静电场的高斯定理

S
q
1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷 在闭合曲面上任取一面积元 dS，通过面元的电场强度通量 ，
ε0
dS
E
r dS dΨe = E dS = 2 4πε0r r q = cosθdS 2 4πε0r q dS′ = 2 4πε0 r S
q
q
+
r
高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
r
∫sE dS = ∫侧面E dS =E 2π rl
2πε0lr （1）当r<R 时， ∑q = 0 ）
由高斯定理知 E =
∑q
l
E =0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时， ）
∑q = λl
λ E= 2 0r πε
r l
1
均匀带电圆柱面的电场分布
λ 2πε0R
E
Er 关系曲线
∝r
R
0
r
高斯定理的应用
q
q 4πε0R2
E
Er 关系曲线
∝r
R
2
+ +
0
r
高斯定理的应用
无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R， 例7-10 无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为 ， 沿轴线方向单位长度带电量为λ 沿轴线方向单位长度带电量为λ。 解： 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为 高为 半径为r 半径为
Ψe = ∫∫ E dS = Ψe = ∫∫ E dS =
S S
q
ε0
q
dS
ε0
d
E S2
Ψe =
q
4πε 0 =0
∫∫ d
S
S1
+
高斯定理
2. 高斯定理
1.1 当点电荷在球心时 1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷 1.3 闭合曲面 不包围该电荷 闭合曲面S不包围该电荷
Ψe = ∫∫ E dS = Ψe = ∫∫ E dS =
S S S
q
ε0 q
ε0 Ψe = ∫∫ E dS = 0
= S内 Ψe = ∫∫ E dS
S
1.4 闭合曲面 包围多个电荷 1-qk，同时面外也有多个 闭合曲面S包围多个电荷 包围多个电荷q 电荷q 电荷 k+1-qn ∑qi
ε0
高斯定理
§7-3 静电场的高斯定理 高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1 q Ψe = ∫∫ E dS = ∫∫ e dS 2 r 4πε0 r S S
高斯
4πε0r S q 2 = 4π r 2 4πε0 r
2
=
q
∫∫ dS
q
dS
E
+
=
q
r
ε0
高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
Ψe = ∫∫ E dS =
E=
ρR 3 0 ε
ρ r 3ε0 ρ R3 1 3ε0 r 2
r<R
R
r >R
E
Er 关系曲线
∝r
R
2
O
r

∫sE dS = ∫两底E dS = 2ES
圆柱形高斯面内电荷 由高斯定理得
∑q =σS
E
S
E
2ES = σS / ε0
σ E= 2ε0
σ
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场。球半径为R， 例7-8 均匀带电球体的电场。球半径为 ，体电 荷密度为ρ 荷密度为ρ。 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面 R
均匀带电无限大平面的电场. 例7-9 均匀带电无限大平面的电场 电场分布也应有面对称性， 解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。 方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。 ，两底面到带电平面距离相同。
∫∫
S
∑q E dS = E 4πr =
2
r
E=
4 3 a.r<R时，高斯面内电荷 ∑q = ∫ ρdV = ρ 3π r 时
4 0r πε
∑q
ε0
2
4 3 b.r>R时，高斯面内电荷 ∑q = ρ π R > 时 3
ρ E= r 3ε0 ρR3 1 E= 3ε0 r2
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
高斯定理: 在真空中， 高斯定理: 在真空中，静电场通过任意闭合曲面的 电通量， 电通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真 空介电常数。 空介电常数。
Ψe = ∫∫ E dS =
S
1
ε0 S内 1 Ψe = ∫∫ E dS = ∫V ρ d V ε0 S
∑qi
点电荷系 连续分布带电体
高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。 高斯定理表明静电场是有源场，电荷就是静电场的源。
i
n
i=1 i=k +1
= S内 Ψe = ∫∫ E dS = ∑∫∫ Ei dS + ∑ ∫∫ Ei dS ε
S
∑qi
0
i=k +1 S
高斯定理
2. 高斯定理
1.1 当点电荷在球心时 1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷 1.3 闭合曲面 不包围该电荷 闭合曲面S不包围该电荷
高斯定理
1.1 当点电荷在球心时
1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷
Ψe = ∫∫ E dS = q S ε0
dS
d
q3 q +1 q2
dΨe =
q 4πε0
S
d
q
Ψe =
=
q
4πε0 q
∫∫ d = 4πε × 4π
0
E
ε0
S
高斯定理
2. 高斯定理
1.1 当点电荷在球心时 1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷 1.3 闭合曲面 不包围该电荷 闭合曲面S不包围该电荷 闭合曲面可分成两部分S1、 闭合曲面可分成两部分 、 S2，它们对点电荷张的立体 角绝对值相等而符号相反。 角绝对值相等而符号相反。
Ψe = ∫∫ E dS =
S
q
1.2 任一闭合曲面 包围该电荷 任一闭合曲面S包围该电荷
ε0
dS
E
dS′ = dS cosθ
在垂直于电场方向的投影。 是dS在垂直于电场方向的投影。 dS对电荷所在点的立体角为 dS对电荷所在点的立体角为
d
∴
dS′ d = 2 r q dΨe = d 4πε0
S
+
注意： 虽然电通量只与高斯面内电荷有关， 注意： 虽然电通量只与高斯面内电荷有关，但是
面上电场却与面内、面外电荷都有关。 面上电场却与面内、面外电荷都有关。
高斯定理的应用
3. 高斯定理的应用
条件： 条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电圆柱面的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4. 均匀带电球体的电场 5. 均匀带电球体空腔部分的电场
2
+ + + + + +
+ +
R
+
q
E=
∑q
0
4πε0 r
r
+
2
r<R时，高斯面无电荷， < 时 高斯面无电荷，
+ + + +
E =0
+ +
高斯定理的应用
r>R时，高斯面包围电荷 ， > 时 高斯面包围电荷q
E=
q 4πε0r
2
+ + R + + + + +
+ +
+ + + + +
r
均匀带电球面的电场分布
高斯定理的应用
均匀带电球面的电场，球面半径为R,带电为 带电为q 例1. 均匀带电球面的电场，球面半径为 带电为 。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面 作同心且半径为 的高斯面. 的高斯面
∑q ∫S E dS = E 4πr = ε
Ψe = ∫∫ E dS =
S
q
ε0
q
Ψe = ∫∫ E dS =
S S
ε0 Ψe = ∫∫ E dS = 0
k n
1.4 闭合曲面 包围多个电荷 1-qk，同时面外也有多个 闭合曲面S包围多个电荷 包围多个电荷q 电荷q 电荷 k+1-qn 由电场叠加原理
k i =1 S
E = ∑Ei= ∑Ei + ∑En