热第五讲绝热过程,循环过程

c
o V1
V3 V
已知: M = 2.8×10−3kg
a: P1 = 1atm, T1 = 300k b : P2 = 3atm, V2 = V1
c : P3 = P1 , T3 = T2
解: I :
P1 = P2 T1 T2
⇒ T2 = 3T1
P
II : P3V3 = P2V2 ⇒ V3 = 3V1
P I
1. 循环过程 — 物质经历一系列状态变化, 又回
到初始状态的周而复始的过程.
循环过程的特点: ΔE = 0
II
完成一个循环后, 系统内能不变,
o
V
系统吸收热量的代数和(净热量)
P
等于对外作功的代数和(净功).
A净 = 循环曲线包围的面积 A净 = Q净 = Q吸 − Q放
顺时针 → 正循环(热机) 反时针 → 逆循环(制冷机)
§5.2 绝热过程
热一律
一. 绝热过程特征 dQ = 0
二. 绝热过程方程
思路:
① ②
过程特征 状态方程
微变过程:
过程方程
∵ dQ = 0 = dE + dA
∴
dA
=
−dE
=
−
M M mol
CV dT
平衡过程: dA = PdV
理想气体:
PV = M RT M mol
∴
PdV
=
−
M M mol
CV dT
分别表示图中阴影部分的面积, 二者的
大小关系是
P
(A) S1 > S2 ;
(B) S1 < S2 ; (C) S1 = S2 ;
(D) 无法确定.
S1
o
S2 V
例3. 证明: 在同一张P ∼ V 图上, 一条绝热线
和一条等温线有且只有一个交点.
证明: 方法1: 用过程方程
设在 P ∼ V 图上, 一条绝热
o
V
二. 热机、致冷机
1. 热机效率
构造: O: 锅炉, B: 气缸, C: 冷凝器, D: 水泵
工作过程: 水在锅炉内加热, 产生
高温高压气体(吸热过 O
程), 进入气缸 B; 推动
活塞对外作功(内能减 Q1
少), 然后进入冷凝器 (向低温热源放热), 最 后将水泵入锅炉, 进入 下一循环……
应用程序
1
−
T2 T1
ln ln
V3 V4 V2 V1
= 1− T2 T1
V3 = V2 V4 V1
η卡
=
1−
Байду номын сангаас
T2 T1
说明
(1)适用条件: ①理想气体 ②平衡过程 ③卡诺循环
(2) η卡 = η卡(T1,T2 )
(3) 提高热机效率的途径:
(4)
ω卡
=
T2 T1 − T2
Q2 = T2 Q1 T1
例2. 图示为理想气体卡诺循环过程, S1、S2
由a → b , 再等温膨胀由 b → c , 最后等压压缩到 a.
求: 循环的效率 已知:
P P2
b
先画 P −V 图:
求: 循环的效率
解: 一般先求状态参量或
找出各个状态参量间 的关系, 后求其它量.
求 η 的步骤:
①判断吸热、放热过程;
②求Qi ; ③求Q1、Q2 ;
④求η .
I II
P1 a III
P2
I:
QI
= ΔEI
=
M M mol
i 2
R(T2
−
T1)
P1
II
: QII
=
AII
=
M M mo l
RT2
ln
V3 V2
o
b I
a V1
III
:
QIII
=
ΔEIII
+
AIII
=
M M mol
CP (T1
− T2 )
∴ Q1 = QI + QII , Q2 = −QIII
η = 1− Q2 = 1− 7 = 31.3%
Q1
5 + 3ln 3
等温线
II c
III V3 V
例2. 设氮气的质量为2.8×10−3 kg, 开始处于a 态, 先等容升压,
由a → b , 再绝热膨胀由 b → c , 最后等压压缩到 a.
求: 循环的效率
已知: M = 2.8×10−3kg
P
a: P1 = 1atm, T1 = 300k
解: I :
QI
=
M M mol
CV (T2
− T1)
III
: QIII
=
M M mol
CP (T1 − T3)
∴ Q1 = QI ,
Q2 = −QIII
η = 1− Q2 = 1− CV (T2 − T1)
Q1
CP (T3 − T1)
=
1
−
5 7
2 3−γ −
1
P
P2
b I
绝热线
II
P1 a III c
A > 0 → ΔE↓ → T ↓ → P↓
(对外作功以内能降低为代价)
等温膨胀过程, 压强降低的原因: 体积增大
绝热膨胀过程, 压强降低的原因:
体积增大 温度降低
四. 绝热过程的功
A
=
−ΔE
=
−
i 2
M M mol
RΔT
=
−
i Δ(PV ) 2
=
P1V1 − P2V2
γ −1
例1. 一定量的氢气从状态Ⅰ经历绝热过程到状态Ⅱ, 体积
减少一半, 如图所示. 已知状态Ⅰ的压强 P0 = 1atm.
求: 状态Ⅱ的压强.
解: 由绝热过程方程得
PV γ = P0V0γ
P II
γ = CP = i + 2 = 7 = 1.4
CV i 5
∴
P
=
P0
⎛ ⎜⎝
V0 V
⎟⎠⎞γ=
21.4 P0
I
o
V
V0 V
§5.3 循环过程 卡诺循环
一. 循环过程
PdV + VdP = M RdT M mol
消去 T
绝热过程方程 PV γ = C = P0V0γ
V γ −1T = C′ pγ −1T −γ = C′′
热容比: γ = CP > 1
CV
适用条件: ①理想气体 ②平衡绝热过程
三. 绝热线
绝热过程: PV γ = C
等温过程: PV = K
Pγ V γ −1dV + V γ d P = 0 PdV + Vd P = 0
线和一条等温线交于 a点!
等温膨胀: 绝热膨胀:
PPaaVVaaγ
= =
PPbcVVbcγ
假设 Vb = Vc
则
Pb Pc
=
Vcγ Vaγ
−1 −1
>1
P a
等温线
绝热线
o
b c
V
Pb > Pc
故这两条绝热线和等温线不可能再相交!
反证法: 假设在一张P ∼ V 图上, 一条绝 P
热线和一条等温线有两个交点!
⎛ ⎜⎝
dP dV
⎞ ⎟⎠Q
=
−γ
P V
⎛ ⎜⎝
dP dV
⎞ ⎟⎠T
=
−P V
γ > 1 dP > dP
P
dV Q dV T
绝热线比等温线陡!
等温线
思考: 在同一张 P −V图上, 一条绝热线
和一条等温线最多有几个交点? o 绝热线
V
为什么绝热线比等温线陡?
P = nkT 等温膨胀: V ↑ → n↓ → P↓ 绝热膨胀: V ↑ → n↓ → P↓
2. 一定量的刚性双原子分子理想气体, 开始时处于压强
为 P0 = 1.0 ×105 pa, 体积为 V0 = 4 ×10−3 m3, 温度为 T0 = 300k 的初态, 后经等压膨胀过程, 温度上升到 T1 = 450k , 再经绝热过程温度降回到 T2 = 300k .
求: 气体在整个过程中对外作的功和所吸收的热量.
P2
b
绝热线
b : P2 = 3atm, V2 = V1 c : P3 = P1 ,
求: 循环的效率
I II
P1 a III c
解: I :
P1 = P2 T1 T2
⇒ T2 = 3T1
o V1
−γ −1
V3 V
II : P3γ−1T3−γ = P2γ−1T2−γ ⇒ T3 = 3 γ T2 = 3−γ T1
o V1
V3 V
γ =7
5
热机效率:
η = A净 = 1− Q2
Q1
Q1
2. 致冷系数
ω = Q吸′
A外净
三. 卡诺循环
1828年卡诺研究 如何提高热机效 率, 提出一个理 想热机 — 卡诺机
高温热源
Q1
热机 Q2
低温热源
AA
高温热源
Q放′
致冷 机 Q吸′
低温热源
高温恒温热源( T1 )
Q1
卡诺机 A Q2
a
方法2: 用热一律
等温过程: QT = AT 循环过程: Q = A
AT — 等温线下的面积
≠
A — 循环曲线包围的面积
绝热线
o
但Q = QT , 与假设矛盾! 在同一张P ∼ V 图上, 一条绝热
线和一条等温线只有一个交点!
方法3: 用热二律
等温线
b V
作业:
1. 处于标准状态的氧气, 经绝热压缩, 体积减小一半. 求: 压缩后的压强和温度.
低温恒温热源( T2 )
法国青年工程师
二. 卡诺循环
P
卡诺循环的效率:
a(P1,V1,T1)
Q1
=
A1
=
M M mol
RT1
ln
V2 V1
Q1
Q2
=
M M mol
RT2
ln
V3 V4
η = 1− Q2
Q1
d (P4,V4,T2 ) Q2
o
b( P2 ,V2 ,T1 )
c(P3,V3,T2 ) V
=
3. 证明: 在同一张 P −V 图上, 一条绝热线
和一条等温线有且只有一个交点.
B
A
C D
Q2
蒸汽机工作原理示意图
热机有工作物质、高温热源(锅炉) 低温热源(冷凝器、大气)
循环的效率 η = A = 1− Q2
Q1
Q1
∑ 说明 A = A净 = Ai
i
∑ Q1 = Q吸 =
Qi
吸热过程
∑ Q2 = Q放 =
Qj
放热过程
高温热源
Q1
热机 A Q2
低温热源
P Q1
o Q2
V
例1. 设氮气的质量为2.8×10−3 kg, 开始处于a 态, 先等容升压,