【高考自主招生】高中数学复习专题讲义：第2讲 导数

h)
2
f
( x0 )
4
答案：D
3. 函数 f (x) ex ln(1 x) 2 的单调递减区间为____________
分析：对函数求导， f '(x) ex 1 ex (1 x) 1 ，则 x 0 时， f '(x) 0 ；x 0 时， f '(x) 0 ； 1 x 1 x
x 0 时， f '(x) 0 ，又函数的定义域为 (1, ) ，所以 f (x) 的单调递减区间为 (1, 0]
分析：令 f (x) x3 3a2x 6a2 3a ，则 f '(x) 3x2 3a2
又
k
( x03
x02 2x0 1) x0 (1)
1
，联立之后可得
x0
1 ，因为 (1,1)
不是切点，所以
x0
1，k
1
答案： k 1
【例 5】 （2010 武大）已知 f (x) 是定义在区间 (0, ) 上的可导函数，满足 f (x) 0 ，且 f (x) f ' (x) 0
（1）讨论函数 F (x) ex f (x) 的单调性 （2）设 0 x 1，比较函数 xf (x) 与 1 f (1) 的大小
设 x1 x2 ，令 f '(x) 3x2 27 0 x1 3, x2 3 ，则 x 3 时， f (x) 有极大值，所以 f (3) 0 m 54 ；x 3 时，f (x) 有极小值，所以 f (3) 0 m 54 。所以 54 m 54 答案： 54 m 54 6. 已知三次方程 x3 3a2x 6a2 3a 0(a 0) 只有一个实根是正的，求 a 的取值范围
答案： (1, 0]
4. 若四次函数 F(x) 0 有四个根，则它的导函数有多少个根？
分析： 令 F(x) 0 的四个根为 a1 a2 a3 a4 ，且不妨设 F(x) 0 的最高次项系数大于 0，则
x 时 F(x) 0 。所以在 (, a1) 上 F(x) 0 ，在 (a1, a2 ) 上 F(x) 0 ，在 (a2 , a3) 上
3、常见函数导数
C 0 （ C 为常数）； (xn ) nxn1(n R) ； (sin x) cos x ； (cos x) sin x ；
(ln x) 1 ； x
(loga
x)
1 x
loga
e
；
(ex ) ex ；
4、导数的运算法则
① 导数的四则运算法则
(u v) u v；
(uv) uv uv；
(u v
)
uv uv v2
(v
0)
② 复合函数求导
(ax ) ax ln a .
f
x
(
(
x))
f (u)(x) 或
y
x
yu ux
5、函数的单调性与最值
（1）求函数 f (x) 的单调区间的一般步骤： ① 求出 f (x) 的导数 f (x) ； ② 求出方程 f (x) 0 的根； ③ f (x) 0 的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； f (x) 0 的解集与定义域的交集的对应
x, 0
x
1 ，当 0
x
1时，有
g
'(x)
1 x2
1
2 x
(x 1)2 x2
0，
所以
g(x)
在 (0,1)
上单调递减，故
g(x)
g(1)
0 ，即
g(x)
1 x
x
2 ln
x
0
1x
ex
1 x2
，
由此可得
f
(x)
1x
ex
f
(1)
f
(x)
1
f (1) xf (x) 1 f (1)
x
x2 x
xx
区间为减区间；
注：若 f (x) 0 ，则 f (x) 为常值函数.
（2）求函数 y f (x) 极值的步骤：(最好通过列表法) ① 求导数 f (x) ； ② 解方程 f (x) 0 的根 x0 ； ③ 检查 f (x) 在方程 f (x) 0 的根 x0 左、右两侧的符号，判断极值.“左正右负” f (x) 在 x0 处取极 大值；“左负右正” f (x) 在 x0 处取极小值.
系为 y y0 (x02 1)(x x0 ) 。又 x02 1 1，故 x0 0 时斜率最小，此时 y0 1 ，切线方程为 y 1 x ，
即 x y 1 0
答案：C
【例 3】（2011 复旦）设 a 为正数， f (x) x3 2ax2 a2 ，若 f (x) 在区间 0, a 上大于 0，则 a 的取
F(x) 0 ，在 (a3, a4 ) 上 F(x) 0 ，在 (a4, ) 上 F(x) 0 。所以 F (x) 的导函数有 3 个极值点，
即有 3 个根 答案： 至多 3 个根
5. 若方程 x3 27x m 0 有 3 个不同实根，求实数 m 的取值范围 分析：记 f (x) x3 27x m ， f (x) 0 有 3 个不同实根，则 f '(x) 0 应该有 2 个不同实根 x1, x2 。
A.极小值 0，极大值 4 C.极小值-1，极大值 4
B.极小值-16，极大值 4 D.极小值 0，极大值 1
分析：对函数求导，y ' 3x2 3 ，令 y ' 0 x 1, x 1是两个驻点。因为 x (, 1) 时，y ' 0 ；
x (1,1) 时，y ' 0 ；x (1, ) 时，y ' 0 ，所以 x 1 对应极大值，x 1对应极小值。x 1
【例 3】（2010 五校联考）设 f (x) eax (a 0) ，过点 P(a, 0) 且平行于 y 轴的直线与曲线 C：y f (x) 的交点为 Q，曲线 C 过点 Q 的切线交 x 轴于点 R，则 PQR 的面积的最小值是（ ）
2e
e
e2
A. 1
B.
C.
D.
2
2
4
分析：对函数求导， f '(x) aeax ，由导数的几何意义可知 f (x) 在 P(a, ea2 ) 处切线的斜率为 aea2 ，故
所以函数
g (t )
在
1,
1 3
上单调递增，在
1 3
,1
上单调递减。所以在
t
1 3
时取得最大值，
1 32
ymax
g( ) 3
27
答案：B
【例 2】（2007 清华）求 f (x) 1 ex 的单调区间及极值. x
分析：对函数求导，
f
'(x)
exx ex x2，则f'(x)
0
x 1，当 x
0 时，
答案：A
三、真题精讲
【例 1】（2010 五校联考） y cos3 x sin2 x cos x 的最大值为（ ）
28
A.
27
32
B.
27
4
40
C.
D.
3
27
分析：令 t cos x ，则 y g(t) t3 t2 t 1(1 t 1) ， y ' g '(t) 3t2 2t 1 (t 1)(3t 1) ，
xx 分析：（1）由于 F '(x) ex f (x) ex f '(x) ex ( f (x) f '(x)) 0 ，所以 F (x) 在 (0, ) 上单调递减
（2）当 0
x
1时，
x
1
，由（1）得 ex
f
(x)
1
ex
f
(1)
，即
f
(x)
1x
ex
f
(1)
。
x
x
x
令
g(x)
1 x
x
2 ln
时， y 4 ； x 1时， y 0
答案：A
2.
设
f
(
x0
)
2
，则
lim
h0
f (x0
h) h
f (x0
h)
（
）
A. 2
B. 2
C. 4
D. 4
分析：由导数定义可得
lim
h0
f
(x0
h) h
f
(x0
h)
lim
h0
f
(x0
h) h
f
(x0 )
lim h0
f
(x0) f h
(x0
答案：（1） F (x) 在 (0, ) 上单调递减 （2）当 0 x 1时， xf (x) 1 f (1) xx
四、重点总结 1、利用导数判定函数的单调性、极值点、最值 2、利用导数的几何意义解决曲线切线的斜率问题
五、强化训练 A组
1. 函数 y x3 3x 2 的极小值、极大值分别为（ ）
f
'(x) 0
f
(x) 单调
递减；0 x 1时， f '(x) 0 f (x) 单调递减； x 1时， f '(x) 0 f (x) 单调递增。所以在 x 1时
f (x) 取得最小值 e 。
答案： f (x) 在 (, 0) 上单调递减，在 (0,1) 上单调递减，在[1, ) 上单调递增。 f (x) 有最小值 e
值范围是（ ）
A. (0,1]
B. (0,1)
C. (1, )
D. [1, )
分析：对函数求导， f '(x) 3x2 4ax ，则当 x (0, a) 时， f '(x) 0 ，所以 f (x) 在区间 0, a 上单
调递减。若 f (x) 在区间 0, a 上大于 0，当且仅当 f (a) 0 ，即 a3 2a3 2a2 0 ，则 0 a 1
y 3 ； x 1时， y 1
答案：D
【例 2】（2007 武大）在曲线 y 1 x3 x 1的所有切线中，斜率最小的切线方程为（ ） 3
A. y 0
B. y 1
C. x y 1 0
D. x y 2 0 3
分析：对函数求导， y ' x2 1，所以过 (x0 , y0 ) 的切线斜率为 x02 1，即所有曲线的切线构成的直线
注：若 x0 点是 y f (x) 的极值点，则 f (x0 ) 0 ，反之不一定成立；如函数 f (x) x 在 x 0 时没有 导数，但是，在 x 0 处，函数 f (x) x 有极小值. .
（3）函数最值
定义：函数 f (x) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数 f (x) 在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。
第二讲 导数
一、知识方法拓展 1、导数定义：
函数 y f (x) ,如果自变量 x 在 x0 处有增量 x ，那么函数 y 相应地有增量 y f (x0 x) f (x0 ) ，
比值
y x
叫做函数
y
f (x) 在 x0 到 x0 x 之间的平均变化率，即
y x
=
f (x0
x) x
f (x0 )
求平均变化率 y x
；③
取极限，得导数
f
(
x0
)
=
lim
x0
y x
.
2、导数的几何意义和物理意义
① 函数 y f (x) 在点 x0 处的导数的几何意义是曲线 y f (x) 在点 p(x0 , y0 ) 处的切线的斜率. 相应
地，切线方程为 y y0 f (x0 )(x x0 ) .
② 如果物体运动的规律是 s s(t) ，在点 p(t0, s0 ) 处导数的意义是 t t0 处的瞬时速度.
切 线 方 程 为 y ea2
aea2 (x a) 。 令 y 0 ， 得
R
点坐标
(a
1 a
, 0)
。所以
SPQR
1 2
1 a
ea2
，则
S
'PQR
1 2
(a e 2 a2
1 a
2a ea2
)
1 2
(2 a2 ) ea2
，令 S
'PQR
0
a
2 ，所以 PQR 面积最小值为 2
2e 2
。如果当
x
0 时，
y x
有极限，我们就说函数
y
f
(x) 在点 x0 处可导，并把这个极限叫做
f
(x) 在点 x0 处的导
数，记作 f (x0 ) 或 y xx0 .
即 f (x0 )
= lim y = lim
x x0
x0
f (x0 x) f (x0 ) . x
求导步骤：①
求函数的改变量 y ；②
A.极小值-3，极大值-1 C.极小值-4，极大值 0
B.极小值-4，极大值 1 D.极小值-3，极大值 1
分析：对函数求导，y ' 3x2 3 ，令 y ' 0 x 1, x 1是两个驻点。因为 x (, 1) 时，y ' 0 ；
x (1,1) 时， y ' 0 ； x (1, ) 时， y ' 0 ，所以 x 1 对应极小值， x 1对应极大值。 x 1 时，
求函数 y f (x) 在[ a,b ]上的最值的步骤： ① 求函数 y f (x) 在（ a,b ）内的极值； ② 将 y f (x) 的各极值与 f (a) ， f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
二、热身练习
【例 1】（2007 武大）函数 y x3 3x 1的极小值、极大值分别为（ ）
答案：B
【例 4】（2011 华约）已知 y x3 x2 2x 1 ，过 (1,1) 的直线与该函数图象相切，且 (1,1) 不是
切点，求直线斜率。
分析：设切点为 (x0, x03 x02 2x0 1) 。对函数求导， f '(x) 3x2 2x 2 ，则 k 3x02 2x0 2 ，