民众出行的选择,为民众出行提供便利的同时也解决了很 多劳动力的就业问题,据某著名网约车公司“滴滴打车”官网显示,截至目前,该公司已经 累计解决退伍军人转业为兼职或专职司机三百多万人次,梁某即为此类网约车司机,据 梁某自己统计某一天出车一次的总路程(单位:km)数可能的取值是20,22,24,26,28,30,它 们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1,t,2t. (1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列,并求X的均值和方差. (2)网约车计费细则如下:起步价为5元,若行驶路程不超过3 km时,则租车费为5元;若行驶 路程超过3 km,则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费.依据以上条件,计 算梁某一天中出车一次收入的均值和方差.
[25,30) x
[30,35) y
[35,40) 35
[40,45) 30
[45,50] 10
合计 100
X
0
1
2
P 78 91 21 190 190 190
谢 谢观 赏
4.若随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,则下列说法正确的是( D ). A.E(ξ)=-4,D(ξ)=4 B.E(ξ)=-4,D(ξ)=-4 C.E(ξ)=-3,D(ξ)=3 D.E(ξ)=-3,D(ξ)=4
【解析】∵随机变量ξ满足E(1-ξ)=4,D(1-ξ)=4,∴1-E(ξ)=4,(-1)2D(ξ)=4.据此可得E(ξ)=
【追踪训练2】某市需对某环城快速车道进行限速,为了调研该道路车速情况,于 某个时段随机对100辆车的速度进行取样,测量的车速制成如下条形图: 经计算样本的平均值μ=85,标准差σ=2.2,以频率值作为概率的估计值.已知车速过 慢与过快都被认为是需矫正速度,现规定车速小于μ-3σ或车速大于μ+2σ是需矫正 速度. (1)从该快速车道上所有车辆中任取1辆,求该车辆需矫正速度的概率; (2)从样本中任取2辆车,求这2辆车均需矫正速度的概率; (3)从该快速车道上所有车辆中任取2辆,记其中需矫正速度的辆数为ξ,求ξ的分布 列和数学期望.
【解析】(1)由概率分布的性质得0.1+0.2+0.3+0.1+t+2t=1,解得t=0.1.
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴E(X)=20×0.1+22×0.2+24×0.3+26×0.1+28×0.1+30×0.2=25(km), D(X)=52×0.1+32×0.2+12×0.3+12×0.1+32×0.1+52×0.2=10.6.
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
必备知识 知识清单
一、离散型随机变量的均值与方差
X
x1 x2 … xi … xn
P
p1 p2 … pi … pn
x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 平均水平
数学期望
标准差
平均偏离程度
答案
二、均值与方差的性质 1.E(aX+b)= aE(X)+b (a,b为常数). 2.D(aX+b)= a2D(X) (a,b为常数).
三、两点分布与二项分布的均值、方差
1.若X服从两点分布,则E(X)=
p
,D(X)= p(1-p) .
2.若X~B(n,p),则E(X)= np ,D(X)= np(1-p) .
答案
基础训练
X -1 0 1
P 111 236
A
答案 解析
2.已知离散型随机变量X的分布列为 X1 3 5 P 0.5 m 0.2
解析
X023457
P 1 8 2 16 16 32 75 75 75 75 75 75
题型二 与二项分布有关的均值与方差
解析
X012345
P
32 80 80 40 10 1 243 243 243 243 243 243
点拨：有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线 性关系的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(aX+b)=aE(X)+b以及E(X)=np求出E(aX+b),同样还可求出 D(aX+b).