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高中毕业班数学高考调研测试试题
(理科)
本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时l20分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室
号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点
涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指
定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式1
3
V Sh =
，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+． 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B =．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．若cos isin z θθ=-（i 为虚数单位），则使2
1z =-的θ值可能是
A ．0
B ．
2
π
C ．π
D ．2π
2．设全集U=R ，A=(2)
{|21},{|ln(1)}x x x B x y x -<==-，则右图中阴
影部分表示的集合为
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤
3．下列函数中，在区间02π⎛
⎫
⎪⎝⎭
，上为增函数且以π为周期的函数是
A ．sin
2
x
y = B ． sin y x = C ． tan y x =- D ． cos 2y x =-
4．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ⋅=+=则
15
5
a a = A ．3 B ．13 C ．3或13 D ．3-或1
3
-
5. 一个算法的程序框图如下图所示，若该程序输出的结果为5
，则判断框中应填入的条件
A.4i <
B.5i <
C. 5i ≥
D. 6i <
6．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、(0,1)c ∈），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），则ab 的最大值为 A ．
148
B ．
124
C ．
112
D ．
16
7．若不等式组0024
x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪
⎨+≤⎪⎪+≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则s 的取值范围是
Ａ．0s <≤2或s ≥4 Ｂ．0s <≤2 Ｃ．2≤s ≤4
Ｄ．s ≥4
8．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≤成立时，总可推 出(1)f k +≤2
)1(+k 成立”
．那么，下列命题总成立的是 Ａ．若(2)f ≤4成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≤成立 Ｂ．若(4)f ≤16成立，则当k ≤4时，均有2()f k k ≤成立 Ｃ．若(6)36f >成立，则当k ≥7时，均有2
()f k k >成立 Ｄ．若(7)50f =成立，则当k ≤7时，均有2()f k k >成立
频率
B
C
D
O A
P
侧视图正视图俯视图二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15题是选做题，考生只能选
做两题，三题全答的，只计算前两题得分． 9. 统计某校1000名学生的数学会考成绩，得到样 本频率分布直方图如右图示，规定不低于60分为 及格，不低于80分为优秀，则及格人数是 ； 优秀率为 。

10．从编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的十个形状大小相同的球中，任取3个球，则这3个球编号之和为奇数的概率是________.
11．直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若AB i k j =+，2AC i j =+，且∠C=90°则k 的值是 ;
12．已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体
上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）． ①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；④每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
13．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点
,A B ，则AB ＝ ；
14．(不等式选讲选做题)若()5f x x t x =-+-的最小值为3, 则实数t 的值是________.
15. （几何证明选讲选做题）如图，PA 切
O 于点A ，割线
PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，
则PD 的长为 .
三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）
如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A 、B ，
C
B
A
S
观察对岸的点C,测得75CAB ∠=，45CBA ∠=,且100AB =米。

（1）求sin 75； （2）求该河段的宽度。

17. （本小题满分14分）
在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=
,1,AC BC SB ===(1) 求三棱锥S ABC -的体积； (2) 证明:BC SC ⊥;
(3) 求异面直线SB 和AC 所成角的余弦值。

18．（本小题满分14分）
设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .
（1）求点P 的轨迹方程；
（2）设圆M 过A (0,2)，且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦，试探究当M 运动时，弦长EG 是否为定值？为什么？
19．（本小题12分）
如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 在AM 上，D 在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知|AB |＝3米，|AD |＝2米，
（1） 要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则
AN 的长应在什么范围内？
（2） 若|AN| [3,4)∈（单位：米），则当AM 、AN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN
的面积最大？并求出最大面积．
B
C
D
M
N
P
20．（本小题满分14分）
已知数列{}n a
满足
1
n n
a a -=0n a >。

（1）求数列{}n a 的通项公式； (2)
证明
1
n
i
i a
=<∑
（3）数列{}n a 是否存在最大项？若存在最大项，求出该项和相应的项数；若不存在，说明理由。

21.（本小题满分14分）
已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若()10f -=，试判断函数()f x 零点个数；
(2)若对12,,x x R ∀∈且12x x <，()()12f x f x ≠，试证明()012,x x x ∃∈，使
()()()01
21
2f
x f x f x
=
+⎡⎤⎣
⎦成立。

(3)是否存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足以下条件①对,(4)(2)x R f x f x ∀∈-=-，且
()0f x ≥；②对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤
-。

若存在，求出,,a b c 的值，若不存在，请说明理由。

数学试题(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一．选择题：BBDC DDAD 1．将各选项代入检验易得答案选B.
2．(0,2),(,1)A B ==-∞，图中阴影部分表示的集合为[1,2)U A
B =ð,选B.
3．由函数以π为周期，可排除A 、B ，由函数在02π⎛
⎫
⎪⎝⎭，为增函数，可排除C,故选D 。

4．
5113133133133,4,1,3a a a a a a a a ⋅=⋅=+=∴==或3133,1,a a ==
101553a q a ∴
==或1
3
，故选C 。

5．该程序的功能是求和
1
1(1)n
i i i =+∑,因输出结果511
1
6122356
=++
+
⨯⨯⨯，故选D. 6．由已知得3202,a b c ++⨯=即322,a b +=
2
11321
326626
a b ab a b +⎛⎫∴=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭，故选D.
7．如图：易得答案选A.
8．若(2)f ≤4成立，依题意则应有当2k ≥时，均有2()f k k ≤成立，故A 不成立, 若(4)f ≤16成立，依题意则应有当4k ≥时，均有2()f k k ≤成立，故B 不成立,
因命题“当2()f k k ≤成立时，总可推 出(1)f k +≤2
)1(+k 成立”．⇔“当(1)f k +>2
)1(+k 成立时，总可推出2()f k k >成立”．因而若(6)36f >成立，则当6k ≤时，均有2
()f k k
>成立 ，故C 也不成立。

对于D ，事实上(7)50f =49>，依题意知当k ≤7时，均有2()f k k >成立，故D 成立。

二．填空题：9.800、20％；
10.
1
2
；11. 3；12. ①③④⑤；13.
14. 2或8；15. 9. 由率分布直方图知，及格率＝10(0.0250.03520.01)0.8⨯++⨯=＝80％， 及格人数＝80％×1000＝800，优秀率＝100.020.220⨯==％.
10．解一：任取3个球有C 3
10种结果，编号之和为奇数的结果数为C 15C 2
5+ C 3
5=60，故所求概率为
310601
C 2
=. 解二：十个球的编号中，恰好有5个奇数和5个偶数，从中任取3个球，3个球编号之和为奇数与3个球编号之和为偶数的机会是均等的，故所求概率为
1
2
. 11．由平面向量的坐标表示可得：(1,),(2,1),AB k AC ==(1,1),CB AB AC k =-=--
D
B
A
C
E B
C
D O A
P
由AC CB ⊥，得()()211130,3AC CB k k k ⋅=⨯-+⨯-=-==. 12．由三视图知该几何体是底面为正方形的长方体， 显然①可能，②不可能，③④⑤如右图知都有可能。

13．在平面直角坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=分别表示圆()2
224x y ++=和直线1x =，易知AB
＝14． 由()()()5553f x x t x x t x t =-+-≥-+-=-=，得2t =或8 15．解法1：∵PA 切
O 于点A ，B 为PO 中点，
∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠=,∴120POD ∠=,在△POD 中由余弦定理
得222
2cos PD PO DO PO DO POD =+-⋅∠=1414()72
+-⨯-=
∴PD =
解法2：过点D 作DE ⊥PC 垂足为E ，∵120POD ∠=，∴60DOB ∠=,可得
12
OE =
,2DE =,在Rt PED ∆
中，∴PD ==
= 三．解答题：
16．解：（1）sin 75sin(3045)=+sin30cos 45cos30sin 45=+
12=
=分 （2）∵75CAB ∠=，45CBA ∠=
∴18060ACB CAB CBA ∠=-∠-∠=, 由正弦定理得：
sin sin AB BC
ACB CAB
=∠∠
∴sin 75
sin 60
AB BC =
------------6分
如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D,则BD 的长就是该河段的宽度。

C
B A
S
在Rt BDC ∆中，∵45BCD CBA ∠=∠=,sin ,BD
BCD BC
∠=
------------8分 ∴sin 45BD BC =
＝
100sin 75
sin 45sin 60
2AB ⋅=
=
（米）
米。

---------------------------12分
17．(1)解：∵90SAB SAC ACB ∠=∠=∠= ∴,,SA AB SA AC ⊥⊥且AB
AC A =,
∴SA ⊥平面ABC ------------ ----------------2分 在Rt ACB ∆中，
2AB =
=,
Rt SAB ∆
中，2SA ===
∵111222
ABC S AC BC ∆=
⋅=⨯=,
∴1123323
S ABC ABC V S SA -∆=
⋅=⨯⨯=.--------------4分 (2)证法1：由（1）知SA=2, 在Rt SAC ∆
中，SC ==---6分
∵2
2
2
358BC SC SB +=+==,∴BC SC ⊥-------------------8分
证法2：由（1）知SA ⊥平面ABC ，∵BC ⊂面ABC ，
∴BC SA ⊥,∵BC AC ⊥,AC
AS A =,∴BC ⊥面SAC
又∵SC ⊂面SAC ，∴BC SC ⊥
(3) 解法1：分别取AB 、SA 、 BC 的中点D 、E 、F ， 连结ED 、DF 、EF 、AF ，则//,//DE BS DF AC ,
y
2=4y
F
E
D
C
B
A
S
(-3,1,0)x
∴
EDF ∠（或其邻补角）就是异面直线SB 和AC 所成的角----------10分 ∵111,222
DE SB DF AC
=
=== 在Rt ACF ∆中，
12FC
BC =
=
∴2
AF
=
==,
在Rt EAF ∆
中，2
EF =
== 在△DEF 中，由余弦定理得2
2
2
111
244cos 1222
DE DF EF EDF DE
DF +-
+-∠==
⋅
4=- ∴异面直线SB 和AC -------------------------14分
解法2：以点A 为坐标原点，AC 所在的直线为y 轴建立空间直角坐标系如图
则可得点A(0,0,0),C(0,1,0),B ( ∴(3,1,2),(0,1,0)BS AC =-=
设异面直线SB 和AC 所成的角为θ
则cos ||||||BS AC BS AC θ⋅=
==⋅∴异面直线SB 和AC 所成的角的余弦值为
4。

18．解：（1）依题意知，动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C
是以原点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分
∵
12
p
= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2
4x y =………4分
（2）设圆的圆心为(,)M a b ，∵圆M 过A (0,2)，
∴圆的方程为 2
2
2
2
()()(2)x a y b a b -+-=+- ……………………………7分 令0y =得：2
2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ，2(,0)x 方法1：不妨设12
x x >，由求根公式得
122a x +=，222
a x =…………………………10分
∴12x x -=
又∵点(,)M a b 在抛物线2
4x y =上，∴2
4a b =，
∴ 124x x -==，即EG ＝4--------------------------------------------------------13分 ∴当M 运动时，弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法2：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴
22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+
又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2
4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=
∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕 19.解：设AN 的长为x 米（x >2）
∵
|DN||DC||AN||AM|=，∴|AM |＝32
x
x - ∴S AMPN ＝|AN |•|AM |＝232x x - ------------------------------------- 4分
（1）由S AMPN > 32 得 2
32
x x - > 32 ，
∵x >2，∴2
332640x x -+>，即（3x －8）（x －8）> 0
∴8
283
x x <<
> 或 即AN 长的取值范围是8(2)
(8)3
∞，，+----------- 8分
（2）令y ＝2
32
x x -，则y ′＝2226(2)334)(2)(2)x x x x x x x ---=--（ -------------- 10分
∵当[3,4)x ∈，y ′< 0，∴函数y ＝2
32x x -在[3,4)上为单调递减函数，
∴当x ＝3时y ＝2
32
x x -取得最大值，即max ()27AMPN S =（平方米）
此时|AN |＝3米，|AM |＝
33
932
⨯=-米 ---------------------- 12分 20．解：（1
）由
1
n n
a a -=
210n n a +-=----------------------------------------1分
由一元二次方程求根公式得
n a =
=---------------------------3分
∵0n a >
∴n a =分 (2)
∵n a =∴
121
n
i
n i a
a a a ==+++
∑1)(1n =++
++
1
------------------------------------------------------------6分
11
=
0<
∴
1
n
i
i a
=<∑分
（其它证法请参照给分） （
3）解法1：∵ n a =
∴
1n n a a +=
=
=
-------------------------------------------------10分
∵n N *
∈,
<
∴
1
1n n
a a +<，∵0n a > ∴1,n n a a n N *
+<∈即1231n n a a a a a +>>>
>>>
∴数列{}n a
有最大项，最大项为第一项11a =。

---------- -14分
〔解法2
：由n a ={}n a
各项满足函数()f x =
∵'()f x =
当0x >
<
∴当0x >时'()0f x <
，即函数()f x =(0,)+∞上为减函数
即有1231n n a a a a a +>>>
>>>
∴数列{}n a
有最大项，最大项为第一项11a =。

] 21．解： （1）
()10,0,f a b c -=∴-+= b a c =+
2224()4()b ac a c ac a c ∆=-=+-=----------------2分
当a c =时0∆=，函数()f x 有一个零点；--------------3分
当a c ≠时，0∆>，函数()f x 有两个零点。

------------4分 （2）令()()()()121
2g x f x f x f x =-
+⎡⎤⎣
⎦，则 ()()()()()()121112122f x f x g x f x f x f x -=-
+=⎡⎤⎣⎦
()()()()()()2122121
22
f x f x
g x f x f x f x -=-
+=⎡⎤⎣⎦， ()()()()()()()21212121
0,4g x g x f x f x f x f x ∴⋅=--<≠⎡⎤⎣
⎦()0g x ∴=在()
12,x x 内必有一个实根。

即()012,x x x ∃∈，使()()()0121
2
f x f x f x =
+⎡⎤⎣⎦成立。

------------8分 （3） 假设,,a b c 存在，由①知抛物线的对称轴为x ＝－1，且min ()0f x =
∴2
41,024b ac b a a
--=-= ⇒ 2
2
2,444b a b ac a ac a c ==⇒=⇒=-------------------------10分 由②知对x R ∀∈,都有21
0()(1)2
f x x x ≤-≤
- 令1x =得0(1)10f ≤-≤(1)10f ⇒-=(1)1f ⇒=1a b c ⇒++=
由1
2a b c b a a c
++=⎧⎪
=⎨⎪=⎩
得11,42a c b ===，-------------------------------12分
当11,42a c b ==
=时，221111
()(1)4244
f x x x x =++=+，其顶点为（－1，0）满足条件①，又21()(1)4f x x x -=-⇒对x R ∀∈,都有2
10()(1)2
f x x x ≤-≤-，满足条件②。

∴存在,,a b c R ∈，使()f x 同时满足条件①、②。

------------------------------14分。