第4讲 截长补短(word版)

第四讲截长补短
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如图：要证AB＝CD＋EF，有以下辅助线的说法
B
一、【截长】
①在AB上截取AH＝CD，只需证明BH＝EF
②在AB上截取AH＝EF，只需证明BH＝CD
③在BA一截取BH＝CD，只需证明AH＝EF
④在BA上截取BH＝EF，只需证明AH＝CD
二、【补短】
①延长CD到H使得DH＝EF，只需证明CH＝AB
②延长CD到H使得CH＝AB，只需证明DH＝EF
③延长DC到H使得CH＝EF，只需证明DH＝AB
④延长DC到H使得DH＝AB，只需证明CH＝EF
⑤延长EF到H使得FH＝CD，只需证明EH＝AB
⑥延长EF到H使得EH＝AB，只需证明FH＝CD
⑦延长FE到H使得EH＝CD，只需证明FH＝AB
⑧延长FE到H使得FH＝AB，只需证明EH＝CD
模块一截长补短基本题型
题型一“垂直关系”与截长补短
例1
如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC于D，求证：CD＝BD＋AB
A
练习
如图，△ABC 中，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于D ，且AB ＋BD ＝DC ，求∠C 的度数.
D
C
B
A
例2
已知等腰△ABC ，AB ＝AC ，E 是AC 上一点，D 是AB 延长线上一点，且CE ＝BD ，ED 交BC 于F ，EG ⊥BC 于G ，求证：FG ＝BF ＋CG .
G
F
E
D
C
B A
练习
如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，若E 是BC 上一点，AF 平分∠EAD ，求证：BE ＋DF ＝AE .
F
E
D
C
B
A
题型二 角平分线与“截长补短” 例3
如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB ＝AC （1）若∠BAC ＝90°，求证：BC ＝AB ＋AD
D
C
B
A
（2）若∠BAC ＝108°，求证：BC ＝AB ＋CD
D
C
B
A
（3）若∠BAC ＝100°，求证：BC ＝BD ＋AD
D
C
B
A
练习
如图，BD 是△ABC 的角平分线，AB ＝AC （1）若BC ＝AB ＋AD ，求∠BAC 的度数
A
B
C
D
（2）若BC ＝AB ＋CD ，求∠BAC 的度数
A
B
C
D
题型三 “等边三角形”与截长补短 例4
已知△ABC 为等边三角形，D 是形外一点，若∠ADB ＝60°，求证：AD ＋CD ＝BD .
D
C
B
A
练习
如图，△ABC 是等边三角形，∠ADC ＝120°，求证：BD ＝AD ＋CD .
D
C
B
A
例5
如图，F 是等边△ABC 的边AC 的中点，D 在边BC 上，△DFE 是等边三角形，ED 的延长线交AB 于H ，求证：CF ＋CE ＝CD .
H F
E
D
C
B
A
练习
已知如图，△ABC为等边三角形，AE＝AC，BE交AC于D，AF平分∠CAE交BE于F，求证：AF＋EF ＝BF.
F E
D
C
B
A
题型四“线段和相等”与截长补短
在△ABC和△A′B′C′中，若AB＋AC＝A′B′＋A′C′，BC＝B′C′，∠B＝∠B′，求证：△ABC≌△A′B′C′.
练习
已知△ABC，∠BAC＝60°，∠ABC＝80°，∠A，∠B的平分线交BC，CA于P，Q，求证：AB＋BP＝AQ＋BQ.
Q P
C
B A
模块二 截长补短综合应用
例7
如图，在△ABC 中，∠CAB ＝∠CBA ＝45°，CA ＝CB ，点E 为BC 的中点，CN ⊥AE 交AB 于N ，连EN ，求证：AE ＝CN ＋EN .
E
N
C
B
A
例8
如图，等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，△ABC 的内部有一条过B 点的射线，过A 点和C 点分别作这条射线的垂线，垂足分别为M ，N ，写出BN --CN 与AM 之间的数量关系，并证明你的结论
.
第4讲 本讲课后作业
A 基础巩固
1.如图，已知∠P AB ＋∠ABC ＝180°，∠P AB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于点E ，连接CE 并延长交AP 于D ，求证：AD ＋BC ＝AB .
P
E
D C
B
A
2.已知△ABC 中，AC ＝BC ，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，点E 为AB 上一点，且∠EDB ＝∠B ， （1）如图，若∠C ＝90°，求证：AB ＝AC ＋CD
E
D
C
B
A
（2）如图，若∠C ＝100°，求证：AB ＝AD ＋CD
D
C
B
A
3.如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点p ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ，若PE ＝PF ，且AP ＋AE ＝CP ＋CF ，求证：P A ＋PC .
P
F
E D C
B
A
4.如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AO 平分∠BAC ，交CD 于O ，E 为AB 上一点，OE ∥BC ，求证：OD ＋OE ＝CD .
O
E
D C
B
A
5.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，若F 是CD 的中点，E 是BC 边上一点，且AF 平分∠DAE ，求证：AE ＝EC ＋CD .
F
E
D
C
B
A
B 综合训练
6.已知△ABC 与△ADE 均为等边三角形，点A ，E 在BC 的同侧
（1）如图1，点D 在BC 边上，写出线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并证明
图1
E
D
C
B
A
（2）如图2，点D 在BC 边上的延长线上，其它条件不变，写出线段AC ，CD ，CE 之间的数量关系，并证明
图2
E
D
C
B
A
数学故事
抛硬币的概率
硬币除了可以买东西，也可以用来解决各种争端，据说，遇到不可调解的分岐的时候，为了作出决定，人们的首选是猜拳，其次是抛硬币。

足球场上开球方的决定，习惯上也是用硬币决定的。

然而，硬币正反不一样！
如果硬币两面是完全一样的，显然掷出正面或者反面的可能性是均等的。

我们常说，正反面出现的概率都是0.5。

那么，这里的“概率”是什么意思呢？
如果我们不停地投掷硬币，并记录下每次的结果，我们会发现正面出现的数量大约是全部的一半，投掷的次数越多，“出现正面”所占的比例就越接近0.5。

这就是概率的含义：如果在许多次独立的试验中，某个特定的事件发生的比例会逐渐趋近一个特定的数值，那么这个数值就被称为这个特定事件的概率。

我们可能觉得掷硬币时，正反面出现的概率是一样的，其实不然，由于设计的原因，硬币正反面的花纹是不一样的，从而也导致了重心与中心的微小偏差。

以人民币一元硬币来说，正面是代表面额1字，反面是菊花，重心稍微偏向反面；欧元就更麻烦了，不同的铸币厂会铸出不同的背面花纹，重心偏向也因这些花纹而异。

由于重心有偏向，所以掷硬币时，正反面出现的概率也会有些偏差。

幸好花纹导致的概率偏差非常非常小，在日常生活中往往可以忽略不计。

尽管可以忽略不计，但有没有办法修正这个偏差呢？换句话说，能不能找到一个方法，让有偏差的硬币产生无偏差的结果呢？
假设某枚硬币掷出正面的概率是P，我们用以下的方法产生抛硬币的结果；掷两次硬币，如果两次的结果相反的话，取后掷出的为结果；否则重新掷两次。

更具体地说，如果结果是”反正“的话，那就当作掷出了正面，如果是”正反”的话，那就当作反面，如果是“正正”或者“反反”的话，那就重新再来。

这样的话，在一次尝试中，结果为正面和反面的概率都是P（1-p），结果是完全公平的。

正反抵消不容易
掷100次硬币，正面和反面相差多少次呢？1000次呢？10000次呢？现实中的硬币，掷出正反面的概率略有偏差，但差别之小可以看作相同，你可能会觉得，掷出正面和反面的数目有很大概率是相等的，但事实如何？
虽然根据概率论中的大数定律，正反面出现次数的比应该很接近1，但这不代表正反面数目刚好抵消的概率很大。

打个不太恰当的比方，地铁相对来说是很准时的，但是要它一天提前或者延误的时间刚好抵消的话，还是相当困难的。

尽管得到正面和反面的概率相同，但是要它们恰好相互抵消，这也需要一点运气。

稍稍用点数学知识可以知道，抛2n次硬币，恰好有n次正面n次反面的概率大概是1n越来越
大，这个概率越来越趋近0。

也就是说，虽然正反面出现的概率相同，但是它们恰好相等的概率会随着抛硬币的总次数变低，最后越来越接近0.
所以说，在表达数学问题时，一定要用精确的语言。

意思上一点点微小的变动，也会产生截然不同的结果。

我们说投掷硬币时出现的概率是0.5，说的是在许许多多次投掷后，结果中正面所占的比例会非常接近0.5，投掷次数越多，比例越接近0.5。

但这并不是说比例会非常凑巧地稳稳停在0.5.实际上，在很多情况下，这个比例会不停地在0.5周围浮动，但浮动的幅度会越来越小，也会越来越靠近0.5。

某几次投掷之后正面恰好占一半，这种情况发生的机会反而很小。