高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题--_直线和平面 注：高三数学第二轮专题复习必备精品系

高三数学第二轮专题复习系列(9)
直线和平面
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一、考纲要求
1.掌握平面的基本性质，空间两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系(特别是平行和垂直关系)以及它们所成的角与距离的概念.
2.对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离.
3.能运用上述概念以及有关两条直线、直线和平面、两个平面的平行和垂直关系的性质与判定，进行论证和解决有关问题.
4.会用斜二侧的画法画水平放置的平面图形(特别是正三角形、正四边形、正五边形、两个平面、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系.
5.理解用反证法证明命题的思路，会用反证法证明一些简单的问题.
二、知识结构
1.空间多边形不在同一平面内的若干线段首尾相接所成的图形叫做空间折线.
若空间折线的最后一条线段的尾端与最初一条线段的首端重合，则叫做封闭的空间折线.
若封闭的空间折线各线段彼此不相交，则叫做这空间多边形平面，平面是一个不定义的概念，几何里的平面是无限伸展的.
平面通常用一个平行四边形来表示.
平面常用希腊字母α、β、γ…或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示，如平面AC.
在立体几何中，大写字母A，B，C，…表示点，小写字母，a,b,c,…l,m,n,…表示直线，且把直线和平面看成点的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：A∈l—点A在直线l上；
A∉α—点A不在平面α内；
l⊂α—直线l在平面α内；
a⊄α—直线a不在平面α内；
l∩m=A—直线l与直线m相交于A点；
α∩l=A—平面α与直线l交于A点；
α∩β=l—平面α与平面β相交于直线l.
2.平面的基本性质
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面.
根据上面的公理，可得以下推论.
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.
3.证题方法
证题方法直接证法
反证法
4.空间线面的位置关系
平行—没有公共点 共面
(1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点
异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面内 平行—没有公共点
(直线在平面外) 相交—有且只有一个公共点 相交—有一条公共直线(无数个公共点) (3)平面与平面
平行—没有公共点 5.异面直线的判定
证明两条直线是异面直线通常采用反证法.
有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.
6.线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定
①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行.
②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a ∥α,a β，α∩β=b,则a ∥b.
③平行于同一直线的两直线平行，即若a ∥b,b ∥c,则a ∥c.
④垂直于同一平面的两直线平行，即若a ⊥α，b ⊥α，则a ∥b
⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a ∥b
⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a ∥α,a ∥β，则a ∥b.
(2)两直线垂直的判定
①定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. ②一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b ∥c,a ⊥b,则a ⊥c ③一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线.即若a ⊥α,b α，a ⊥b.
④三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.
⑤如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a ∥α,b ⊥α,则a ⊥b.
⑥三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c ，则a ⊥b,b ⊥c,c ⊥a.
(3)直线与平面平行的判定
①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行.
②如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.
间接证法 同一法
即若a⊄α,b⊂α，a∥b,则a∥α.
③两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若α∥β,l⊂α，则l ∥β.
④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，l⊄α，则l∥α.
⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若A∉α，B∉α，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α.
⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,a⊄α，a⊄β，a∥α，则α∥β.
⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,b⊄α，b⊥a，则b∥α.
⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面内)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或b⊂α)
(4)直线与平面垂直的判定
①定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直.
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若m⊂α，n⊂α，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α.
③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α.
④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l ⊥β，则l⊥α.
⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，l⊂β，l⊥a,则l⊥α.
⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ.
(5)两平面平行的判定
①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点⇔α∥β.
②如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,b⊂α，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.
③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β.
④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
⑤一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,b⊂α,c,d⊂β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.
(6)两平面垂直的判定
①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－β=90°⇔α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,l⊂α，则α⊥β.
③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ.
7.直线在平面内的判定
(1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.
(2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则AB⊂α.
(3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则a⊂α.
(4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若P∉α，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则a⊂β.
(5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则b⊂α.
8.存在性和唯一性定理
(1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；
(2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；
(3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；
(4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；
(5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；
(6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；
(7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；
(8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个.
9.射影及有关性质
(1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点.
(2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影.
和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线.
(3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影.
当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段；
当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形.
(4)射影的有关性质
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
(i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
(ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
(iii)垂线段比任何一条斜线段都短.
10.空间中的各种角
等角定理及其推论
定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
异面直线所成的角
(1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角.
(2)取值范围：0°＜θ≤90°.
(3)求解方法
①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；
②解含有θ的三角形，求出角θ的大小.
11.直线和平面所成的角
(1)定义和平面所成的角有三种：
(i)垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
(ii)垂线与平面所成的角直线垂直于平面，则它们所成的角是直角.
(iii)一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是0°的角.
(2)取值范围0°≤θ≤90°
(3)求解方法
①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ.
②解含θ的三角形，求出其大小.
③最小角定理
斜线和平面所成的角，是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角，亦可说，斜线和平面所成的角不大于斜线与平面内任何直线所成的角.
12.二面角及二面角的平面角
(1)半平面直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面.
(2)二面角条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成.
若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.
二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值范围是
0°＜θ≤180°
(3)二面角的平面角
①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.
如图，∠PCD是二面角α-AB-β的平面角.平面角∠PCD的大小与顶点C在棱AB上的位置无关.
②二面角的平面角具有下列性质：
(i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD.
(ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上.
(iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD ⊥β.
③找(或作)二面角的平面角的主要方法.
(i)定义法
(ii)垂面法
(iii)三垂线法
(Ⅳ)根据特殊图形的性质
(4)求二面角大小的常见方法
①先找(或作)出二面角的平面角θ，再通过解三角形求得θ的值.
②利用面积射影定理
S′=S·cosα
其中S为二面角一个面内平面图形的面积，S′是这个平面图形在另一个面上的射影图形的面积，α为二面角的大小.
③利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小.
13.空间的各种距离
点到平面的距离
(1)定义面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面
的距离.
(2)求点面距离常用的方法： 1)直接利用定义求
①找到(或作出)表示距离的线段；
②抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
2)利用两平面互相垂直的性质.即如果已知点在已知平面的垂面上，则已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离.
3)体积法其步骤是：①在平面内选取适当三点，和已知点构成三棱锥；②求出此三棱锥的体积V 和所取三点构成三角形的面积S ；③由V=
3
1
S ·h ，求出h 即为所求.这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离.难点在于如何构造合适的三棱锥以便于计算.
4)转化法将点到平面的距离转化为(平行)直线与平面的距离来求. 14.直线和平面的距离
(1)定义一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离.
(2)求线面距离常用的方法
①直接利用定义求证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. ②将线面距离转化为点面距离，然后运用解三角形或体积法求解之. ③作辅助垂直平面，把求线面距离转化为求点线距离. 15.平行平面的距离
(1)定义 个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线.公垂线夹在两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段.两个平行平面的公垂线段的长度叫做这两个平行平面的距离.
(2)求平行平面距离常用的方法 ①直接利用定义求
证(或连或作)某线段为距离，然后通过解三角形计算之. ②把面面平行距离转化为线面平行距离，再转化为线线平行距离，最后转化为点线(面)距离，通过解三角形或体积法求解之.
16.异面直线的距离
(1)定义 条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离.
任何两条确定的异面直线都存在唯一的公垂线段. (2)求两条异面直线的距离常用的方法
①定义法 题目所给的条件，找出(或作出)两条异面直线的公垂线段，再根据有关定理、性质求出公垂线段的长.
此法一般多用于两异面直线互相垂直的情形. ②转化法 为以下两种形式：线面距离面面距离 ③等体积法 ④最值法 ⑤射影法 ⑥公式法
直线与平面
【例题】
【例1】 正三棱锥P-AB C 的高和底面边长都等于a ，EF 是P A 与B C 的公垂线，E 、F 分别是垂足。

（1）求证：侧棱P A 截面B EC （2）求截面B EC 的面积；（3）求截
面B EC 与底面AB C 所成二面角的大小 解：1）略
2）易知F 为B C 的中点，在Rt ΔP A O 中，A O=a 3
3
，PO=
a ， 所以P A =
a 3
2，又易知P A ⊥B E ，
在等腰三角形P AB 中，可求得B E=
a 413
， 所以在直角三角形EF B 中，求得EF=a 43，所以a S BEC 8
3
=∆
3）∠EF A =300
【例2】 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直. (1)求证：AB 1⊥C 1D 1； (2)求证：AB 1⊥面A 1CD ；
(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角.
解：(1)证明：∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点，∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1， 又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ， 而AB 1⊂平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1. (2)证明：连结D 1D ，∵D 是AB 中点，∴DD 1
CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，
又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1，由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，
又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD .
(3)解：由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角，
P
A
B
C
E
F
O
∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =
2
1
=AC AO ， ∴∠OCA =6
π.
【例3】 两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .
证法一：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB . ∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ， ∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45° ∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ
∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ
∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE .
证法二：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴
AB
AH
AC AM =
连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得
AB
AH
BF FN =
////NH AF BE ∴,
由
//////MH BC MNH BCE NH BE ⎫
⇒⎬⎭
平面平面
∴MN ∥平面BCE .
【例4】 在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .
(1)若D 是BC 的中点，求证：AD ⊥CC 1；
(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ；
(3)AM =MA 1是截面MBC 1⊥平面BB 1C 1C 的充要条件吗请你叙述判断理由. 解： (1)证明：∵AB =AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ∵底面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AD ⊥侧面BB 1C 1C ∴AD ⊥CC 1.
(2)证明：延长B 1A 1与BM 交于N ，连结C 1N ∵AM =MA 1，∴NA 1=A 1B 1 ∵A 1B 1=A 1C 1，∴A 1C 1=A 1N =A 1B 1 ∴C 1N ⊥C 1B 1
∵底面NB 1C 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1N ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面C 1NB ⊥侧面BB 1C 1C ∴截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C.
(3)解：结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 过M 作ME ⊥BC 1于E ，∵截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C ∴ME ⊥侧面BB 1C 1C ，又∵AD ⊥侧面BB 1C 1C. ∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1
∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点 ∴AM =DE =2
1
211=
CC AA 1，∴AM =MA 1. 【例5】 已知斜三棱柱AB C-A ’B ’C ’的底面是直角三角形，∠C=90°，侧棱与底面所成的角为α（0°<α<90°），B ’在底面上的射影D 落在B C 上。

（1）求证：A C ⊥面BB ’C ’C 。

（2）当α为何值时，AB ’⊥B C ’，且使得D 恰为B C
的中点。

解：（1）∵ B ’D ⊥面AB C ，A C ⊂面AB C ，
C'
∴ B ’D ⊥A C ，
又A C ⊥B C ，B C ∩B ’D=D ， ∴ A C ⊥面BB ’C ’C 。

（2）由三垂线定理知道：要使AB ’⊥B C ’，需且只需AB ’在面BB ’C ’C 内的射影B ’C ⊥B C ’。

即四边形BB ’C ’C 为菱形。

此时，B C=BB ’。

因为B ’D ⊥面AB C ，所以，BD B '∠就是侧棱B ’B 与底面AB C 所成的角。

由D 恰好落在B C 上，且为B C 的中点，所以，此时BD B '∠=︒60。

即当α=︒60时，AB ’⊥B C ’，且使得D 恰为B C 的中点。

【例6】 如图：已知四棱锥ABCD P -中，底面四边形为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面AB CD ，E 为PC 中点。

（1）求证：平面ED B ⊥平面P B C ；
（2）求二面角C DE B --的平面角的正切值。

解：（1）要证两个平面互相垂直，常规的想法是：证明其中一个平面过另一个平面的
一条垂线。

首先观察图中已有的直线，不难发现，由于侧面PDC 为正三角形，所以，PC DE ⊥，
那么我们自然想到：是否有PBC DE 面⊥这样的想法一经产生，证明它并不是一件困难的事情。

∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ， ∴ DE 在平面AB CD 内的射影就是DC 。

在正方形AB CD 中，DC ⊥C B ， ∴ DE ⊥C B 。

又C BC PC =⋂，PBC BC PC 面⊂,， ∴ DE ⊥PBC 面。

又⊂DE 面ED B ，
A
C
∴ 平面ED B ⊥平面P B C 。

（2）由（1）的证明可知：DE ⊥PBC 面。

所以，BEC ∠就是二面角C DE B --的
平面角。

∵ 面PDC ⊥底面AB CD ，交线为DC ， 又平面AB CD 内的直线C B ⊥ DC 。

∴ C B ⊥面PDC 。

又⊂PC 面PDC ， ∴ C B ⊥PC 。

在Rt ECB ∆中，2tan ==
∠CE
BC
BEC 。

【例7】 如图：在四棱锥ABCD S -中，SA ⊥平面ABCD ，∠2
π
=
∠=ADC BAD ，
a AD AB 2==，a CD =，E 为SB 的中点。

（1）求证：//CE 平面SAD ；
（2）当点E 到平面SCD 的距离为多少时，平面SBC 与平面SAD 所成的二面角为︒45
解：题目中涉及到平面SBC 与平面SAD 所成的二面角，所以，应作出这两个平面的交线（即二面角的棱）。

另一方面，要证
//CE 平面SAD ，应该设法证明CE 平
行于面SAD 内的一条直线，充分利用中点（中位线）的性质，不难发现，刚刚做出的二面角的棱正好符合要求。

（1）延长B C 、A D 交于点F 。

在FAB ∆中，∠2
π
=∠=ADC BAD ，
所
以
，
AB
、
CD
都
与
A F
垂
直
，
所
以
，
CD CDF ∆BAF ∆a AB 2=a CD =E SB SBC ∆SAD EC 面⊄SAD SF 面⊂//CE SAD
SA ABCD ⊂ABCD ⊥SA ⊥A SA AF =⋂⊥SAF ⊥⊥BHA ∠SBC SAD BHA
∆BHA ∠︒45a 2∆
()a
a
a SA AF
AH SF SA 42422⋅
+=
⋅=a SA 3
3
4=
a AD SA SA AD SD SA AD CD SD SA
DC
AD S SA S SCD ACD 4
142
22
2=
+⋅=
⋅=⋅⋅⋅=⋅∆∆8142=
h
C B A ABC '''—B AB A ''B C BC ''AB B C ⊥''AB A B A C '⊥'︒='∠==''6043B AB AB B C ，，C B A ABC '''—CB
B C ∥''BB '
AB BB B
I '=AB
A C
B '⊥平面AB
A B A C B
A C C
B '⊥''⊂平面平面∴平面∵
C BC AB A AB A B C '⊥''⊥''平面，得平面平面C BC '
BB '
所成的角与平面为，则C BC C A H C A H C '''∠'AB A ABB ABB '''∠'=︒
，由四边形是菱形，604
='''∆B A B B H B AB 中点，又为为等边三角形，而5
32arcsin
5
32sin 5343222='∠∴=
'∠'∆=+='''∆=H C A H C A C AH Rt C A A B C Rt AH 中，
，而在中，，于是在AC '
BCC '
5
32arcsin
D C B A ABCD ''''—b AD =c
A A ='()
c b a >>'
C
()()()ac
c b a b c a C A bc c b a a c b C A ab c b a b a c C A 2222222
23
2
22222
222221
+++=++='+++=++='+++=++='是所求最短距离故bc c b a C A bc ac ab b a c bc ac c b a ac ab c
b a 22220
)(2220
)(2222222
+++='>>∴>-=->-=-∴>>Θ1C
3
8
B .
8
3
C.
3
4
D.
4
3 2．在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( ) 不和b 垂直，但可能a ∥b
可能和b 垂直，也可能a ∥b 不和b 垂直，a 也不和b 平行
不和b 平行，但可能a ⊥b
二、填空题
3．设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号).
①X 、Y 、Z 是直线 ②X 、Y 是直线，Z 是平面 ③Z 是直线，X 、Y 是平面 ④X 、Y 、Z 是平面
4．设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________.
①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行 三、解答题
5．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.
(1)求证：CD ⊥PD ; (2)求证：EF ∥平面PAD ;
(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD
6．如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .
(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由.
(2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.
7．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.
(1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC ；
(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小.
8．如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB = ∠C 1CD =∠BCD =60°,
(1)证明：C 1C ⊥BD ； (2)假定CD =2，CC 1=2
3
，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；
(3)当
1
CC CD
的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD
参考答案
一、1.解析：如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =
3
4
.
答案：C
2.解析：如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′，
∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角. 答案：C
二、3.解析：①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例.
答案：②③
4.④
三、5.证明：(1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影， ∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD . (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，
∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG ∥AD ，FG ∥PD ∴平面EFG ∥平面PAD ，故EF ∥平面PAD
(3）解：当平面PCD 与平面ABCD 成45°角时，直线EF ⊥面PCD
证明：G 为CD 中点，则EG ⊥CD ,由(1)知FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角.即∠EGF =45°，从而得∠ADP =45°，AD =AP
由Rt △PAE ≌Rt △CBE ,得PE =CE
又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，CD ⊥EF 即EF ⊥CD ，故EF ⊥平面PCD .
6.(1)证明：
同理EF ∥FG ，∴EFGH 是平行四边形
∵A —BCD 是正三棱锥，∴A 在底面上的射影O 是△BCD 的中心， ∴DO ⊥BC ，∴AD ⊥BC ， ∴HG ⊥EH ，四边形EFGH 是矩形.
(2)作CP ⊥AD 于P 点，连结BP ，∵AD ⊥BC ，∴AD ⊥面BCP ∵HG ∥AD ，∴HG ⊥面BCP ，HG ⊂面EFGH .面BCP ⊥面EFGH ， 在Rt △APC 中，∠CAP =30°，AC =a ,∴AP =
2
3a . 7.(1)证明：连结EM 、MF ，∵M 、E 分别是正三棱柱的棱AB 和AB 1的中点， ∴BB 1∥ME ，又BB 1⊄平面EFM ，∴BB 1∥平面EFM .
(2)证明：取BC 的中点N ，连结AN 由正三棱柱得：AN ⊥BC ， 又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME .
∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EF 平面EFM ，∴BC ⊥EF .
(3)解：取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =a rct a n 15.
8.(1)证明：连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD
又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD .
(2)解：由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ，∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角.
在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =
23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413. ∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =2
3
,即C 1O =C 1C .
作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =
23，∴cos C 1OC =3
3
(3)解：由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当
1
CC CD
=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .
空间的角
【复习要点】
空间角的计算步骤：一作、二证、三算 1.异面直线所成的角 范围：0°＜θ≤90° 方法：①平移法；②补形法.
2.直线与平面所成的角 范围：0°≤θ≤90° 方法：关键是作垂线，找射影.
3.二面角
方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法. 注：二面角的计算也可利用射影面积公式S ′=S cos θ来计算 【例题】
【例1】 如图，α—l —β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN 的直角顶点P 在l 上，M ∈α,N ∈β,且MP 与β所成的角等于NP 与α所成的角.
(1)求证：MN 分别与α、β所成角相等； (2)求MN 与β所成角.
解：(1)证明：作NA ⊥α于A ，MB ⊥β于B ,连接AP 、PB 、BN 、AM ，再作AC ⊥l 于C ，BD ⊥l 于D ，连接NC 、MD .
∵NA ⊥α,MB ⊥β,∴∠MPB 、∠NPA 分别是MP 与β所成角及NP 与α所成角，∠MNB ，∠NMA 分别是MN 与β,α所成角，∴∠MPB =∠NPA .
在Rt △MPB 与Rt △NPA 中，PM =PN ，∠MPB =∠NPA ，∴△MPB ≌△NPA ，∴MB =NA . 在Rt △MNB 与Rt △NMA 中，MB =NA ，MN 是公共边，∴△MNB ≌△NMA ，∴∠MNB =∠NMA ，即(1)结论成立.
(2)解：设∠MNB =θ,MN =2a ,则PB =PN =a ,MB =NA =2a sin θ，NB =2a cos θ,∵
MB ⊥β,BD ⊥l ,∴MD ⊥l ,∴∠MDB 是二面角α—l —β的平面角，
∴∠MDB =60°，同理∠NCA =60°, ∴BD =AC =
3
6
33=
MB a sin θ,CN =DM =63260sin 6=︒MB a sin θ, ∵MB ⊥β，MP ⊥PN ，∴BP ⊥PN
∵∠BPN =90°,∠DPB =∠CNP ,∴△BPD ∽△PNC ,∴
PB
BD
PN PC = 222
22
2
2
2)cos 2(3sin 6)sin 3
62(,a
a a a
a a
BN DB a
CN
a -=
-∴
-=
-θθθ即
整理得，16sin 4θ－16sin 2θ+3=0
解得sin 2θ=4341或,sin θ=2
321或，当sin θ=23
时，CN =
632a sin θ= 2a ＞PN 不
合理，舍去.
∴sin θ=2
1
,∴MN 与β所成角为30°.
【例2】 在棱长为a 的正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，E 、F 分别是BC 、A ′D ′
的中点.
(1)求证：四边形B ′EDF 是菱形； (2)求直线A ′C 与DE 所成的角； (3)求直线AD 与平面B ′EDF 所成的角； (4)求面B ′EDF 与面ABCD 所成的角.
解： (1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B ′E =ED =DF =FB ′=2
5
a ,下证B ′、E 、D 、F 四点共面，取AD 中点G ，连结A ′G 、EG ，由EG AB
A ′
B ′知，B ′EGA ′是平
行四边形.
∴B ′E ∥A ′G ,又A ′F
DG ,∴A ′GDF 为平行四边形.
∴A ′G ∥FD ，∴B ′、E 、D 、F 四点共面 故四边形B ′EDF 是菱形.
(2)解：如图所示，在平面ABCD 内，过C 作CP ∥DE ，交直线AD 于P ，
则∠A ′CP (或补角)为异面直线A ′C 与DE 所成的角. 在△A ′CP 中，易得A ′C =3a ，CP =DE =25a ,A ′P =2
13a 由余弦定理得cos A ′CP =
15
15
故A ′C 与DE 所成角为arccos
15
15. (3)解：∵∠ADE =∠ADF ,∴AD 在平面B ′EDF 内的射影在∠EDF 的平分线上.如下图所示.。