苏教版初三数学下册《专题讲座:存在性问题(2)》

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特殊四边形的存在性问题
一、重点知识和解题策略
一般有平行四边形、矩形、菱形或正方形存在性问题。

解题策略首先根据图形的定义或性质来确定动点的位置,明确分类,画出相应的图形,然后利用图形的性质或适当转化,构造方程(组)或直接计算求出满足存在条件的量。

二、热身运动
1.已知直线与直线相交于点.
(1)求、的值;
(2)设交轴于点,交轴于点,若点与点、、能构成平行四边形,请直接写出点坐标.
三、例题学习
例1、如图.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于A(﹣1,0),B (5,0)两点.(1)求抛物线的解析式;
(2)在第二象限内取一点C,作CD垂直x轴于点D,链接AC,且AD=5,CD=8,将Rt△ACD沿x轴向右平移m个单位,当点C落在抛物线上时,求m 的值;
(3)在(2)的条件下,当点C第一次落在抛物线上记为点E,点P是抛物线对称轴上一点.试探究:在抛物线上是否存在点Q,使以点B、E、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
例2、如图,抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD与y轴交于点E.
(1)求直线AD的解析式;
(2)如图1,直线AD上方的抛物线上有一点F,过点F作FG⊥AD于点G,作FH平行于x轴交直线AD于点H,求△FGH周长的最大值;
(3)点M是抛物线的顶点,点P是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,以A,M,P,Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形.若点T和点Q关于AM 所在直线对称,求点T的坐标.
四、自我挑战
1.如图1,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线2:C y ax bx c =++与x 轴相交于,A B 两点,顶点为()0,4D ,42AB =,设点(),0F m 是x 轴的正半轴上一点,将抛物线C 绕点F 旋转180°,得到新的抛物线C '.
(1)求抛物线C 的函数表达式;
(2)若抛物线C '与抛物线C 在y 轴的右侧有两个不同的公共点,求m 的取值范围;
(3)如图2,P 是第一象限内抛物线C 上一点,它到两坐标轴的距离相等,点P 在抛物线C '上的对应点为P ',设M 是C 上的动点,N 是C '上的动点,试探究四边形PMP N '能否成为正方形,若能,求出m 的值;若不能,请说明理由.
特殊四边形的存在性问题
参考答案
二、热身运动
1.解:(1)将点代入,,,, 解得:,.
(2)当时,,∴点;当时,, ∴点.
当为对角线时,点,,即
; 当为对角线时,点,,即
; 当为对角线时,点,,即
. 故若点与点、、能构成平行四边形,点坐标为、或.
三、自我挑战 1.(1)y =﹣2
1x 2+4; (2)结论:四边形PMP ′N 能成为正方形.
理由:1情形1,如图,作PE ⊥x 轴于E ,MH ⊥x 轴于H .
由题意易知P (2,2),当△PFM 是等腰直角三角形时,四边形PMP ′N 是正方形,
∴PF =FM ,∠PFM =90°, 易证△PFE ≌△FMH ,可得PE =FH =2,EF =HM =2-m ,
∴M (m +2,m -2),
∵点M 在y=-2
1x 2+4上,
∴m-2=-21(m+2)2+4,解得m=17-3或-17-3(舍弃), ∴m=17-3时,四边形PMP′N 是正方形.
情形2,如图,四边形PMP′N 是正方形,同法可得M (m-2,2-m ),
把M (m-2,2-m )代入y=-21x 2+4中,2-m=-2
1(m-2)2+4,解得m=6或0(舍弃),∴m=6时,四边形PMP′N 是正方形.综上,四边形PMP′N 能成为正方形,m=17-3或6.。

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