2020届四川省宜宾市叙州区第一中学高三4月月考数学(文)试题(解析版)

2020届四川省宜宾市叙州区第一中学高三4月月考数学（文）试题
一、单选题
1．集合，，则（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，
∴．选D．
2．已知复数满足：则复数的虚部为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，
∴，
∴复数的虚部为1．选C．
3．已知实数满足：，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】函数为增函数,故.而对数函数为增函数,所以,故选B.
4．在区域内任意取一点，则的概率是（）
A．B．C．D．
【解析】画出图象如下图阴影部分所示,故概率为,所以选B.
5．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得图象对应函数的解析式为( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】右平移个单位长度得带,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)得到,故选C.
6．已知，点为斜边的中点，,,,则等于（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】可分别以直线AC，AB为x，y轴，建立平面直角坐标系，根据条件便可求出点A，B，C，D的坐标，进而求出点E的坐标，从而得出向量的坐标，这样进行数量积的坐标运算即可求出的值．
如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：
因为，所以
∴=，
∴
故选：C．
【点睛】
考查建立平面直角坐标系，通过坐标解决向量问题的方法，能求平面上点的坐标，以及向量数乘的几何意义，数量积的坐标运算．
7．若，，则的值构成的集合为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由知，，即，当时，，所以，从而，当时，，所以
，因此选C.
8．中国明代数学家程大位的著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其大意为：“有一个人走378里路，
第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第四天比第六天多走了( )
A．24里B．18里C．12里D．6里
【答案】B
【解析】根据题意,设此人每天所走的路程为,其首项为,即此人第一天走的路程为,又从第二天起每天走的路程为前一天的一半，则是以为首项, 为公比的等比数列,
又,解得,则,故选B.
9．正方体中，若外接圆半径为，则该正方体外接球的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，求得其外接圆的半径，求得的值，进而求得球的半径，即可求解球的表面积，得到答案。

【详解】
如图所示，设正方体的棱长为，则是边长为的正三角形，
设其外接圆的半径为，则，即，
由，得，
所以正方体的外接球的半径为，
所以正方体的外接球的表面积为，故选C。

【点睛】
本题主要考查了求得表面积与体积的计算问题，同时考查了组合体及球的性质的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，利用球的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题。

10．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导
数的几何意义可得k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．
【详解】
根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，
f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，
则有k＝f′（1），
则tanθ，
又由0≤θ＜π，则θ，
故选：B．
【点睛】
本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．11．已知函数的图象的一个对称中心为，且，则的最小值
为（）
A．B．1 C．D．2
【答案】A
【解析】由函数图象的对称中心为列方程，由整理出方程并求解，联立方程组表示出，结合及得到的范围，从而求解。

【详解】
因为函数的图象的一个对称中心为所以，整理得：，
所以，
又即：，
所以或
由得：，
由得：，
所以的最小值为
故选：A
【点睛】
本题主要考查了三角函数性质，及解三角方程，注意及这个要求。

12．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）
A．8 B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，双曲线在第一、三象限的渐近线为，设点Q坐标为，
则，
∵，
∴，
∴．
设，由得，
∴，
∴，
∵点在双曲线上，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴双曲线的离心率为2．选B．
点睛：
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量的方程
或不等式，利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
二、填空题
13．已知向量，且，则__________．
【答案】
【解析】由题得,故填. 14．执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值之和为_____．
【答案】127
【解析】由程序框图，该程序是利用选择结构与循环结构相嵌套计算输出变量的值.模拟程序运行的过程，分析循环中各个变量的值的变化情况，确定输出的值及何时程序结束.最后再把各个输出值相加求和.
【详解】
执行程序，第1次循环，y=0为整数，输出x=1；x变为2，不满足大于100；
第2次循环，y=1为整数，输出x=2；x变为3，不满足大于100；
第3次循环，不为整数，x变为4，不满足大于100；
······，第100次循环，不为整数，x变为101，满足大于100，程序结束；输出值x依次为1,2,4，···，64，成等比数列，
所以所有输出值x的和.故答案为127.
【点睛】
本题考查程序框图中循环结构与选择结构的应用，解题时需模拟程序运行，结合相关知识，判断程序的条件是否满足，何时结束.结构有嵌套时复杂性增加，属于中档题. 15．若是双曲线同一支上的任意两点，为坐标原点，则的最小值为_____．
【答案】1
【解析】设A，B坐标，将用A，B的坐标表示，结合双曲线方程进行减元，再利用基本不等式可得.
【详解】
设，，不妨设，，所以
又A，B在双曲线C上，所以，，要使较小，只需，
=
=（当且仅当时取等号）
所以,
故答案为1.
【点睛】
本题考查利用不等式求函数的最值，考查函数解析式的建立，对多元函数求最值往往利用基本不等式求解，属于中档题.
16．在中，内角，，的对边分别为，,,,,__________．【答案】
【解析】依据题设可得，由正弦定理余弦定理可得，即，也即与联立可得，故，应填答案。

点睛：本题解决的思路是先运用同角三角函数之间的关系将切化弦，再运用正弦定理余弦定理将其化为边的关系，进而借助题设中的等式建立方程组，通过解方程组使得问题巧妙获解。

三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（I）求；
（II）若，，求的面积.
【答案】(1);(2)1.
【解析】（1）由正弦定理可得，而,展开化简即可得到，从而可以求出；（2）先求出的值，然后通过余弦定理即可求出的值，代入面积公式即可得到答案。

【详解】
（1）因为，所以，
故，
所以，
因为，所以，
又，且0 < C< π，
解得，.
（2）由（1）得
所以，
由，设，
由余弦定理得：，
所以，
所以的面积.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了三角形的面积求法，考查了计算能力，属于中档题。

18．某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40 名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
(I)求的值；
(II)求抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的人数；
（III）再从月上网次数不少于20 次的学生中随机抽取2人，求至少抽到1名女生的概率.
【答案】（I）；（II）；（III）
【解析】（1）根据频率分布直方图计算a的值即可；
（2）根据频率直方图求出女生、男生月上网次数不少于15次的频率，计算对应的频数，再求和；
（3）利用列举法求基本事件数，计算对应的概率值即可．
【详解】
解析：（1）由，得.
（2）在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，
∴在所抽取的女生中，月上网次数不少于15次的学生有人.
在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生频率为，
∴在所抽取的男生中，月上网次数不少于15次的学生有人.
故抽取的40名学生中月上网次数不少于15次的人数有人.
（3）记“再从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，至少抽到1名女生”为事件，
在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生频率为，人数为. 在抽取的男生中,月上网次数不少于20次的学生频率为，
人数为. 记两名女生为，，三名男生为，，，
则在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取2人，所有可能有 10种：
即，，,，，，，，，,
而事件包含的结果有 7 种：，，，，，，，
∴.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是
基础题目．
19．如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为棱上一点.
(I)证明：平面平面；
(II)设，，记三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，若，求
的长.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析：（1）根据条件可证明AB垂直平面PAD，从而可证平面平面；（2）根据等体积法，转换棱锥顶点即可求出.
试题解析：
（1）证明：∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴.
又，∴平面.
∵平面，∴平面平面.
（2）解：设，∵，，∴的面积为，
∴.
又，
∴，∴，，，则.
又平面，∴，
∴.
点睛：在三棱锥的体积、高等问题中，经常使用等体积法来处理，一般可转化顶点，利用体积不变，高，底的变化来突破问题，解题中要注意使用.
20．已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为，且椭圆的离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点且斜率不为零的直线与椭圆交于两点、，点，试探究：直线与的斜率之积是否为常数.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】【试题分析】(1)根据三角形面积公式和离心率建立方程,解方程组可求得的值.(2)设出直线的方程联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,通过计算.化简后可得为常数.
【试题解析】
（1）由题意得（其中椭圆的半焦距），
解得.
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意设直线的方程为：，，，
由得：，
所以，
故，
，
（常数）.
21．已知函数在点处的切线与轴平行．
（1）求实数的值及的极值；
（2）如果对任意，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）求函数的导数，根据导数的几何意义建立条件关系即可求实数的值及的极值；（2）根据函数的单调性关系，将不等式进行转化，利用导数求函数的最值即可得到结论．
【详解】
（1）
∵在点处的切线与轴平行
∴，∴
∴ ,
当时，当时，
∴在上单调递增，在单调递减，
故在处取得极大值1，无极小值.
（2）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，
则等价于
∴，即函数在上单调递减，
又，在上恒成立，
在上恒成立，在上，
则
【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，根据导数的几何意义求出，以及函数极值，最值和导数之间的关系是解决本题的关键．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处，极轴与轴的非负半轴重合，且长度
单位相同，直线的极坐标方程为，曲线(为参数).其中.（Ⅰ）试写出直线的直角坐标方程及曲线的普通方程；
（Ⅱ）若点为曲线上的动点，求点到直线距离的最大值.
【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；（2）
.
【解析】试题分析：（1）对极坐标方程化简,根据写出直线的直角坐标
方程;对曲线移项平方消去参数可得曲线的普通方程;(2) 由（1）可知，曲线是以
为圆心，为半径的圆, 圆心到直线的距离加上半径为点到直线距离的最大
值.
试题解析:（1），即，又.
直线的直角坐标方程为.
曲线（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为.
由（1）可知，曲线是以为圆心，为半径的圆.
圆心到直线的距离，
点到直线距离的最大值为.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）若对于任意非零实数以及任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】分析：（1）对的取值分类探讨，去绝对值符号，利用函数图像解不等式。

（2）先将恒成立问题转化为最值问题，利用绝对值三角不等式求最值。

详解：(1)当时,所以的解集为. （2）由, ,知,
即，
而,
所以，即，故实数的取值范围为.
点睛：解绝对值不等式主要去绝对值符号，要去绝对值，必然有分类讨论，为避免分类
讨论，可以用数形结合的方法。