尖山区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

尖山区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α
B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α
C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β
D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β
2． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的，
则这两个圆锥的体积之比为（ ） A ．2：1 B ．5：2 C ．1：4 D ．3：1
3． 已知向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），若与共线．则n 等于（ ）
A ．1
B ．
C ．2
D ．4
4． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择下面四个选项中的（ ） A ．①④
B ．①⑤
C ．②⑤
D ．③⑤
5． 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．8+2
B ．8+8
C ．12+4
D ．16+4
6． 若方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2） C ．（1，+∞） D ．（0，1）
7． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）
A ．∀x ∈R ，x 2≤0
B ．∃x ∈R ，x 2＞0
C ．∃x ∈R ，x 2＜0
D ．∃x ∈R ，x 2≤0
8． 设函数f （x ）=，则f （1）=（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
9． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
10．已知集合{}{}
421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*
,,a N x A y B ∈∈∈使B 中元素31y x =+和A 中的元素
x对应，则,a k的值分别为（）
A．2,3B．3,4C．3,5D．2,5
11．如图所示，程序执行后的输出结果为（）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
12．已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）
A．123B．163C．203D．323二、填空题
13．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．
14．给出下列命题：
①把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=sin（2x﹣）；
②若α，β是第一象限角且α＜β，则cosα＞cosβ；
③x=﹣是函数y=cos（2x+π）的一条对称轴；
④函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同；
⑤y=2sin（2x﹣）在是增函数；
则正确命题的序号．
15．已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．给出如下结论：
①对任意m∈Z，有f（2m）=0；②函数f（x）的值域为[0，+∞）；③存在n∈Z，使得f（2n+1）=9；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在k∈Z，使得（a，b）⊆（2k，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是．
16．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题：
①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；
②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势；
③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势．
其中正确命题的序号是．
17．抽样调查表明，某校高三学生成绩（总分750分）X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P（400＜X＜450）=0.3，则P（550＜X＜600）=．
18．多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm）．
三、解答题
19．在直接坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）。

（1）已知在极坐标（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为
极轴）中，点的极坐标为（4，），判断点与直线的位置关系；
（2）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值。

20．如图，M、N是焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上两个不同的点，且线段MN中点A的横坐标为，
（1）求|MF|+|NF|的值；
（2）若p=2，直线MN与x轴交于点B点，求点B横坐标的取值范围．
21．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．
（I）求椭圆G的方程；
（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率
的取值范围．
22．设函数f（x）=x3﹣6x+5，x∈R
（Ⅰ）求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求实数a的取值范围．
23．已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，又PD⊥底ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：DN∥平面PMB；
（2）证明：平面PMB⊥平面PAD；
（3）求点A到平面PMB的距离．
24．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AD，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点．
（1）证明：EF∥平面PAC；
（2）证明：AF⊥EF．
尖山区第三高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；
在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．
【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
2． 【答案】D
【解析】解：设球的半径为R ，圆锥底面的半径为r ，则πr 2
=
×4πR 2=
，∴r=．
∴球心到圆锥底面的距离为=．∴圆锥的高分别为和
．
∴两个圆锥的体积比为：
=1：3．
故选：D ．
3． 【答案】A
【解析】解：∵向量=（1，n ），=（﹣1，n ﹣2），且与共线． ∴1×（n ﹣2）=﹣1×n ，解之得n=1
故选：A
4． 【答案】D
【解析】解：当m ⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m 与β没有公共点，有m ∥β，其他条件无法推出m ∥β， 故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．
5． 【答案】D
【解析】解：根据三视图得出该几何体是一个斜四棱柱，AA
1=2，AB=2，高为，
根据三视图得出侧棱长度为=2，
∴该几何体的表面积为2×（2×+2×2+2×2）=16，
故选：D
【点评】本题考查了空间几何体的三视图，运用求解表面积，关键是恢复几何体的直观图，属于中档题．
6．【答案】D
【解析】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆
∴故0＜k＜1
故选D．
【点评】本题主要考查了椭圆的定义，属基础题．
7．【答案】D
【解析】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：
∃x∈R，x2≤0．
故选D．
【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．
8．【答案】D
【解析】解：∵f（x）=，
f（1）=f[f（7）]=f（5）=3．
故选：D ．
9． 【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
10．【答案】D 【解析】
试题分析：分析题意可知：对应法则为31y x =+，则应有42331331a a a k ⎧=⨯+⎪⎨+=⋅+⎪⎩（1）或4231
3331
a k a a ⎧=⋅+⎪⎨+=⨯+⎪⎩（2），
由于*
a N ∈，所以（1）式无解，解（2）式得：25
a k =⎧⎨=⎩。

故选D 。

考点：映射。

11．【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得 n=5，s=0
满足条件s ＜15，s=5，n=4 满足条件s ＜15，s=9，n=3 满足条件s ＜15，s=12，n=2 满足条件s ＜15，s=14，n=1 满足条件s ＜15，s=15，n=0 不满足条件s ＜15，退出循环，输出n 的值为0．
故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n 的值是解题的关键，属于基础题．
12．【答案】C 【解析】
考点：三视图．
二、填空题
13．【答案】9．
【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，
所以总城市数为11÷0.22=50，
平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，
所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．
故答案为：9
14．【答案】
【解析】解：对于①，把函数y=sin（x﹣）图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得
到函数y=sin（2x﹣），故①正确．
对于②，当α，β是第一象限角且α＜β，如α=30°，β=390°，则此时有cosα=cosβ=，故②错误．
对于③，当x=﹣时，2x+π=π，函数y=cos（2x+π）=﹣1，为函数的最小值，故x=﹣是函
数y=cos（2x+π）的一条对称轴，故③正确．
对于④，函数y=4sin（2x+）=4cos[﹣（2x+）]=4cos（﹣2）=4cos（2x﹣），
故函数y=4sin（2x+）与函数y=4cos（2x﹣）相同，故④正确．
对于⑤，在上，2x﹣∈，函数y=2sin（2x﹣）在上没有单调性，故⑤错误，
故答案为：①③④．
15．【答案】①②④．
【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．
∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．
∵f（2x）=2f（x），
∴f（2k x）=2k f（x）．
①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；
②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．
若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．
…
一般地当x∈（2m，2m+1），
则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，
从而f（x）∈[0，+∞），故正确；
③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，
∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，
即2n﹣1=9，∴2n=10，
∵n∈Z，
∴2n=10不成立，故错误；
④由②知当x∈（2k，2k+1）时，f（x）=2k+1﹣x单调递减，为减函数，
∴若（a，b）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”，故正确．
故答案为：①②④．
16．【答案】①③．
【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；
对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；
对③，给出对应法则y=tan x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴
③正确．
故选：①③
【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．
17．【答案】0.3．
【解析】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】确定正态分布曲线的对称轴为x=500，根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）．
【解答】解：∵某校高三学生成绩（总分750分）ξ近似服从正态分布，平均成绩为500分，
∴正态分布曲线的对称轴为x=500，
∵P（400＜ξ＜450）=0.3，
∴根据对称性，可得P（550＜ξ＜600）=0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，正确运用正态分布曲线的对称性是关键．
18．【答案】cm3．
【解析】解：如图所示，
由三视图可知：
该几何体为三棱锥P﹣ABC．
该几何体可以看成是两个底面均为△PCD，高分别为AD和BD的棱锥形成的组合体，
由几何体的俯视图可得：△PCD的面积S=×4×4=8cm2，
由几何体的正视图可得：AD+BD=AB=4cm，
故几何体的体积V=×8×4=cm3，
故答案为：cm3
【点评】本题考查由三视图求几何体的体积和表面积，根据已知的三视图分析出几何体的形状是关键．
三、解答题
19．【答案】（1）点P在直线上
（2）
【解析】（1）把极坐标系下的点化为直角坐标，得P（0，4）。

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线的方程，
所以点P在直线上，
（2）因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为，
从而点Q到直线的距离为
，
20．【答案】
【解析】解：（1）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=8﹣p，|MF|=x1+，|NF|=x2+，
∴|MF|+|NF|=x1+x2+p=8；
（2）p=2时，y2=4x，
若直线MN斜率不存在，则B（3，0）；
若直线MN斜率存在，设A（3，t）（t≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则
代入利用点差法，可得y12﹣y22=4（x1﹣x2）
∴k MN=，
∴直线MN的方程为y﹣t=（x﹣3），
∴B的横坐标为x=3﹣，
直线MN代入y2=4x，可得y2﹣2ty+2t2﹣12=0
△＞0可得0＜t2＜12，
∴x=3﹣∈（﹣3，3），
∴点B横坐标的取值范围是（﹣3，3）．
【点评】本题考查抛物线的定义，考查点差法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．【答案】
【解析】解：（I）∵椭圆的左焦点为F，离心率为，
过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．
∴点在椭圆G上，又离心率为，
∴，解得
∴椭圆G的方程为．
（II）由（I）可知，椭圆G的方程为．∴点F的坐标为（﹣1，0）．
设点P的坐标为（x0，y0）（x0≠﹣1，x0≠0），直线FP的斜率为k，
则直线FP的方程为y=k（x+1），
由方程组消去y0，并整理得．
又由已知，得，解得或﹣1＜x0＜0．
设直线OP的斜率为m，则直线OP的方程为y=mx．
由方程组消去y0，并整理得．
由﹣1＜x0＜0，得m2＞，
∵x0＜0，y0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），
由﹣＜x0＜﹣1，得，
∵x0＜0，y0＞0，得m＜0，∴﹣＜m＜﹣．
∴直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）
∴当，
∴f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是
当；当
（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，
∴当的图象有3个不同交点，
即方程f（x）=α有三解．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：取PB中点Q，连接MQ、NQ，
因为M、N分别是棱AD、PC中点，
所以QN∥BC∥MD，且QN=MD，于是DN∥MQ．
⇒DN∥平面PMB．
（2）⇒PD⊥MB
又因为底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形，且M为AD中点，
所以MB⊥AD．
又AD∩PD=D，
所以MB⊥平面PAD.⇒平面PMB⊥平面PAD．
（3）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离．
过点D作DH⊥PM于H，由（2）平面PMB⊥平面PAD，所以DH⊥平面PMB．
故DH是点D到平面PMB的距离.．
∴点A到平面PMB的距离为．
【点评】本题主要考查空间线面的位置关系，空间角的计算等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．
24．【答案】
【解析】（1）证明：如图，
∵点E，F分别为CD，PD的中点，
∴EF∥PC．
∵PC⊂平面PAC，EF⊄平面PAC，
∴EF∥平面PAC．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD．
∵AF⊂平面PAD，∴AF⊥CD．
∵PA=AD，点F是PD的中点，∴AF⊥PD．
又CD∩PD=D，∴AF⊥平面PDC．
∵EF⊂平面PDC，
∴AF⊥EF．
【点评】本题考查了线面平行的判定，考查了由线面垂直得线线垂直，综合考查了学生的空间想象能力和思维能力，是中档题．。