概率论与数理统计(00002)

概率论与数理统计
大数定律与中心极限定理的应用
马吟涛 1
（1. 江西师范大学科学与技术学院，江西南昌
330027）
摘要：大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质—平均结果的稳定性，它是概率论中一个非常重要的定律，应用很广泛。

本文介绍了几种常用的大数定律，并分析了它们在理论与实际中的应用。

关键词：大数定律，概率分布，保险业
中图分类号：O 413.1 文献标识码：A
1 引言
概率与统计是研究随机现象的统计规律的学科，而随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行大量重复试验或观察才呈现出来。

然而，在大量重复试验或观察中，我们会发现，一个事件发生的频率具有稳定性，它的稳定性会随着试验次数的增多表现得越来越明显。

这种稳定性与它在在实验进行中的个别特征无关，且不再是随机的。

大数定律给出了稳定性的确切含义，并且给出了什么条件下才具有稳定性。

那么，这对于我们解决理论与实际问题有哪些实际意义呢？这就是我们在下面将要了解到的，大数定律的某些应用。

即，大数定律及其在理论与实际生活中的一些应用。

一方面，在理论上，大数定律可以看作是求解极限、重积分以及级数的一种新思路，另一方面，在实际生活中，保险动机的产生、保险公司财政稳定和保费的确定，我们都将看到大数定律的重要作用。

2常见大数定律
由于随机变量序列向常数的收敛有多种不同的形式，按其收敛为依概率收敛，以概率 1 收敛或均方收敛，分别有弱大数定律、强大数定律和均方大数定律。

常用的大数定律有：伯努利大数定律、辛钦大数定律、柯尔莫哥洛夫强大数定律和重对数定律。

设有一随机变量序列，假如它具有形如（1）的性质，则称该随机变量服从大数定律（见左上方图片）。

伯努利大数定律:设μ_n 为n 重伯努利实验中事件A 发生的次数，p 为每次实验中A 出现的概率，则对任意的ε>0，有（2）成立。

切比雪夫大数定律：设{X_n}为一列两两不相关的随机变量序列，若每个X_i 的方差存在，且有共同的上界，即Var(X_i)小于或等于c,则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

马尔可夫大数定律：对随机变量序列{X_n}，若（3）成立，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）式成立。

辛钦大数定律：设{X_n}为独立同分布的随机变量序列，若X_i 的数学期望存在，则{X_n}服从大数定律，即对任意的ε>0，（1）成立。

3相关定义定理以及应用
定义：设 ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有()1lim =<-∞
→εa X P n n ， 则称序列 ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n −→−.
切比雪夫不等式
设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>∀ε，有
2)())((εξεξξD E P ≤≥-或2)(1))((εξεξξD E P -≥<-
证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。

设~()p x ξ，则有
22()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξεξεξξξεε-≥-≥--≥=
≤⎰⎰ 222
1
()(())()D x E p x dx ξξεε+∞-∞≤-=⎰ 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。

这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。

切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件{}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。

定理1（切比雪夫大数定律）
设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且
一致有界，即存在常数C ，使 ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有
又 ()()()()22
2222211111211211a n n n n Dx a a D n n n a a a a ∞∞∞
=====<∞++++∑∑∑ 由契贝晓夫大数定律可知：当()n x 是独立的同分布的随机变量序列，且
21n n Dx n ∞
=<∞∑，由前面知道是强大数定律可知，1111lim 01n n k k n k k P x Ex n n →∞==⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑； 由此可知 1111lim 0n n a a k k n k k x Ex n n →∞==⎛⎫-= ⎪⎝⎭
∑∑ 即 1
11lim 1n a k n k x n a →∞==+∑ 又因为01,1,n x k ≤≤≥且a b >故有,1a b k k x x k <≥，因此11
n n
a b k k k k x x ==≤∑∑。

由此n ∀，有
1111121211100001212..............................1............a a a a a a n n n n n b b b b b b n n
x x x x x x dx dx dx dx dx dx x x x x x x ++++++⋅⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅⋅≤++++++⎰⎰⎰⎰
根据勒贝格控制收敛定理可知：
()()()()()11112100121............lim ......lim ............a b
a a a n n n
b b b b b n n n n x x x x x dx dx Pd x x x x x ωωωωω→∞→∞Ω+++++⋅⋅⋅=+++++⎰⎰⎰= ()()()()()11......lim ......a b n b b n n x x Pd x x ωωωωω→∞Ω
++++⎰=()()1111b b Pd Pd a a ωωΩΩ++=++⎰⎰ 即11
1210012......1lim ............1a a a n n b b b n n x x x b dx dx x x x a →∞++++⋅⋅⋅=++++⎰⎰。

可以看出，利用大数定律求解数学分析中的重积分和极限收敛问题有它简洁的一面，也体现了大数定律等概率论等知识的广泛联系和应用。

[7]
4.2在生产生活中的应用
例2: 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的,假设每箱的平均重50千克,标准差5千克. 若用最大载重量为5吨的汽车承运,试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱,才能保证不超载的概率大于0.977.
解答：设为第i 箱的重量(),
，
∑==n i i n X Y 1
由列维-林德伯格中心极限定理,有 近似地~，)25,50(n n N }5000{P ≤n Y ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-≈n n Φ5505000977.0>，)2(Φ=所以n 必须满足，2101000>-n
n ，0199.98 <⇒n 也就是最多可以装98箱. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.
问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?
解：某一时刻开动的车床数，,)6.0 ,200(~B X 要求最小的k,使.
999.0}0{P ≥≤≤k X 由
D-L 定理, X 近似地~，),(npq np N )0()(}0{P npq
np Φnpq np k Φk X ---≈≤≤∴)0()(}0{P npq
np Φnpq np k Φk X ---≈≤≤)48120()48120(---=Φk Φ)48120(-≈k Φ999.0≥ 所以若供电141.5千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到0.001，相当于8小时内约有半分钟受影响，这一般是允许的。

某产品次品率p = 0.05,试估计在1000件产品中次品数的概率 .
次品数,)05.0,1000(~B X ,5005.01000)(E =⨯==np X
,5.4795.050)1()(D =⨯=-=p np X
由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理,有：
}6040{P ≤≤X )5
.475040()5.475060(---≈ΦΦ1)45.1(2-=Φ.853.0= 次品数：
,)05.0,1000(~B X ,
5005.01000)(E =⨯==np X ,5.4795.050)1()(D =⨯=-=p np X
}6040{P ≤≤X )5
.475040()5.475060(---≈ΦΦ1)45.1(2-=Φ.853.0= 若是使用切比雪夫的不等式来进行计算，
}6040{P ≤≤X }1050{P ≤-=X 210
5.471-≥.525.0=但是这样的计算并不完整，有点过于保守。

中心极限定理对保险业更是具有指导性的意义,一个保险公司的亏盈,是否破产,我们通过学习中心极限定理的知识都可以做到估算和预测. 大数定律是近代保险业赖以建立的基础. 根据大数定律中心极限定理,我们知道承保的危险单位越多,损失概率的偏差越小,反之,承保的危险单位越少,损失概率的偏差越大. 因此,保险人运用大数法则就可以比较精确的预测危险,合理的拟定保险费率. 下面我们以一道具体的有关保险业的实例来阐述一下大数定律和中心极限定理在保险业中的重要作用和具体应用.
4.3在保险中的运用
例 3 ：已知在某人寿保险公司里有10000个同一年龄段的人参加保险,在同一年里这些人死亡率为0.1% ,参加保险的人在一年的头一天交付保险费10元,死亡是家属可以从保险公司领取2000元的抚恤金. 求保险公司一年中获利不少于40000 元的概率;保险公司亏本的概率是多少?
解 设一年中死亡的人数为x 人. 死亡概率为0.001P = ,把考虑10000人在一年里是否死亡看成10000重贝努里试验,
保险公司每年收入为10000*10100000= 元,付出2000x 元.
(1) P (保险公司获利不少于40000 元)
{}(1000002000)40000P x =->=
(030)10000*0.00110P x <<== ()*(1)10*0.999 3.161D x np p -
{}10103010030{
}(6.3271)( 3.1631)0.99933.161 3.161 3.161x P x P ---≤≤=≤≤=Φ-Φ-=
即保险公司一年中以99.93% 的概率获利400000元以上.
(2) 保险公司亏本的概率:
{}{}{}010105010200010000501501{}3.161 3.161 3.161
x P x P x P x P --->=>=-≤=-≤≤1(1.6542)( 3.1641)0.0008=-Φ+Φ-=
由此可见,我们应用大数定律和中心极限定理的知识可以准确算出保险公司的破产几率.如何降低保险公司的风险以及影响保险公司盈亏的因素是我们需要进一步讨论的.本文仅给出了大数定律和中心极限定理在彩票和保险业的应用, 而在现实生活中大数定律和中心极限定理的应用是非常广泛的,学会使用大数定律和中心极限定理将对我们的学习和生活带来很多帮助. 5．结论
随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。

在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。

参考文献：
[1] 钱和平宋家乐. 强混合鞅差序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]．《中国科技信息》 2012年第8期
[2] 罗中德．中心极限定理教学方法研究[ J]．《现代商贸工业》 2012年第8期
[3] 冯凤香. 独立随机变量序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]．《吉林大学学报：理学版》 2012年第2期
[4] 许道云秦永彬刘长云. 学习《概率论与数理统计》应该注意的若干问题（6）——极限性质及其应用 [J]．《铜仁学院学报》 2011年第6期
[5] 王丙参魏艳华林朱．大数定律及中心极限定理在保险中的应用 [ J]．《通化师范学院学报》 2011年第12期
[6] 任敏张光辉. 非同分布φ-混合序列部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]．《黑龙江大学自然科学学报》 2011年第6期
[7] 王媛媛. 部分和乘积的几乎处处中心极限定理 [J]．《桂林理工大学学报》 2011年第
3期
[8] 张鑫．大数定理发展边程初探 [ J]．《科技信息》 2011年第22期
[9] 陈晓材吴群英邓光明周德宏. 不同分布φ^~混合序列的弱大数定理 [J]．《平顶山学院学报》 2010年第2期
Law of large numbers and central limit theorem Abstract:The law of large numbers describles the most fundamental of the random nature in rigorous mathematical formation—the stability of the average results .It is a very important law, and its applications are very wide. This article describes several common law of large numbers, and analyzes their theoretical and practical applications.
Key words: law of large numbers, probability distribution, insurance。